Lineáris algebra II előadás

Előadás: kedd 10–12 Szőkefalvi terem

Tudnivalók a követelményekkel kapcsolatban

Jegyzet

Görög betűk

1. hét (szeptember 9). Vektortér, altér, generálás

A vektortér fogalma, nevezetes példák. Az altér fogalma, alterek megadása generátorrendszerrel és homogén lineáris egyenletrendszer megoldástereként. Alterek metszete és összege, altérháló.

  • jegyzet: 2.1 – 2.30
2. hét (szeptember 16). Lineáris függetlenség, bázis, dimenzió, alterek direkt összege

A lineáris függetlenség ekvivalens megfogalmazásai. Bázis, vektor koordinátái adott bázisban, generátorrendszer bázissá szűkítése, lineárisan független vektorrendszer bázissá bővítése. A dimenzió fogalma, vektorterek izomorfizmusa. Vektorrendszer rangjának kétféle definíciója, mátrix sor- és oszloprangja, rangszámtétel, szorzatmátrix rangjának becslése. Alterek dimenziótétele, két, illetve több altér direkt összegének ekvivalens leírásai.

3. hét (szeptember 23). Lineáris leképezések, képtér, magtér, projekciók

A lineáris leképezés fogalma, nevezetes példák, műveletek lineáris leképezésekkel, vektorterek izomorfiája. Generátorrendszer és független vektorrendszer (ős)képe lineáris leképezés mellett. Lineáris leképezés magtere és képtere. A projekció fogalma, a projekciók jellemzése, mint idempotens lineáris transzformációk.

  • jegyzet: 3.1 – 3.18
4. hét (szeptember 30). Lineáris leképezések dimenziótétele, lineáris leképezés mátrixa

Lineáris leképezés felbontása projekció és beágyazás szorzatára, rang plusz nullitás tétel. Lineáris leképezés mátrixa, lineáris leképezés megadása egy bázison, összhang a mátrixműveletekkel.

  • jegyzet: 3.19 – 3.35
5. hét (október 7). Lineáris leképezés mátrixai különböző bázisokban

Néhány síkbeli egybevágósági transzformáció mátrixa. Bázisáttérés mátrixa, lineáris leképezés mátrixai különböző bázisokban, hasonló mátrixok.

6. hét (október 14). Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás

Invariáns altér, lineáris transzformáció mátrixa invariáns alterek direkt összegén. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér, karakterisztikus polinom.

  • jegyzet: 4.1 – 4.14
7. hét (október 21). Diagonalizálhatóság, Markov-láncok

Sajátérték algebrai és geometriai multiplicitása, a kettő kapcsolata. Mátrix diagonalizálhatósága, szükséges és elegendő feltételek a diagonalizálhatóságra. Alkalmazás: Markov-láncok, PageRank.

8. hét (október 28). Minimálpolinom, Cayley–Hamilton-tétel

Mátrix minimálpolinomja, a minimálpolinom létezése és egyértelműsége. Polinommátrix vs. mátrixpolinom, Cayley–Hamilton-tétel. Invariáns alterek konstruálása polinomok segítségével.

  • jegyzet: 4.29 – 5.4
9. hét (november 4). Jordan-normálalak, bilineáris leképezések

Általánosított sajátvektorok, visszavezetés nilpotens transzformációkra, nilpotens lineáris transzformáció szerkezete, Jordan-lánc, Jordan-blokk, Jordan-normálalak. A bilineáris leképezés fogalma, bilineáris leképezés mátrixa és koordinátás alakja, áttérés más bázisra.

  • jegyzet: 5.5 – 6.6
10. hét (november 11). Kvadratikus alakok

Szimmetrikus bilineáris leképezések, jellemzésük mátrixaik segítségével. Kvadratikus alakok számtestek fölött, polarizációs azonosság, nemelfajuló lineáris helyettesítés, kanonikus alakra hozás.

  • jegyzet: 6.7 – 6.22
11. hét (november 18). Valós kvadratikus alakok, euklideszi terek, ortogonalitás

Valós kvadratikus alakok normálalakja, tehetetlenségi tétel, definitségi osztályok. Pozitív definit mátrix „négyzetgyöke”. Az euklideszi tér fogalma, nevezetes példák, norma és szög, CSÉB-egyenlőtlenség és háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és ortonormált vektorrendszerek, ortonormált bázis, ONB-ben szép az élet. Vektor felbontása adott altérbe eső és arra merőleges komponens összegére.

12. hét (november 25). Ortogonalizáció, adjungált

Gram–Schmidt-ortogonalizáció, mátrixok QR-felbontása. Ortonormált bázis létezése, kibővítés ortonormált bázissá, euklideszi terek izomorfiája. Altér ortogonális komplementuma, kapcsolat a lineáris egyenletrendszerekkel, altér előállítása hipersíkok metszeteként. Lineáris transzformáció adjungáltja, kapcsolat a mátrixok transzponálásával, önadjungált és ortogonális transzformációk, önadjungált transzformáció sajátalterei ortogonálisak.

13. hét (december 2). Ortogonális transzformációk, spektráltétel és főtengelytétel

Ortogonális transzformációk és ortogonális mátrixok ekvivalens jellemzései, (speciális) ortogonális csoport, a sík és a tér ortogonális transzformációinak leírása. Spektráltétel, spektrálfelbontás, főtengelytétel.

  • jegyzet: 6.72 – 6.81
14. hét (december 9). Szingulárisérték-felbontás és alkalmazásai

A spektrálfelbontás mátrixos alakja. Mátrixok szingulárisérték-felbontása (SVD = Singular Value Decomposition). Az SVD alkalmazása képtömörítésre és gépi tanulásra (PCA = Principal Component Analysis = főkomponens-analízis).