Válogatott fejezetek az algebrából

Lehetetlenség bizonyítása invariánsok segítségével. A magasabb fokú egyenletek és a geometriai szerkeszthetőség problémájának algebrai megfogalmazása, gyökmennyiségek és négyzetgyökmennyiségek.

• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (1–22. oldal)
• az órán készült firka

Házi feladatok:

1. (október 25-re). Adott ßA,B,Cß pontok esetén szerkesszünk ßAß középpontú ß|BC|ß sugarú kört.
2. (október 25-re). Bizonyítsuk be, hogy egy ßQ=(x,y)ß pont akkor és csak akkor szerkeszthető meg, ha az ßxß és ßyß számok(nak megfelelő pontok az első tengelyen) megszerkeszthetőek. (Figyelem: a második tengely nincs megadva, azt is meg kell szerkeszteni, ha használni akarjuk!)
3. (október 25-re). Adott ßa,bß pozitív valós számokból (és a mindig megadott ß0ß és ß1ß számokból) kiindulva szerkeszzük meg az ßa \cdot bß és ßa/bß számokat.
4. (október 25-re). Adott ßaß pozitív valós számból (és a mindig megadott ß0ß és ß1ß számokból) kiindulva szerkeszzük meg a ß\sqrt{a}ß számot.
5. (szeptember 20-ra). Mutassuk meg, hogy nem léteznek olyan ßa,bß racionális számok, amelyekre ß\sqrt[3]{2}=a+b\sqrt{2}ß.
6. (szeptember 20-ra). Mutassuk meg, hogy nem léteznek olyan ßa,bß racionális számok, amelyekre ß\sqrt[3]{4}=a+b\sqrt[3]{2}ß.
7. (szeptember 20-ra). Ismételjük át az alábbiakat (pl. ebből a jegyzetből)
   • euklideszi algoritmus egész számokkal és polinomokkal (3.5, 5.17)
   • irreducibilis polinomok (5.35 – 5.51 és 5.57 – 5.66)

Pontosan a négyzetgyökmennyiségek szerkeszthetőek meg. Algebrai és transzcendens elemek, a minimálpolinom fogalma és tulajdonságai. Egyszerű transzcendens és egyszerű algebrai testbővítés: az elemek leírása, összeadás, kivonás, szorzás, multiplikatív inverz.

• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (23–24. oldal)
• Testbővítések (1–18. oldal)
• Irreducibilis polinomok (8–9,11–14. old)
• Irreducibilis polinomok ß\mathbb{Q}ß felett (2,10–12. old)
• az órán készült firka

Házi feladatok:

1. (október 25-re). Határozzuk meg ß\alpha=3-5iß minimálpolinomját ß\mathbb{C}ß, ß\mathbb{R}ß és ß\mathbb{Q}ß felett.
2. (október 25-re). Határozzuk meg ß\alpha=4-\sqrt{3}ß minimálpolinomját ß\mathbb{C}ß, ß\mathbb{R}ß és ß\mathbb{Q}ß felett.
3. (október 25-re). Határozzuk meg ß\alpha=i\sqrt{2-\sqrt{2}}ß minimálpolinomját ß\mathbb{C}ß, ß\mathbb{R}ß és ß\mathbb{Q}ß felett.
4. (október 25-re). Határozzuk meg ß\alpha=\sqrt{2}+iß minimálpolinomját ß\mathbb{C}ß, ß\mathbb{R}ß és ß\mathbb{Q}ß felett.
5. (október 25-re). Ismételjük át a vektortér, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió fogalmát.
6. (október 25-re). Gyöktelenítsük az alábbi tört nevezőjét (a végeredménynek ßa_0+a_1\sqrt[4]{2}+a_2\sqrt{2}+a_3\sqrt[4]{8}ß alakú kifejezésnek kell lennie, ahol ßa_0,a_1,a_2,a_3ß racionális számok):ßß\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2}}.ßß
7. (október 25-re). Számítsuk ki a ß\mathbb{Q}(\sqrt[3]{7})ß test alábbi elemeit (a végeredménynek mindkét esetben ßa_0+a_1\sqrt[3]{7}+a_2\sqrt[3]{49}ß alakú kifejezésnek kell lennie, ahol ßa_0,a_1,a_2ß racionális számok):ßß(1+\sqrt[3]{7}+2\sqrt[3]{49})\cdot(3\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49}), \quad \frac{1}{2-\sqrt[3]{7}}.ßß
8. (október 25-re). Legyen ß\alphaß az egyetlen valós gyöke az ßx^3-2x^2+x-1ß polinomnak. Ez a polinom irreducibilis ß\mathbb{Q}ß felett, mert csak harmadfokú, és nincs racionális gyöke (ugye?). Határozzuk meg a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben az ß\alpha^5ß és ß(\alpha+1)^{-1}ß elemeket (a végeredménynek mindkét esetben ßa_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2ß alakú kifejezésnek kell lennie, ahol ßa_0,a_1,a_2ß racionális számok).
   
