február 5. Peano-axiómák, a természetes számok félgyűrűje.
Peano-axiómák, teljes indukció, az összeadás és szorzás definíciója és tulajdonságai, a félgyűrű fogalma, az $(\mathbb{N}_0;+,\cdot)$ félgyűrű.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy $1+n=n'$ minden $n$ természetes számra.
- Bizonyítsa be, hogy $2\cdot 2=4$ (fel szabad használni, hogy $2+2=4$).
- Bizonyítsa be, hogy az $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ halmaz félgyűrűt alkot az $x+y$ és $\min(x,y)$ műveletekkel. Melyik művelet játssza az összeadás, és melyik a szorzás szerepét? Mi az additív egységelem és mi a multiplikatív egységelem? (A műveletek asszociativitását és kommutativitását nem kell igazolni, de a disztributivitást igen.)
|
február 10. Rendezett algebrai struktúrák, a természetes számok rendezett félgyűrűje.
Művelet és részbenrendezés kompatibilitásának ekvivalens definíciói, rendezés $\mathbb{N}_0$-on, az $(\mathbb{N}_0;+,\cdot,\leq)$ rendezett félgyűrű, a teljes indukció másik alakja, végtelen leszállás.
Házi feladatok:
- Legyen $S\subseteq\mathbb{N}_0$ olyan halmaz, amelynek nincs legkisebb eleme. Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy $n\notin S$ minden $n$ természetes számra. (Ebből következik, hogy $S$ üres.)
- Bizonyítsa be, hogy ha $2a^2=b^2$ teljesül valamilyen $a,b\in\mathbb{N}$ esetén, akkor léteznek olyan $a_1\lt a$ és $b_1\lt b$ nemnulla természetes számok, amelyekre $2a_1^2=b_1^2$. (Ebből következik, hogy $\sqrt{2}$ nem racionális szám.)
- Írja le a kedvenc teljes indukciós bizonyítását (minél szebbet, minél kreatívabbat).
|
február 17. Rekurzív sorozatok, az $(\mathbb{N}_0;0,\sigma)$ struktúra létezése és egyértelműsége.
Sorozat fogalma, sorozat megadása rekurzióval, a másodrendű Peano-axiómarendszer modelljének unicitása és egzisztenciája, a halmazelmélet ZFC axiómarendszere, elsőrendű Peano-aritmetika, Gödel nemteljességi tételei. Informális HF: legyőzni a hidrát.
Házi feladatok:
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,$0$,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (INJ) axiómákat, de nem elégíti ki a (TI) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,$0$,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki az (INJ) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,$0$,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti az (INJ) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki a (0) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
|
február 24. Az elsőrendű Peano-aritmetikában nem bizonyítható tételek; kongruencia és faktoralgebra.
Goodstein-sorozatok, Goodstein tétele, Kirby–Paris-tétel, Tarski „high school algebra” problémája és annak megoldása; kongruenciareláció, faktoralgebra.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy minden $x,y,z\in\mathbb{N}$ esetén
$$\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^y+\bigl(1+x+x^2\bigr)^y\Bigr)^x\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^x+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^x\Bigr)^y=\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^x+\bigl(1+x+x^2\bigr)^x\Bigr)^y\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^y+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^y\Bigr)^x.$$
Útmutatás: Ki kell lépni a természetes számok köréből, használni kell kivonást is, pl. az $1-x+x^2$ polinomot.
- Kompatibilis-e a $\mathcal{C}_1=\bigl\{ \{0\}, \{1\}, \{2,4,6,8,\ldots\}, \{3,5,7,9,\ldots\}\bigr\}$ osztályozás az összeadás, illetve a szorzás műveletével? Ha igen, akkor adja meg az $(\mathbb{N_0};+)$ félcsoport, illetve az $(\mathbb{N_0};\cdot)$ félcsoport $\mathcal{C}_1$-hez tartozó faktorfélcsoportjának művelettáblázatát.
- Kompatibilis-e a $\mathcal{C}_2=\bigl\{ \{0\}, \{1\}, \{2,4,6\}, \{3,5,7,8,9,10,\ldots\}\bigr\}$ osztályozás az összeadás, illetve a szorzás műveletével? Ha igen, akkor adja meg az $(\mathbb{N_0};+)$ félcsoport, illetve az $(\mathbb{N_0};\cdot)$ félcsoport $\mathcal{C}_2$-höz tartozó faktorfélcsoportjának művelettáblázatát.
