Absztrakt algebra

Követelmények

A kurzus teljesítéséhez házi feladatokat kell beadni és három elektronikus tesztet kell kitölteni a CooSpace-en a szorgalmi időszakban, valamint szóbeli vizsgát kell tenni a vizsgaidőszakban.

A házi feladatok beadásának és a tesztek megírásának végső határideje a szorgalmi időszak utolsó napja. Tankönyveket, jegyzeteket, számítógépet lehet használni a feladatok megoldásához, de más személy segítségét igénybe venni szigorúan tilos. Automatikusan elégtelen az osztályzata, és nincs pótlási, javítási lehetősége annak, aki nem megengedett eszközökhöz folyamodik, pl. feladatot másol le, vagy engedi azt lemásolni.

Vizsgát csak az tehet, aki a házi feladatokkal és a tesztekkel is legalább 20-20 pontot szerzett. A vizsgán az alábbi ponthatárok alapján megállapított „ideiglenes osztályzatot” legfeljebb egy jeggyel lehet javítani:

A szóbeli vizsgán a tételsorból húzott témából kell felelni; a sikeres vizsgához mindenképpen kell a bizonyításokat is tudni és érteni.

Előismeretek

Az absztrakt algebra – amint a neve is mutatja – absztrakt algebrai struktúrákkal foglalkozik. Az általános elmélet megértését nagyban segíti, ha azt már korábban megismert konkrét struktúrákon illusztráljuk, illetve ezekből a speciális esetekből „absztraháljuk” az általános fogalmakat és összefüggéseket. Ezért erősen építünk a korábban tanult számelméleti, lineáris algebrai és klasszikus algebrai ismeretekre (ezek a kurzusok előfeltételei is az absztrakt algebrának). A legfontosabb átismétlendő témakörök a következők.

Számelméletből: Részbenrendezések, ekvivalenciák és osztályozások, oszthatóság, legnagyobb közös osztó, maradékos osztás, euklideszi algoritmus, lineáris diofantoszi egyenletek, egyértelmű prímfelbontás, kongruenciareláció, maradékosztályok, lineáris kongruenciák és kongruenciarendszerek, Euler-féle φ függvény, Euler–Fermat-tétel, kis Fermat-tétel, modulo m rend, primitív gyökök. Lásd például ezt az előadásvázlatot (1.1–3.3, 4.1–4.12) és feladatsort (6, 17, 18, 22, 33, 34, 38, 39, 53, 54, 56, 57, 88, 90).

Klasszikus algebrából: Komplex számok, (primitív) egységgyökök, csoportok, gyűrűk, integritástartományok, testek, eukideszi gyűrűk, főideálgyűrűk, Gauss-gyűrűk, főideálgyűrűk faktortestei, test feletti polinomgyűrű, polinom (többszörös) gyöke, az algebra alaptétele, irreducibilis polinomok (különösen a komplex, valós és racionális számest felett). Lásd például ezt az előadásvázlatot (1.1–4.32) és feladatsort (8, 16, 17, 18, 19, 26, 27, 28, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 45, 51, 52, 53, 59, 60, 63, 64, 65, 66, 69, 70).

Lineáris algebrából: Mátrixok, mátrixműveletek, mátrix inverze, vektortér, altér, lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázis, generált altér, lineáris transzformáció, lineáris transzformáció mátrixa.

Geometriából: Egybevágósági transzformációk az euklideszi síkon, előállításuk tükrözések szorzataként.

Bizonyos feladattípusokat lehet gyakorolni a CooSpace-en (az előadás színterében az Előismeretek című tesztben) és Hartmann Miklós gyakorlóoldalán.

Ajánlott és kötelező irodalom