Absztrakt algebra: műveletek

Ugrás feladathoz: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1. feladat.

1. Művelet-e az összeadás a hárommal osztható egész számok halmazán?
   művelet? igen nem
2. Művelet-e az összeadás a hárommal nem osztható egész számok halmazán?
   művelet? igen nem
3. Művelet-e az osztás a pozitív egész számok halmazán?
   művelet? igen nem
4. Művelet-e az összeadás az $\{ a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}^+ \}$ halmazon?
   művelet? igen nem
5. Művelet-e $x\ast y = \sqrt{xy}$ a valós számok halmazán?
   művelet? igen nem
6. Művelet-e $x\ast y = \sqrt{xy}$ a komplex számok halmazán?
   művelet? igen nem
7. Művelet-e a metszés az $\{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \} \}$ halmazon?
   művelet? igen nem

2. feladat.

1. Művelet-e a szorzás a hárommal osztható egész számok halmazán?
   művelet? igen nem
2. Művelet-e a szorzás a hárommal nem osztható egész számok halmazán?
   művelet? igen nem
3. Művelet-e az összeadás a $[0,1]$ intervallumon?
   művelet? igen nem
4. Művelet-e a szorzás a $[0,1]$ intervallumon?
   művelet? igen nem
5. Művelet-e a szorzás az $\{ a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}^+ \}$ halmazon?
   művelet? igen nem
6. Művelet-e az egyesítés az $\{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \} \}$ halmazon?
   művelet? igen nem

3. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából az $A=\{ a,b,c,d \}$ halmazon az alábbi táblázattal definiált $\ast$ műveletet. $$ \begin{array} [c]{c|cccc}% \ast & a & b & c & d\\\hline a & a & b & c & d\\ b & b & a & c & d\\ c & c & c & c & c\\ d & d & d & c & c \end{array} $$

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem a zéruselem b zéruselem c zéruselem d zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem a egységelem b egységelem c egységelem d egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  a-nak? a-nak nincs a-nak van   b-nek? b-nek nincs b-nek van   c-nek? c-nek nincs c-nek van   d-nek? d-nek nincs d-nek van

4. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából az $A=\{ a,b,c,d \}$ halmazon az alábbi táblázattal definiált $\circ$ műveletet. $$ \begin{array} [c]{c|cccc}% \circ & a & b & c & d\\\hline a & c & a & b & b\\ b & a & b & c & d\\ c & b & c & b & a\\ d & b & d & c & a \end{array} $$

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem a zéruselem b zéruselem c zéruselem d zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem a egységelem b egységelem c egységelem d egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  a-nak? a-nak nincs a-nak van   b-nek? b-nek nincs b-nek van   c-nek? c-nek nincs c-nek van   d-nek? d-nek nincs d-nek van

5. feladat. Írjuk fel a $\mathbb{Z}_{5}$ halmazon a szorzás művelettáblázatát, és vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem 0 zéruselem 1 zéruselem 2 zéruselem 3 zéruselem 4 zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem 0 egységelem 1 egységelem 2 egységelem 3 egységelem 4 egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  0-nak? 0-nak nincs 0-nak van   1-nek? 1-nek nincs 1-nek van   2-nek? 2-nek nincs 2-nek van   3-nak? 3-nak nincs 3-nak van   4-nek? 4-nek nincs 4-nek van

6. feladat. Írjuk fel a $\mathcal{P}\left( \{u,v\}\right) $ halmazon az egyesítés művelettáblázatát, és vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem Ø zéruselem {u} zéruselem {v} zéruselem {u,v} zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem Ø egységelem {u} egységelem {v} egységelem {u,v} egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  Ø-nak? Ø-nak nincs Ø-nak van   {u}-nak? {u}-nak nincs {u}-nak van   {v}-nek? {v}-nek nincs {v}-nek van   {u,v}-nek? {u,v}-nek nincs {u,v}-nek van

7. feladat. Írjuk fel a $\{1,-1,i,-i\}$ halmazon a szorzás művelettáblázatát, és vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem 1 zéruselem –1 zéruselem i zéruselem –i zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem 1 egységelem –1 egységelem i egységelem –i egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  1-nek? 1-nek nincs 1-nek van   –1-nek? –1-nek nincs –1-nek van   i-nek? i-nek nincs i-nek van   –i-nek? –i-nek nincs –i-nek van

8. feladat. Írjuk fel az $\{\mathtt{igaz},\mathtt{hamis}\}$ halmazon az implikáció művelettáblázatát, és vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem igaz zéruselem hamis zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem igaz egységelem hamis egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  igaz-nak? igaz-nak nincs igaz-nak van   hamis-nak? hamis-nak nincs hamis-nak van

9. feladat. Írjuk fel az $\{1,2,3\}$ halmazon az $x\sqcap y=\min\{x,y\}$ művelet művelettáblázatát, és vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem 1 zéruselem 2 zéruselem 3 zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem 1 egységelem 2 egységelem 3 egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  1-nek? 1-nek nincs 1-nek van   2-nek? 2-nek nincs 2-nek van   3-nak? 3-nak nincs 3-nak van

10. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából az $A=\{u,v,w\}$ halmazon az alábbi táblázattal definiált $\diamond$ műveletet. $$ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array} [c]{c|ccc} \diamond & u & v & w\\\hline u & v & w & u\\ v & w & u & v\\ w & u & v & w \end{array} $$

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Van-e zéruselem?
  zéruselem? nincs zéruselem u zéruselem v zéruselem w zéruselem
• Van-e egységelem?
  egységelem? nincs egységelem u egységelem v egységelem w egységelem
• Mely elemeknek van inverze?
  u-nak? u-nak nincs u-nak van   v-nek? v-nek nincs v-nek van   w-nek? w-nek nincs w-nek van

11. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából az egész számok halmazán értelmezett $a\bullet b=a+b+23$ műveletet.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Mi a zéruselem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  zéruselem: 
• Mi az egységelem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  egységelem: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $0$ inverze: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $-100$ inverze: 

12. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából az egész számok halmazán értelmezett $a\otimes b=b+2$ műveletet.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Mi a zéruselem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  zéruselem: 
• Mi az egységelem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  egységelem: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $2$ inverze: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $-2$ inverze: 

13. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából a valós számok halmazán értelmezett $a\star b=12-3a-3b+a\cdot b$ műveletet.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Mi a zéruselem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  zéruselem: 
• Mi az egységelem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  egységelem: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $2$ inverze: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $3$ inverze: 

14. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából az egész számok halmazán értelmezett $a\oplus b=a$ műveletet.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Mi a zéruselem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  zéruselem: 
• Mi az egységelem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  egységelem: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $0$ inverze: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $1$ inverze: 

15. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából a komplex számok halmazán a kivonás műveletét.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Mi a zéruselem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  zéruselem: 
• Mi az egységelem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  egységelem: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $i$ inverze: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ inverze: 

16. feladat. Vizsgáljuk meg a tanult műveleti tulajdonságok szempontjából a valós számok halmazán értelmezett $a\bigtriangleup b=ab-2(a+b)+6$ műveletet.

• Kommutatív-e a művelet?
  kommutatív? igen nem
• Asszociatív-e a művelet?
  asszociatív? igen nem
• Mi a zéruselem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  zéruselem: 
• Mi az egységelem? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  egységelem: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $2$ inverze: 
• Mi a megadott elem inverze? (Ha nincs, írd be azt, hogy nincs.)
  $4$ inverze: