február 10. Peano-axiómák, a természetes összeadása és szorzása.
Peano-axiómák, teljes indukció, az összeadás és szorzás definíciója és tulajdonságai.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy $1+n=n'$ minden $n$ természetes számra.
- Bizonyítsa be, hogy $2\cdot 2=4$ (fel szabad használni, hogy $2+2=4$).
|
február 17. Rendezett algebrai struktúrák, a természetes számok rendezett félgyűrűje.
Művelet és részbenrendezés kompatibilitásának ekvivalens definíciói, rendezés $\mathbb{N}_0$-on, az $(\mathbb{N}_0;+,\cdot,\leq)$ rendezett félgyűrű.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy az $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ halmaz félgyűrűt alkot az $x+y$ és $\min(x,y)$ műveletekkel. Melyik művelet játssza az összeadás, és melyik a szorzás szerepét? Mi az additív egységelem és mi a multiplikatív egységelem? (A műveletek asszociativitását és kommutativitását nem kell igazolni, de a disztributivitást igen.)
- Bizonyítsa be, hogy ha $2a^2=b^2$ teljesül valamilyen $a,b\in\mathbb{N}$ esetén, akkor léteznek olyan $a_1\lt a$ és $b_1\lt b$ nemnulla természetes számok, amelyekre $2a_1^2=b_1^2$. (Ebből következik, hogy $\sqrt{2}$ nem racionális szám.)
|
február 24. Rekurzív sorozatok, az $(\mathbb{N}_0;0,\sigma)$ struktúra létezése és egyértelműsége.
Sorozat fogalma, sorozat megadása rekurzióval, a másodrendű Peano-axiómarendszer modelljének unicitása és egzisztenciája, elsőrendű Peano-aritmetika. Informális HF: legyőzni a hidrát.
Házi feladatok:
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,$0$,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (INJ) axiómákat, de nem elégíti ki a (TI) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,$0$,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki az (INJ) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,$0$,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti az (INJ) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki a (0) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
|
március 3. Az elsőrendű Peano-aritmetikában nem bizonyítható tételek; kongruencia és faktoralgebra.
Gödel nemteljességi tételei, Goodstein-sorozatok, Goodstein tétele, Kirby–Paris-tétel, Tarski „high school algebra” problémája és annak megoldása; kongruenciareláció, faktoralgebra.
Házi feladat:
- Bizonyítsa be, hogy minden $x,y\in\mathbb{N}$ esetén
$$\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^y+\bigl(1+x+x^2\bigr)^y\Bigr)^x\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^x+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^x\Bigr)^y=\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^x+\bigl(1+x+x^2\bigr)^x\Bigr)^y\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^y+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^y\Bigr)^x.$$
Útmutatás: Ki kell lépni a természetes számok köréből, használni kell kivonást is, pl. az $1-x+x^2$ polinomot.
|
március 10. Kongruencia, faktoralgebra, izomorfizmus, beágyazás; az egész számok gyűrűje.
Kongruenciareláció, faktoralgebra, izomorfizmus, beágyazás; a $\mathbb{Z}:=(\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0;+,\cdot)/\sim$ integritástartomány.
Házi feladat:
- Bizonyítsa be, hogy az $\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0$ halmazon definiált alábbi szorzás asszociatív művelet:
$$ (a,b) \cdot (c,d) := (ac+bd,ad+bc).$$
|
március 17. Pozitív és negatív egész számok; részbenrendezett csoportok és gyűrűk; az egész számok rendezett gyűrűje.
$\mathbb{N}_0$ beágyazása $\mathbb{Z}$-be, pozitív és negatív számok; (részben)rendezett csoport és gyűrű fogalma, csoport és gyűrű kompatibilis részbenrendezéseinek és lineáris rendezéseinek leírása pozitivitási tartományokkal; az egész számok rendezése és annak egyértelműsége.
Házi feladatok:
- Legyen $(G;+)$ egy Abel-csoport, és $\leq$ egy olyan részbenrendezés a $G$ halmazon, ami kompatibilis a $+$ művelettel: $\forall a,b,c\in G\colon\ a \leq b \;\Longrightarrow\; a+c \leq b+c$. Bizonyítsa be, hogy ekkor $\ a \leq b \;\Longrightarrow\; -a \geq -b\ $ teljesül minden $a,b\in G$ esetén.
- Tekintsük az egész számok additív csoportján a $P=\{ 0,2,3,4,5,\ldots \}$ pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
- Határozza meg a $(\mathbb{Z}_{10};+)$ csoport összes lehetséges pozitivitási tartományát és a hozzájuk tartozó részbenrendezéseket.
|
március 24. Rendezett testek.
Rendezett testek karakterizációja.
Házi feladat:
- Hogyan fest a komplex számok testén a $P=\mathbb{R}^+_0$ pozitivitási tartománnyal meghatározott részbenrendezés?
|
március 31. A racionális számok rendezett teste; a valós számok Cantor-féle felépítése.
Racionális számok: műveletek, rendezés, arkhimédeszi tulajdonság; a valós számok Cantor-féle felépítése.
