február 5. Peano-axiómák, a természetes számok félgyűrűje.
Peano-axiómák, teljes indukció, az összeadás és szorzás definíciója és tulajdonságai, a félgyűrű fogalma, az (\mathbb{N}_0;+,\cdot) félgyűrű.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy 1+n=n' minden n természetes számra.
- Bizonyítsa be, hogy 2\cdot 2=4 (fel szabad használni, hogy 2+2=4).
- Bizonyítsa be, hogy az \mathbb{R}\cup\{\infty\} halmaz félgyűrűt alkot az x+y és \min(x,y) műveletekkel. Melyik művelet játssza az összeadás, és melyik a szorzás szerepét? Mi az additív egységelem és mi a multiplikatív egységelem? (A műveletek asszociativitását és kommutativitását nem kell igazolni, de a disztributivitást igen.)
|
február 10. Rendezett algebrai struktúrák, a természetes számok rendezett félgyűrűje.
Művelet és részbenrendezés kompatibilitásának ekvivalens definíciói, rendezés \mathbb{N}_0-on, az (\mathbb{N}_0;+,\cdot,\leq) rendezett félgyűrű, a teljes indukció másik alakja, végtelen leszállás.
Házi feladatok:
- Legyen S\subseteq\mathbb{N}_0 olyan halmaz, amelynek nincs legkisebb eleme. Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy n\notin S minden n természetes számra. (Ebből következik, hogy S üres.)
- Bizonyítsa be, hogy ha 2a^2=b^2 teljesül valamilyen a,b\in\mathbb{N} esetén, akkor léteznek olyan a_1\lt a és b_1\lt b nemnulla természetes számok, amelyekre 2a_1^2=b_1^2. (Ebből következik, hogy \sqrt{2} nem racionális szám.)
- Írja le a kedvenc teljes indukciós bizonyítását (minél szebbet, minél kreatívabbat).
|
február 17. Rekurzív sorozatok, az (\mathbb{N}_0;0,\sigma) struktúra létezése és egyértelműsége.
Sorozat fogalma, sorozat megadása rekurzióval, a másodrendű Peano-axiómarendszer modelljének unicitása és egzisztenciája, a halmazelmélet ZFC axiómarendszere, elsőrendű Peano-aritmetika, Gödel nemteljességi tételei. Informális HF: legyőzni a hidrát.
Házi feladatok:
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen (M;\,0,\tau) struktúrát, amely kielégíti a (0) és (INJ) axiómákat, de nem elégíti ki a (TI) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen (M;\,0,\tau) struktúrát, amely kielégíti a (0) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki az (INJ) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen (M;\,0,\tau) struktúrát, amely kielégíti az (INJ) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki a (0) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
|
február 24. Az elsőrendű Peano-aritmetikában nem bizonyítható tételek; kongruencia és faktoralgebra.
Goodstein-sorozatok, Goodstein tétele, Kirby–Paris-tétel, Tarski „high school algebra” problémája és annak megoldása; kongruenciareláció, faktoralgebra.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy minden x,y,z\in\mathbb{N} esetén
\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^y+\bigl(1+x+x^2\bigr)^y\Bigr)^x\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^x+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^x\Bigr)^y=\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^x+\bigl(1+x+x^2\bigr)^x\Bigr)^y\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^y+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^y\Bigr)^x.
Útmutatás: Ki kell lépni a természetes számok köréből, használni kell kivonást is, pl. az 1-x+x^2 polinomot.
- Kompatibilis-e a \mathcal{C}_1=\bigl\{ \{0\}, \{1\}, \{2,4,6,8,\ldots\}, \{3,5,7,9,\ldots\}\bigr\} osztályozás az összeadás, illetve a szorzás műveletével? Ha igen, akkor adja meg az (\mathbb{N_0};+) félcsoport, illetve az (\mathbb{N_0};\cdot) félcsoport \mathcal{C}_1-hez tartozó faktorfélcsoportjának művelettáblázatát.
- Kompatibilis-e a \mathcal{C}_2=\bigl\{ \{0\}, \{1\}, \{2,4,6\}, \{3,5,7,8,9,10,\ldots\}\bigr\} osztályozás az összeadás, illetve a szorzás műveletével? Ha igen, akkor adja meg az (\mathbb{N_0};+) félcsoport, illetve az (\mathbb{N_0};\cdot) félcsoport \mathcal{C}_2-höz tartozó faktorfélcsoportjának művelettáblázatát.
