Absztrakt algebra

Követelmények

A kurzus teljesítéséhez három zárthelyi dolgozatot kell írni a szorgalmi időszakban (március 8., március 29., április 11.), valamint a vizsgaidőszakban szóbeli vizsgát kell tenni.

A dolgozatokban a gyakorlaton megbeszélt (és házi feladatként feladott) példákhoz hasonló feladatok fognak szerepelni. Mind a három dolgozatnál külön-külön legalább 25%-ot, a három dolgozat átlagában pedig legalább 40%-ot el kell érni; ellenkező esetben a kurzus teljesítése sikertelen. A „gyakorlati jegy” értéke (sz-20)⋅0,075 a legközelebbi egészre kerekítve, ahol sz a három dolgozaton nyújtott teljesítmény átlaga, százalékban kifejezve.

A szóbeli vizsgán mindenki egy tételt húz a tételsorból; a felkészülési idő alatt ezt írásban ki lehet dolgozni, majd a táblánál elő kell adni. A tanult fogalmakat és összefüggéseket tudni és érteni kell, a bizonyításokkal együtt. A szóbeli vizsga és a gyakorlat értékelése együttesen határozzák meg az osztályzatot. Elégtelen szóbeli vizsga esetén a gyakorlati pontszámtól függetlenül automatikusan elégtelen a végső jegy.

A tanulásról

A tananyag sok, nehéz, és elvont, emiatt nem csak megérteni és megtanulni kell, de megszokni is. Ehhez pedig idő kell. Ezért mindenkit óva intek attól, hogy csak a vizsgaidőszakban kezdjen el tanulni; reménytelen vállakozás a vizsgaidőszakban feldolgozni az egész anyagot. Az óraszám kevés ahhoz, hogy minden elhangozhassék előadáson, ezért néhány anyagrészt önállóan kell megérteni és megtanulni. A gyakorlatok óraszáma is nagyon alacsony; épp csak arra elég, hogy a legfontosabb típusfeladatokból megnézzünk egyet-egyet. Ezt mindenképpen szükséges kiegészíteni otthoni feladatmegoldással, gyakorlással. E célt szolgálják az órán feladott házi feladatok, amelyek megoldását ugyan nem kell beadni, de a velük való foglalkozás elengedhetetlen a dolgozatok sikeres megírásához.

Előismeretek

Az absztrakt algebra – amint a neve is mutatja – absztrakt algebrai struktúrákkal foglalkozik. Az általános elmélet megértését nagyban segíti, ha azt már korábban megismert konkrét struktúrákon illusztráljuk, illetve ezekből a speciális esetekből „absztraháljuk” az általános fogalmakat és összefüggéseket. Ezért erősen építünk a korábban tanult számelméleti, lineáris algebrai és klasszikus algebrai ismeretekre (ezek a kurzusok előfeltételei is az absztrakt algebrának). A legfontosabb átismétlendő témakörök a következők.

Számelméletből: Részbenrendezések, ekvivalenciák és osztályozások, oszthatóság, legnagyobb közös osztó, maradékos osztás, euklideszi algoritmus, lineáris diofantoszi egyenletek, egyértelmű prímfelbontás, kongruenciareláció, maradékosztályok, lineáris kongruenciák és kongruenciarendszerek, Euler-féle φ függvény, Euler–Fermat-tétel, kis Fermat-tétel, modulo m rend, primitív gyökök. Lásd például ezt az előadásvázlatot (1.1–3.3, 4.1–4.12) és feladatsort (6, 17, 18, 22, 33, 34, 38, 39, 53, 54, 56, 57, 88, 90).

Klasszikus algebrából: Komplex számok, (primitív) egységgyökök, csoportok, gyűrűk, integritástartományok, testek, eukideszi gyűrűk, főideálgyűrűk, Gauss-gyűrűk, főideálgyűrűk faktortestei, test feletti polinomgyűrű, polinom (többszörös) gyöke, az algebra alaptétele, irreducibilis polinomok (különösen a racionális számok teste felett). Lásd például ezt az előadásvázlatot (1.1–4.32) és feladatsort (8, 16, 17, 18, 19, 26, 27, 28, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 45, 51, 52, 53, 59, 60, 63, 64, 65, 66, 69, 70).

Lineáris algebrából: Mátrixok, mátrixműveletek, mátrix inverze, vektortér, altér, lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázis, generált altér, lineáris transzformáció, lineáris transzformáció mátrixa.

Geometriából: Egybevágósági transzformációk az euklideszi síkon, előállításuk tükrözések szorzataként.

Ajánlott és kötelező irodalom