4. Feladat

Végezzünk teljes függvénydiszkussziót, ha $f(x)=e^{-{(x-m)^2\over{2\sigma^2}}}$, $m\in\Re$, $~\sigma\in\Re^+$.

1. $D_{f}=\Re$, zérushelyek: Mivel a külső, exponenciális függvény mindig pozitív $\Rightarrow$ Nincs zéróhely.
2. $f$ mindenhol folytonos (polinomfüggvény és exponenciális függvény mindenhol folytonos),
   $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$, $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0$
3. $f'(x)=e^{-{(x-m)^2\over{2\sigma^2}}}\cdot \left(-{(x-m)\over{\sigma^2}}\right)$, $e^{-{(x-m)^2\over{2\sigma^2}}}\cdot {-(x-m)\over{\sigma^2}}=0 \Leftrightarrow x=m$.

4. $f''(x)=e^{-{(x-m)^2\over{2\sigma^2}}}\cdot \left(-{(x-m)\over{\sigma^2}}\right)... ...over{\sigma^2}}\right)+e^{-{(x-m)^2\over{2\sigma^2}}} \cdot-{1\over{\sigma^2}}$, $f''(x)=0 \Leftrightarrow x=m+\sigma$ vagy $x=m-\sigma$.
5. Táblázat:

   
   

   $$\vbox{ \offinterlineskip \halign{ \strut \vrule ...$$
   
   

6. Ábra: $f(x)=e^{-{(x-m)^2\over{2\sigma^2}}},~m=2~\sigma=1$