6. Feladat

Végezzünk teljes függvénydiszkussziót, ha $f(x)=x^2e^{-x}$.

1. $D_{f}=\Re$, zérushelyek: $x=0$
2. $f$ mindenhol folytonos.

   $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{x^2\over{e^x}} ~{\infty\over\infty}-$ típusú határozatlan kifejezés. L'Hospital szabály alkalmazásásval:

   $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{f_1'(x)\over{f_2'(x)}}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{2x\over e^x} ~{\infty\over\infty}-$ típusú határozatlan kifejezés. L'Hospital szabály ismételt alkalmazásásval:

   $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{f_1''(x)\over{f_2''(x)}}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{2\over{e^x}}=0$ $~\Rightarrow~\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$

   $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=x^2 \cdot e^{-x}=\infty$

   $~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~\downarrow$

   $~~~~~~~~~~~~~~~~~~\infty\cdot\infty$

3. $f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}$, $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ vagy $x=2$

4. $f''(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}$ , $f''(x)=0 ~\Leftrightarrow ~x_1=2-\sqrt2~(\approx0.59) ~x_2=2+\sqrt2~(\approx3.41)$

5. Táblázat:
   
   $$\vbox{ \offinterlineskip \halign{ \strut \vrule ...$$
   
   

6. Ábra: $f(x)=x^2e^{-x}$