5. Feladat

Végezzünk teljes függvénydiszkussziót, ha $f(x)=\rm cth\it (x)={\rm ch\it (x)\over{\rm sh\it (x)}}={e^x+e^{-x}\over{e^x-e^{-x}}}$.

1. $D_{f}=\Re\backslash\{0\}$, zérushelyek: mivel $e^x+e^{-x}$ mindig pozitív, nincs zéróhely, $f$ páratlan
2. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{1+e^{-x}\... ...arrow-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{e^{2x}+1\over{e^{2x}-1}}=-1$ $\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f(x)=\infty \hfil ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \lim\limits_{x\rightarrow0^-}f(x)=-\infty$
3. $f'(x)={{(e^x-e^{-x})^2-(e^x+e^{-x})^2}\over{(e^x-e^{-x})^2}}=1-\rm cth\it (x)^{\rm 2}$, $f'(x)<0$, nincs zéróhely

4. $f''(x)=-2\rm cth\it (x)(\rm 1-cth\it (x)^{\rm 2\it })$, $f''(x)>0$, ha $x>0$, ill. $f''(x)<0$, ha $x<0$, nincs zéróhely

5. Táblázat:

   
   

   $$\vbox{ \offinterlineskip \halign{ \strut \vrule ...$$
   
   

6. Ábra: $f(x)=\rm cth\it (x)$