- Kompatibilis-e a \mathcal{C}_3=\bigl\{ \{0\}, \{1\}, \{2,3,4,\ldots\}\bigr\} osztályozás az összeadás, illetve a szorzás műveletével? Ha igen, akkor adja meg az (\mathbb{N_0};+) félcsoport, illetve az (\mathbb{N_0};\cdot) félcsoport \mathcal{C}_3-hoz tartozó faktorfélcsoportjának művelettáblázatát.
|
március 2. Izomorfizmus és beágyazás; az egész számok gyűrűje; részbenrendezett csoport.
Izomorizmus, beágyazás és homomorfizmus, egy fontos példa izomorfizmusra; a \mathbb{Z}:=(\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0;+,\cdot)/\sim integritástartomány, \mathbb{N}_0 beágyazása \mathbb{Z}-be, pozitív és negatív számok; (részben)rendezett csoport definíciója.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy az \mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0 halmazon definiált alábbi szorzás asszociatív művelet:
(a,b) \cdot (c,d) := (ac+bd,ad+bc).
- Legyen (G;+) egy Abel-csoport, és \leq egy olyan részbenrendezés a G halmazon, ami kompatibilis a + művelettel: \forall a,b,c\in G\colon\ a \leq b \;\Longrightarrow\; a+c \leq b+c. Bizonyítsa be, hogy ekkor \ a \leq b \;\Longrightarrow\; -a \geq -b\ teljesül minden a,b\in G esetén.
|
március 9. (Részben)rendezett csoportok és gyűrűk; az egész számok rendezett gyűrűje.
Csoport és gyűrű kompatibilis részbenrendezéseinek és lineáris rendezéseinek leírása pozitivitási tartományokkal; az egész számok rendezése és annak egyértelműsége.
Házi feladatok:
- Tekintsük az egész számok additív csoportján a P=\{ 0,2,3,4,5,\ldots \} pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
- Tekintsük az egész számok additív csoportján a P=\{ 0,3,6,9,12,\ldots \} pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
- Határozza meg a (\mathbb{Z}_{10};+) csoport összes lehetséges pozitivitási tartományát és a hozzájuk tartozó részbenrendezéseket.
|
március 16. Tavaszi szünet.
|
március 23. Rendezett testek; a racionális számok teste.
Rendezett testek karakterizációja; a racionális számok teste
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy a komplex számok testének nincs kompatibilis lineáris rendezése. A bizonyításhoz nem használható a rendezett testeket karakterizáló tétel, csak a pozitivitási tartományok (P0), (P+), (P·), (P−) és (PLIN) tulajdonságai (jelezze is minden lépésnél, hogy melyik tulajdonságot használja).
- Mutassa meg egy ellenpéldával, hogy az A=\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\}) halmazon a szorzás nem disztributív az összeadásra.
- Mely elemeknek van additív inverze az (A;+,\cdot) algebrai struktúrában?
- Mely elemeknek van multiplikatív inverze az (A;+,\cdot) algebrai struktúrában?
|
március 30. A racionális számok rendezett teste; a valós számok Cantor-féle felépítése; Dedekind-szeletek.
A a racionális számok rendezése, arkhimédeszi tulajdonság; a valós számok Cantor-féle felépítése; a Dedekind-szelet fogalma, példák, ekvivalens leírás „fel”-halmazokkal.
Házi feladatok:
- Határozza meg a Cauchy-sorozatok (A;+,\cdot) gyűrűjének zérusosztóit. (Emlékeztető: egy kommutatív R gyűrűben az a elem akkor zérusosztó, ha a\neq 0 és létezik olyan b\in R, amelyre b \neq 0 és ab=0.)
- Bizonyítsa be, hogy az X = \{ x \in \mathbb{Q}^+ \mid x^2>2 \} halmaz Dedekind-szelet (azaz rendelkezik a (VRH), (FSZ), (NLK) tulajdonságokkal). A bizonyítás során csak racionális számokat lehet használni (így pl. nem használhatjuk azt, hogy X = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x>\sqrt{2}\, \}).
|
április 6. Dedekind-szeletek tulajdonságai, szeletek összege, pozitív és negatív szeletek.
Dedekind-szeletek egyesítése, szelet széle, az (\mathcal{R};+) Abel-csoport, pozitív és negatív szeletek, (\mathbb{Q};+) beágyazása (\mathcal{R};+)-ba.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy ha X és Y két különböző Dedekind-szelet, akkor X \subset Y vagy Y \subset X.
