Bevezetés a számelméletbe előadás

Követelmények

A félév során összesen 100 pontot lehet szerezni az alábbiak szerint.

A fentiekkel összesen 100 pontot lehet szerezni. Ha a fenti minimumfeltételek teljesülnek, akkor az alábbi ponthatárok alapján alakul ki egy „ideiglenes osztályzat”.

A vizsgaidőszakban szóbeli vizsgák lesznek, ahol a tételsorból húzott témából kell felelni; a sikeres vizsgához mindenképpen kell a bizonyításokat is tudni. Vizsgát csak az tehet, akinek a fentiek alapján kiszámított ideiglenes osztályzata legalább kettes. Ezt az osztályzatot a vizsgán legfeljebb egy jeggyel lehet javítani. Kétféle tételsor lesz, az egyikben könnyebb, a másikban nehezebb tételek; tetszés szerint lehet választani a kettő közül, de a könnyebb tételekkel hármasnál jobbat nem lehet kapni.

Automatikusan elégtelen az osztályzata, és nincs pótlási, javítási lehetősége annak, aki nem megengedett eszközökhöz folyamodik, pl. puskázik, feladatot másol le, vagy engedi azt lemásolni.

Tematika

Részbenrendezések, ekvivalenciák és osztályozások. Oszthatóság, maradékos osztás, legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös, euklideszi algoritmus, lineáris diofantoszi egyenletek. A felbonthatatlanság (irreducibilitás) és a prímtulajdonság ekvivalenciája, a számelmélet alaptétele. A modulo m kongruenciareláció, maradékosztályok, lineáris kongruenciák és kongruencia-rendszerek, kínai maradéktétel. Teljes és redukált maradékrendszerek, Wilson tétele, Euler–Fermat-tétel. Számelméleti függvények, nevezetes példák, gyengén multiplikatív függvények. Tökéletes számok és Mersenne-prímek. Számelméleti függvények konvolúciója, összegzési és megfordítási függvény, Möbius-féle inverziós formula. Rend, primitív gyök, index, hatványmaradékok. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum, kvadratikus reciprocitás. Négyzetszámok összegére való felbontás (Fermat és Lagrange tétele), pitagoraszi számhármasok, nagy Fermat-tétel, Waring-problémakör. Elemi tételek a prímszámok eloszlásáról, a prímek reciprokaiból alkotott sor divergenciája, prímszámtétel, nevezetes megoldatlan problémák.

A tanulásról

A tananyag sok és nehéz, csak rendszeres munkával lehet elsajátítani, reménytelen vállalkozás lenne a vizsgaidőszakban megtanulni az egészet. Ezért mindenkitől elvárjuk, hogy hétről-hétre gondolja át az előadás anyagát, oldja meg a házi feladatokat, és felkészülten jöjjön a következő előadásra és gyakorlatra. Persze nem kell mindent a legapróbb részletekig elsőre megtanulni, de legalább a fogalmakat, főbb összefüggéseket és számolási eljárásokat igyekezzen mindenki megérteni és megjegyezni, hiszen az előadást csak az tudja követni, és a gyakorlaton csak az tud eredményesen és aktívan részt venni, aki többé-kevésbé „képben van” a tanult anyagból.

A tanulást megkönnyítendő készítettem egy vázlatot az előadás anyagából; terveim szerint ezt meglehetősen pontosan fogjuk követni. Hangsúlyozom, hogy ez csak vázlat, még annak is szűkszavú. Nemcsak a tételek bizonyításai hiányoznak belőle, hanem a példák és sok magyarázat is. Tehát ez önálló tanulásra alkalmatlan, feltétlenül szükséges az előadásra bejárni és jegyzetelni. A vázlatban előfordulhatnak sajtóhibák, tessék kritikus szemmel olvasni! Kérem, hogy szóljon nekem, aki hibát vagy homályos dolgot talál benne (például ha úgy tűnik, hogy a vázlat nincs összhangban az előadáson elhangzottakkal).

Ajánlott irodalom

A legfontosabb természetesen a saját kezűleg készített jegyzet, már csak azért is, mert kimondottan ehhez a tárgyhoz készült nyomtatott jegyzet, illetve tankönyv nincs, az előadás anyagát sok helyről szedtem össze. Persze ahány könyv, annyiféle felépítés és jelölésrendszer, de az előadásvázlat segít összehangolni a dolgokat. Tájékoztatásul alább felsorolom azokat a könyveket, amelyeket a legtöbbet forgattam az előadásra készülve, de bátorítok mindenkit, hogy használja a Bolyai Intézet könyvtárának gazdag gyűjteményét, és érdeklődésének megfelelően más könyvekbe is beleolvasson.