7. Feladat

Végezzünk teljes függvénydiszkussziót, ha $f(x)={x^2-4\over{x^3-5x^2+6x}}$.

1. $D_{f}=\Re\backslash\{0,2,3\}$, mert $f(x)={f_1(x)\over{f_2(x)}}$ és $f_2(x)=x^3-5x^2+6x$ $=x(x-2)(x-3),$ zérushely: $f(x)=0\Leftrightarrow f_1(x)=0$ és $f_2(x)\not=0\Rightarrow$ $x=-2 ~(x=2$ nem). $x\in D_f\Rightarrow~f(x)={(x-2)(x+2)\over{x(x-2)(x-3)}}={x+2\over{x^2-3x}}$
2. $f$ értelmezési tartományának minden pontjában folytonos (racionális törtfüggvény)

   $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)={{1\over x}+{2\over x^2}\over{1-{3\over x}}}=0$ $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0$

   $\lim\limits_{x\rightarrow2}f(x)={2+2\over2^2-3\cdot2}=-2$ $\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f(x)={2\over{0^+}}=\infty$ $\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f(x)=-\infty$ $\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f(x)=-\infty$ $\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f(x)=\infty$

3. ${f'(x)=1\cdot(x^2-3x)-(x+2)(2x-3)\over{(x^2-x)^2}}={-x^2-4x+6\over{(x^2-3x)^2}}$, $f'(x)=0 \Leftrightarrow$

   $x=-2-\sqrt{10}(\approx -5.16)$ vagy $x=-2+\sqrt{10}(\approx 1.16)$

4. *$f''$

5. Táblázat:
   
   $$\vbox{ \offinterlineskip \halign{ \strut \vrule ...$$
   
   

6. Ábra: $f(x)={x^2-4\over{x^3-5x^2+6x}}$