- Adjon példát olyan X_1,X_2,\ldots Dedekind szeletekre, amelyeknek metszete nem üres, de nem is Dedekind-szelet: \emptyset \neq \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}X_i \notin \mathcal{R}.
|
április 13. Pozitív Dedekind-szeletek szorzása, a Dedekind-szeletek rendezett teste.
Pozitív Dedekind-szeletek szorzása, az (\mathcal{R}^+;\cdot) Abel-csoport, a szorzás kiterjesztése negatív szeletekre, az (\mathcal{R};+,\cdot) test, (\mathbb{Q};+,\cdot) beágyazása (\mathcal{R};+,\cdot)-ba, Dedekind-szeletek rendezése és a rendezés kapcsolata a tartalmazással.
Házi feladatok:
- Legyen X=3^{\uparrow} és Y=(-2)^{\uparrow}. Határozza meg az \{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \} halmazt. (Ez a példa mutatja, hogy negatív szeletek esetén miért nem használható az X\cdot Y := \{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \} definíció.)
|
április 20. Gyökvonás pozitív Dedekind-szeletből; arkhimédeszi testek.
Pozitív Dedekind-szelet n-edik gyöke, a Dedekind-szeletek rendezésének egyértelműsége; \mathbb{Q} beágyazása rendezett testbe, arkhimédeszi tulajdonság, végtelen és infinitezimális elemek, az arkhimédeszi tulajdonság ekvivalens jellemzései, a racionális törtek teste nem arkhimédeszi.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy két infinitezimális elem összege is infinitezimális. (Megjegyzés: Ebből következik, hogy az „infinitezimálisan közel lenni” reláció ekvivalenciareláció.)
- Legyen T egy nemarkhimédeszi rendezett test, és legyen \varepsilon \in T egy pozitív infinitezimális elem. Bizonyítsa be, hogy \displaystyle\frac{2+\varepsilon}{\varepsilon-\varepsilon^2} \lt \frac{7}{\varepsilon}- \varepsilon.
- Az előző feladatbeli elemek között fennáll-e a \ll reláció is?
|
április 27. Teljes rendezett testek, a valós számok teste, tizedes törtek.
A Dedekind-teljesség fogalma, kapcsolata az arkhimédeszi tulajdonsággal, \mathcal{R} Dedekind-teljessége, teljes rendezett test unicitása, a valós számok teste, a teljesség különböző definíciói, valós szám tizedes tört alakja, racionális szám tizedes tört alakjának periodicitása.
Házi feladatok:
- A tizedes tört felírása (vagyis az osztás elvégzése) nélkül, minél kevesebb számolással határozza meg \frac{1}{13} tizedes tört alakjában a periódus hosszát. Figyelem: a legrövidebb periódust keressük!
- Melyik az a legkisebb b természetes szám, amelyre \frac{1}{b} tizedes tört alakja 7-periodikus? Figyelem: a legrövidebb periódus legyen 7, tehát pl. b=3 nem jó!
|
május 4. Komplex számok, Study-féle számok, hiperbolikus komplex számok, algebrák, 2 rangú hiperkomplex rendszerek.
A komplex számok teste, a Study-féle számok gyűrűje, a hiperbolikus komplex számok gyűrűje, test feletti algebrák, az alaptest beágyazása, a 2 rangú hiperkomplex rendszerek leírása.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy a Study-féle számok gyűrűjében teljesül az (a+b\varepsilon)^n =a^{n}+na^{n-1}b\varepsilon azonosság minden pozitív egész n kitevőre.
- Határozza meg a hiperbolikus komplex számok gyűrűjében a 13+12j elem összes négyzetgyökét.
|
május 11. Kvaterniók, Frobenius tétele.
A kvaterniók ferdeteste, kvaterniók és vektorok, -1 négyzetgyökei a kvaterniók körében, Frobenius tétele, Cayley-Dickson konstrukció, oktoniók, általánosított Frobenius-tétel, Hurwitz tétele.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy az i^2=j^2=k^2=ijk=-1 egyenlőségekből következik, hogy ij=k=-ji, jk=i=-kj, ki=j=-ik.
- Határozza meg a kvaterniók ferdetestében a harmadik egységgyököket, vagyis az összes olyan q kvaterniót, amelyre q^3=1 (végtelen sok van!).
|
