Lineáris algebra II előadás

A vektortér fogalma, nevezetes példák. Az altér fogalma, alterek megadása generátorrendszerrel és homogén lineáris egyenletrendszer megoldástereként. Alterek metszete és összege, altérháló. A lineáris függetlenség ekvivalens megfogalmazásai.

• jegyzet: 2.1 – 2.33

Bázis ekvivalens megfogalmazásai, vektor koordinátái adott bázisban, generátorrendszer bázissá szűkítése, lineárisan független vektorrendszer bázissá bővítése. Kicserélési tétel, a dimenzió fogalma, vektorterek izomorfizmusa. Altér dimenziója.

• jegyzet: 2.34 – 2.57

Alterek dimenziótétele, két, illetve több altér direkt összegének ekvivalens leírásai. Vektorrendszer rangjának kétféle definíciója, mátrix sor- és oszloprangja, rangszámtétel, nemelfajuló mátrixok jellemzései. Kronecker–Capelli-tétel.

• jegyzet: 2.58 – 2.75

Szorzatmátrix rangjának becslése. A lineáris leképezés fogalma, nevezetes példák, műveletek lineáris leképezésekkel, izomorfia. Lineáris leképezés magtere és képtere. Generátorrendszer és független vektorrendszer (ős)képe lineáris leképezés mellett.

• jegyzet: 2.76 – 3.15

A rang plusz nullitás tétel és következményei: „skatulya-elv” lineáris leképezésekre, homogén lineáris egyenletrendszer megoldásterének dimenziója. Lineáris leképezés megadása egy bázison, lineáris leképezés mátrixa.

• jegyzet: 3.16 – 3.25

Lineáris leképezés mátrixa, összhang a mátrixműveletekkel. Áttérés más bázisra, hasonló mátrixok.

• jegyzet: 3.26 – 3.46
• Lineáris transzformáció illusztrálása kutyával és macskával.

Invariáns altér, lineáris transzformáció mátrixa invariáns alterek direkt összegén. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér, karakterisztikus polinom, sajátalterek összege mindig direkt összeg. Sajátérték geometriai és algebrai multiplicitása.

• jegyzet: 4.1 – 4.23

A diagonalizálhatóság szükséges és elegendő feltételei. Markov-láncok. Bilineáris leképezés mátrixa és koordinátás alakja, bázisáttérés.

• jegyzet: 4.24 – 4.28, 6.1 – 6.6
• Markov-láncok (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).

Szimmetrikus bilineáris leképezések, jellemzésük mátrixaik segítségével. Kvadratikus alakok számtestek fölött, polarizációs azonosság, nemelfajuló lineáris helyettesítés, kanonikus alakra hozás. Valós kvadratikus alakok normálalakja, tehetetlenségi tétel.

• jegyzet: 6.7 – 6.26

Kvadratikus alakok definitségi osztályai, pozitív definit mátrix „négyzetgyöke”, pozitív definit kvadratikus alakok jellemzése főminorokkal. Az euklideszi tér fogalma, nevezetes példák, norma és szög, CSÉB-egyenlőtlenség és háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és ortonormált vektorrendszerek, ortonormált bázis, ONB-ben szép az élet. Vektor felbontása adott altérbe eső és arra merőleges komponens összegére.

• jegyzet: 6.27 – 6.51
• Kvadratikus alakok (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).
• Gram–Schmidt-ortogonalizáció (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).

Gram–Schmidt-ortogonalizáció, mátrixok QR-felbontása. Ortonormált bázis létezése, kibővítés ortonormált bázissá, euklideszi terek izomorfiája, ortogonális komplementum. Lineáris transzformáció adjungáltja, kapcsolat a mátrixok transzponálásával.

• jegyzet: 6.52 – 6.66
• Gram–Schmidt-ortogonalizáció (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).

Önadjungált és ortogonális transzformációk, jellemzésük mátrixaikkal. Invariáns altér ortogonális komplementuma és transzformáció adjungáltja közötti kapcsolat.

• jegyzet: 6.67 – 6.72

Ortogonális transzformációk és ortogonális mátrixok ekvivalens jellemzései, (speciális) ortogonális csoport, a sík és a tér ortogonális transzformációinak leírása. Spektráltétel, spektrálfelbontás, főtengelytétel.

• jegyzet: 6.73 – 6.81
• Kvadratikus alakok főtengely-transzformációja (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).

Szingulárisérték-felbontás (SVD), alkalmazása képtömörítésre.

• jegyzet: 6.82 – 6.92
• Kvadratikus alakok főtengely-transzformációja (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).
• Spektrálfelbontás és SVD alkalmazása képtömörítésre (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).