   Megjegyzés:

   Közelítőleg ß\alpha \approx 1,755ß, a pontos érték pedig ßß\alpha = \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{25+3\sqrt{69}}{2}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{25-3\sqrt{69}}{2}}+\frac{2}{3},ßß de ezt talán jobb lett volna nem tudni...

A házi feladatok egy részének megbeszélése.

A maradék házi feladatok megbeszélése. Testbővítés fokszáma, egyszerű algebrai bővítés fokszámának kapcsolata a minimálpolinommal. Felbontási test és algebrai lezárt. Testbővítések fokszámtétele, oszthatósági feltétel végesfokú bővítés elemeinek fokára. Példák kétlépcsős bővítésre. Egyszerű négyzetgyökbővítés és négyzetgyökbővítés.

• Testbővítések (19–31. oldal)
• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (25–26. oldal)

Házi feladatok:

1. (december 6-ra). Határozza meg a ß[\mathbb{Q}(\sqrt{3},i):\mathbb{Q}]ß fokszámot, és adjon meg egy bázist a ß\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)ß testben (mint ß\mathbb{Q}ß feletti vektortérben).
2. (december 6-ra). Legyen ß\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}iß. Határozza meg a ß[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]ß fokszámot, és adjon meg egy bázist a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben (mint ß\mathbb{Q}ß feletti vektortérben).
3. (december 6-ra). Legyen ß\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}iß. Határozza meg az ß[\mathbb{R}(\alpha):\mathbb{R}]ß fokszámot, és adjon meg egy bázist az ß\mathbb{R}(\alpha)ß testben (mint ß\mathbb{R}ß feletti vektortérben).
4. (december 6-ra). Legyen ß\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}iß. Bizonyítsa be, hogy ß\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)ß.
5. (december 6-ra). Legyen ß\alpha=i\sqrt{2-\sqrt{2}}ß. Benne van-e ß\sqrt{2}ß illetve ß\sqrt[3]{2}ß a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben?
6. (december 6-ra). Legyen ß\alpha=i\sqrt{2-\sqrt{2}}ß. Benne van-e ß\sqrt[4]{2}ß a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben? (Ez egy trükkös feladat; többet ésszel, mint erővel!)

Pontosan az alaptest négyzetgyökbővítéseinek elemei szerkeszthetőek meg. Szükséges feltétel a szerkeszthetőségre, nevezetes szerkeszthetőségi problémák: kockakettőzés, körnégyszögesítés, szögharmadolás, szabályos sokszögek. Nemeuklideszi szerkesztések. Radikálbővítések, az algebrai számok teste, algebrai számok vs. gyökmennyiségek.

• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (26–39. oldal)
• Neuszisz szerkesztés
• Mathematics of paper folding
• szögharmadolás tomahawkkal (ggb)
• The Beauty of Roots
• az órán készült firka

1. (december 6-ra). Lehet-e körzővel és vonalzóval szöget ötödölni? Precízebben: létezik-e olyan euklideszi szerkesztési eljárás, amely tetszőleges megadott szögből ötödakkora szöget szerkeszt?
2. (december 6-ra). Lehet-e körzővel és vonalzóval kört „háromszögesíteni”? Precízebben: létezik-e olyan euklideszi szerkesztési eljárás, amely tetszőleges körhöz ugyanakkora területű háromszöget szerkeszt? (A háromszög alakja bármilyen lehet.)
3. (december 6-ra). Szerkeszthető-e 1, 2, illetve 3 fokos szög?.
4. (december 6-ra). Megszerkeszthetőek-e az alábbi számok? Kiindulásként csak egy egységnyi hosszúságú szakasz van megadva, tehát a szerkesztés alapteste a racionális számtest. ßß\alpha = \sqrt[13]{\frac{\cos\pi}{13}}, \quad \beta = \frac{\sqrt[13]{\cos\pi}}{13}, \quad \gamma = \frac{\cos\pi}{\sqrt[13]{13}}ßß

A maradék házi feladatok megbeszélése.

• az órán készült firka