Házi feladatok:
- Mely elemeknek van additív inverze az $(A;+,\cdot)$ algebrai struktúrában? (A műveletek definícióit lásd itt.)
- Mely elemeknek van multiplikatív inverze az $(A;+,\cdot)$ algebrai struktúrában? (A műveletek definícióit lásd itt.)
|
április 7. A Dedekind-szelet fogalma, alapvető tulajdonságaik, szeletek összege.
A Dedekind-szelet fogalma, példák, ekvivalens leírás „fel”-halmazokkal, szeletek egyesítése, szelet széle, szeletek összege, az $(\mathcal{R};+)$ Abel-csoport.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy az $X = \{ x \in \mathbb{Q}^+ \mid x^2>2 \}$ halmaz Dedekind-szelet (azaz rendelkezik a (NVRH), (FSZ), (NLK) tulajdonságokkal). A bizonyítás során csak racionális számokat lehet használni (így pl. nem használhatjuk azt, hogy $X = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x>\sqrt{2}\, \}$).
- Bizonyítsa be, hogy ha $X$ és $Y$ két különböző Dedekind-szelet, akkor $X \subset Y$ vagy $Y \subset X$.
- Adjon példát olyan $X_1,X_2,\ldots$ Dedekind szeletekre, amelyeknek metszete nem üres, de nem is Dedekind-szelet: $\emptyset \neq \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}X_i \notin \mathcal{R}$.
|
április 14. tavaszi szünet
|
április 21. A Dedekind-szeletek rendezett teste.
Pozitív és negatív szeletek, a pozitív szeletek multiplikatív Abel-csoportja, a szorzás kiterjesztése negatív szeletekre, az $(\mathcal{R};+,\cdot)$ test, a racionális számtest beágyazása, a Dedekind-szeletek rendezése és a rendezés kapcsolata a tartalmazással.
Házi feladatok:
- Legyen $X=3^{\uparrow}$ és $Y=(-2)^{\uparrow}$. Határozza meg az $\{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \}$ halmazt. (Ez a példa mutatja, hogy negatív szeletek esetén miért nem használható az $X\cdot Y := \{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \}$ definíció.)
|
április 28. Gyökvonás pozitív Dedekind-szeletből; arkhimédeszi és teljes testek.
Pozitív Dedekind-szelet $n$-edik gyöke, a Dedekind-szeletek rendezésének egyértelműsége; $\mathbb{Q}$ beágyazása rendezett testbe, arkhimédeszi tulajdonság, végtelen és infinitezimális elemek, az arkhimédeszi tulajdonság ekvivalens jellemzései, a racionális törtek teste nem arkhimédeszi, a Dedekind-teljesség fogalma, kapcsolata az arkhimédeszi tulajdonsággal, $\mathcal{R}$ Dedekind-teljessége, teljes rendezett test unicitása, a valós számok teste, a teljesség különböző definíciói.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy két infinitezimális elem összege is infinitezimális. (Megjegyzés: Ebből következik, hogy az „infinitezimálisan közel lenni” reláció ekvivalenciareláció.)
- Legyen $T$ egy nemarkhimédeszi rendezett test, és legyen $\varepsilon \in T$ egy pozitív infinitezimális elem. Bizonyítsa be, hogy $\displaystyle\frac{2+\varepsilon}{\varepsilon-\varepsilon^2} \lt \frac{7}{\varepsilon}- \varepsilon$.
- Az előző feladatbeli elemek között fennáll-e a $\ll$ reláció is?
|
május 5. Tizedes törtek; (hiper)komplex számok.
Valós szám tizedes tört alakja, racionális szám tizedes tört alakjának periodicitása; a komplex számok teste, a Study-féle számok gyűrűje, a hiperbolikus komplex számok gyűrűje, test feletti algebrák, az alaptest beágyazása, a $2$ rangú hiperkomplex rendszerek leírása.
Házi feladatok:
- Melyik az a legkisebb $b$ természetes szám, amelyre $\frac{1}{b}$ tizedes tört alakja $7$-periodikus?
- Bizonyítsa be, hogy a Study-féle számok gyűrűjében teljesül az $(a+b\varepsilon)^n =a^{n}+na^{n-1}b\varepsilon$ azonosság minden pozitív egész $n$ kitevőre.
- Határozza meg a hiperbolikus komplex számok gyűrűjében a $13+12j$ elem összes négyzetgyökét.
|
május 12. Kvaterniók.
A kvaterniók ferdeteste, kvaterniók és vektorok, $-1$ négyzetgyökei a kvaterniók körében, térbeli forgatások és kvaterniók, Frobenius tétele, Cayley-Dickson konstrukció, oktoniók, általánosított Frobenius-tétel, Hurwitz tétele. Érdekességek: Fantastic Quaternions (Numberphile), Gyroscopes, Inertial Guidance, and Gimbal Lock (YouTube).
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy az $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ egyenlőségekből következik, hogy $ij=k=-ji$, $jk=i=-kj$, $ki=j=-ik$.
- Határozza meg a kvaterniók ferdetestében a harmadik egységgyököket, vagyis az összes olyan $q$ kvaterniót, amelyre $q^3=1$ (végtelen sok van!).
|