Absztrakt algebra

Lehetetlenség bizonyítása invariánsok segítségével. A magasabb fokú egyenletek és a geometriai szerkeszthetőség problémájának megfogalmazása. Gyökmennyiségek és négyzetgyökmennyiségek; pontosan a négyzetgyökmennyiségek szerkeszthetőek.

• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (1–24. oldal)
• Euclidea (szerkesztős játék)

Házi feladatok a következő előadásra (CooSpace-en kell beadni október 27-én délig):

1. Mutassa meg, hogy nem léteznek olyan ßa,bß racionális számok, amelyekre ß\sqrt[3]{2}=a+b\sqrt{2}ß.

Házi feladatok a következő gyakorlatra (nem kell beadni, de október 28-án a táblánál el lehet mondani):

1. Adott ßA,B,Cß pontok esetén szerkesszen ßAß középpontú ß|BC|ß sugarú kört.
2. Bizonyítsa be, hogy egy ßQ=(x,y)ß pont akkor és csak akkor szerkeszthető meg, ha az ßxß és ßyß számok(nak megfelelő pontok az első tengelyen) megszerkeszthetőek. (Figyelem: a második tengely nincs megadva, azt is meg kell szerkeszteni, ha használni akarjuk!)
3. Adott ßa,bß pozitív valós számokból (és a mindig megadott ß0ß és ß1ß számokból) kiindulva szerkessze meg az ßa \cdot bß és ßa/bß számokat.
4. Adott ßaß pozitív valós számból (és a mindig megadott ß0ß és ß1ß számokból) kiindulva szerkessze meg a ß\sqrt{a}ß számot.

Algebrai és transzcendens elemek, a minimálpolinom fogalma és tulajdonságai. A testbővítés fogalma; egy elem hozzáadásával generált részgyűrű és résztest.

• Testbővítések (1–11. oldal)

Egyszerű transzcendens és egyszerű algebrai testbővítések, leírásuk racionális törtekkel, illetve polinomok maradékosztályaival.

• Testbővítések (12–17. oldal)
• Művelettáblázat-színező (illusztráció az izomorfia fogalmához)

Nevező gyöktelenítése különböző módszerekkel. Egyszerű algebrai bővítés konstrukciója (minden irreducibilis polinom minimálpolinom). Véges testek létezése és unicitása. Felbontási test és algebrai lezárt. Testbővítés fokszáma, egyszerű algebrai bővítés fokszámának kapcsolata a minimálpolinommal. Egyszerű algebrai, végesfokú és algebrai bővítések közötti kapcsolat, primitív elem.

• Testbővítések (18–25. oldal)

Testbővítések fokszámtétele, oszthatósági feltétel végesfokú bővítés elemeinek fokára. Az algebrai számok teste. Egyszerű négyzetgyökbővítés és négyzetgyökbővítés. Pontosan az alaptest négyzetgyökbővítéseinek elemei szerkeszthetőek meg. Szükséges feltétel a szerkeszthetőségre, nevezetes szerkeszthetőségi problémák: kockakettőzés, körnégyszögesítés, szögharmadolás, szabályos sokszögek. Nemeuklideszi szerkesztések.

• Testbővítések (25–27. oldal)
• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (25–35. oldal)
• Neuszisz szerkesztés (betolóvonalzó)
• Mathematics of paper folding
• szögharmadolás tomahawkkal (ggb)

Minden gyökmennyiség algebrai szám. Galois-kapcsolatok és fogalomhálók. Testbővítés, illetve polinom Galois-csoportja, a Galois-kapcsolat. A másodfokú egyenlet megoldóképlete.

• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (36–39. oldal)
• Galois-kapcsolatok (1–39. oldal)
• The Beauty of Roots
• Czédli Gábor és Schmidt Tamás: Fogalomhálók. Polygon IV/2 (1994), 27–46.

A Galois-elmélet főtétele, alkalmazása szerkeszthetőség és gyökjelekkel való megoldhatóság eldöntésére. Feloldható csoportok, a harmad-, negyed- és ötödfokú egyenlet megoldóképletének vizsgálata a Galois-csoport szemszögéből, diszkrimináns. A gyűrű és az integritástartomány fogalma, alaptulajdonságok és nevezetes példák.

• Galois-kapcsolatok (40–53. oldal)
• Gyűrűk (1–2. oldal)

Egységek, oszthatóság, asszociáltság, lnko, irreducibilis és prím elemek integritástartományokban, euklideszi gyűrűk és Gauss-gyűrűk.

• Gyűrűk (a 32–40. oldalak kivételével)