- Kompatibilis-e a $\mathcal{C}_3=\bigl\{ \{0\}, \{1\}, \{2,3,4,\ldots\}\bigr\}$ osztályozás az összeadás, illetve a szorzás műveletével? Ha igen, akkor adja meg az $(\mathbb{N_0};+)$ félcsoport, illetve az $(\mathbb{N_0};\cdot)$ félcsoport $\mathcal{C}_3$-hoz tartozó faktorfélcsoportjának művelettáblázatát.
|
március 2. Izomorfizmus és beágyazás; az egész számok gyűrűje; részbenrendezett csoport.
Izomorizmus, beágyazás és homomorfizmus, egy fontos példa izomorfizmusra; a $\mathbb{Z}:=(\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0;+,\cdot)/\sim$ integritástartomány, $\mathbb{N}_0$ beágyazása $\mathbb{Z}$-be, pozitív és negatív számok; (részben)rendezett csoport definíciója.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy az $\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0$ halmazon definiált alábbi szorzás asszociatív művelet:
$$ (a,b) \cdot (c,d) := (ac+bd,ad+bc).$$
- Legyen $(G;+)$ egy Abel-csoport, és $\leq$ egy olyan részbenrendezés a $G$ halmazon, ami kompatibilis a $+$ művelettel: $\forall a,b,c\in G\colon\ a \leq b \;\Longrightarrow\; a+c \leq b+c$. Bizonyítsa be, hogy ekkor $\ a \leq b \;\Longrightarrow\; -a \geq -b\ $ teljesül minden $a,b\in G$ esetén.
|
március 9. (Részben)rendezett csoportok és gyűrűk; az egész számok rendezett gyűrűje.
Csoport és gyűrű kompatibilis részbenrendezéseinek és lineáris rendezéseinek leírása pozitivitási tartományokkal; az egész számok rendezése és annak egyértelműsége.
Házi feladatok:
- Tekintsük az egész számok additív csoportján a $P=\{ 0,2,3,4,5,\ldots \}$ pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
- Tekintsük az egész számok additív csoportján a $P=\{ 0,3,6,9,12,\ldots \}$ pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
- Határozza meg a $(\mathbb{Z}_{10};+)$ csoport összes lehetséges pozitivitási tartományát és a hozzájuk tartozó részbenrendezéseket.
|
március 16. Tavaszi szünet.
|
március 23. Rendezett testek; a racionális számok teste.
Rendezett testek karakterizációja; a racionális számok teste
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy a komplex számok testének nincs kompatibilis lineáris rendezése. A bizonyításhoz nem használható a rendezett testeket karakterizáló tétel, csak a pozitivitási tartományok (P0), (P+), (P·), (P−) és (PLIN) tulajdonságai (jelezze is minden lépésnél, hogy melyik tulajdonságot használja).
- Mutassa meg egy ellenpéldával, hogy az $A=\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ halmazon a szorzás nem disztributív az összeadásra.
- Mely elemeknek van additív inverze az $(A;+,\cdot)$ algebrai struktúrában?
- Mely elemeknek van multiplikatív inverze az $(A;+,\cdot)$ algebrai struktúrában?
|
március 30. A racionális számok rendezett teste; a valós számok Cantor-féle felépítése; Dedekind-szeletek.
A a racionális számok rendezése, arkhimédeszi tulajdonság; a valós számok Cantor-féle felépítése; a Dedekind-szelet fogalma, példák, ekvivalens leírás „fel”-halmazokkal.
Házi feladatok:
- Határozza meg a Cauchy-sorozatok $(A;+,\cdot)$ gyűrűjének zérusosztóit. (Emlékeztető: egy kommutatív $R$ gyűrűben az $a$ elem akkor zérusosztó, ha $a\neq 0$ és létezik olyan $b\in R$, amelyre $b \neq 0$ és $ab=0$.)
- Bizonyítsa be, hogy az $X = \{ x \in \mathbb{Q}^+ \mid x^2>2 \}$ halmaz Dedekind-szelet (azaz rendelkezik a (VRH), (FSZ), (NLK) tulajdonságokkal). A bizonyítás során csak racionális számokat lehet használni (így pl. nem használhatjuk azt, hogy $X = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x>\sqrt{2}\, \}$).
|
április 6. Dedekind-szeletek tulajdonságai, szeletek összege, pozitív és negatív szeletek.
Dedekind-szeletek egyesítése, szelet széle, az $(\mathcal{R};+)$ Abel-csoport, pozitív és negatív szeletek, $(\mathbb{Q};+)$ beágyazása $(\mathcal{R};+)$-ba.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy ha $X$ és $Y$ két különböző Dedekind-szelet, akkor $X \subset Y$ vagy $Y \subset X$.
- Adjon példát olyan $X_1,X_2,\ldots$ Dedekind szeletekre, amelyeknek metszete nem üres, de nem is Dedekind-szelet: $\emptyset \neq \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}X_i \notin \mathcal{R}$.
|
április 13. Pozitív Dedekind-szeletek szorzása, a Dedekind-szeletek rendezett teste.
Pozitív Dedekind-szeletek szorzása, az $(\mathcal{R}^+;\cdot)$ Abel-csoport, a szorzás kiterjesztése negatív szeletekre, az $(\mathcal{R};+,\cdot)$ test, $(\mathbb{Q};+,\cdot)$ beágyazása $(\mathcal{R};+,\cdot)$-ba, Dedekind-szeletek rendezése és a rendezés kapcsolata a tartalmazással.
Házi feladatok:
- Legyen $X=3^{\uparrow}$ és $Y=(-2)^{\uparrow}$. Határozza meg az $\{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \}$ halmazt. (Ez a példa mutatja, hogy negatív szeletek esetén miért nem használható az $X\cdot Y := \{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \}$ definíció.)
|
április 20. Gyökvonás pozitív Dedekind-szeletből; arkhimédeszi testek.
Pozitív Dedekind-szelet $n$-edik gyöke, a Dedekind-szeletek rendezésének egyértelműsége; $\mathbb{Q}$ beágyazása rendezett testbe, arkhimédeszi tulajdonság, végtelen és infinitezimális elemek, az arkhimédeszi tulajdonság ekvivalens jellemzései, a racionális törtek teste nem arkhimédeszi.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy két infinitezimális elem összege is infinitezimális. (Megjegyzés: Ebből következik, hogy az „infinitezimálisan közel lenni” reláció ekvivalenciareláció.)
- Legyen $T$ egy nemarkhimédeszi rendezett test, és legyen $\varepsilon \in T$ egy pozitív infinitezimális elem. Bizonyítsa be, hogy $\displaystyle\frac{2+\varepsilon}{\varepsilon-\varepsilon^2} \lt \frac{7}{\varepsilon}- \varepsilon$.
- Az előző feladatbeli elemek között fennáll-e a $\ll$ reláció is?
|
április 27. Teljes rendezett testek, a valós számok teste, tizedes törtek.
A Dedekind-teljesség fogalma, kapcsolata az arkhimédeszi tulajdonsággal, $\mathcal{R}$ Dedekind-teljessége, teljes rendezett test unicitása, a valós számok teste, a teljesség különböző definíciói, valós szám tizedes tört alakja, racionális szám tizedes tört alakjának periodicitása.
Házi feladatok:
- A tizedes tört felírása (vagyis az osztás elvégzése) nélkül, minél kevesebb számolással határozza meg $\frac{1}{13}$ tizedes tört alakjában a periódus hosszát. Figyelem: a legrövidebb periódust keressük!
- Melyik az a legkisebb $b$ természetes szám, amelyre $\frac{1}{b}$ tizedes tört alakja $7$-periodikus? Figyelem: a legrövidebb periódus legyen $7$, tehát pl. $b=3$ nem jó!
|
május 4. Komplex számok, Study-féle számok, hiperbolikus komplex számok, algebrák, $2$ rangú hiperkomplex rendszerek.
A komplex számok teste, a Study-féle számok gyűrűje, a hiperbolikus komplex számok gyűrűje, test feletti algebrák, az alaptest beágyazása, a $2$ rangú hiperkomplex rendszerek leírása.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy a Study-féle számok gyűrűjében teljesül az $(a+b\varepsilon)^n =a^{n}+na^{n-1}b\varepsilon$ azonosság minden pozitív egész $n$ kitevőre.
- Határozza meg a hiperbolikus komplex számok gyűrűjében a $13+12j$ elem összes négyzetgyökét.
|
május 11. Kvaterniók, Frobenius tétele.
A kvaterniók ferdeteste, kvaterniók és vektorok, $-1$ négyzetgyökei a kvaterniók körében, Frobenius tétele, Cayley-Dickson konstrukció, oktoniók, általánosított Frobenius-tétel, Hurwitz tétele.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy az $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ egyenlőségekből következik, hogy $ij=k=-ji$, $jk=i=-kj$, $ki=j=-ik$.
- Határozza meg a kvaterniók ferdetestében a harmadik egységgyököket, vagyis az összes olyan $q$ kvaterniót, amelyre $q^3=1$ (végtelen sok van!).
|