Bevezetés a lineáris algebrába

(2011. szeptrmber 6.)

 

 

1. Mátrixok összege, szorzata, skalárszorosa és transzponáltja. Mátrix műveletek és tulajdonságaik.

2. Determináns definíciója. Determináns egyenlő transzponáltjával.

2. Determinánsok tulajdonságai.

4. Determináns kifejtése, a ferde kifejtés tétele. Laplace-tétel.

5. A determinánsok szorzástétele, mátrixok inverze.

6. Lineáris egyenletrendszerek, Gauss-elimináció, Cramer-szabály.

7. Vektortér, a vektortér axiómák következményei. Altér, alterek metszete és összege. Lineáris kombináció, részhalmaz által generált altér, generátorrendszer.

8. Lineárisan független és függő vektorrendszerek.  Kicserélési tétel és következményei.

9. Bázis, minimális generátorrendszer, maximális lineárisan független vektorrendszer. Véges dimenziós vektorterek, vektortér dimenziója, vektorok koordinátái adott bázisban.

10. Vektorrendszer rangja és kapcsolata a generált altér dimenziójával. Vektorrendszerek elemi átalakításai, ekvivalens vektorrendszerek. Alterekre vonatkozó dimenziótétel.

11. Lineáris leképezések és transzformációk, vektorterek izomorfizmusa. Lineáris leképezések magja és képtere. Lineáris leképezések dimenziótétele.

12. Mátrix sor-, oszlop- és determinánsrangja. Rangszámtétel. Kronecker-Capelli-tétel, homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza altér, fundamentális megoldásrendszer.

13. Lineáris leképezések összege és skalárszorosa, a lineáris leképezések vektortere. Az összeadás és a skalárral való szorzás leképezésszorzással kapcsolatos tulajdonságai.

14. Lineáris leképezés mátrixa. Lineáris leképezés rangja egyenlő mátrixának rangjával. Lineáris leképezések összegének, szorzatának és skalárszorosának mátrixa.

15. Bázisátmenet mátrix, lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban.

16. Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja.

17. Bilineáris alak, szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak.

18. Kvadratikus alakok kanonikus alakja és alaptétele.

19. Valós kvadratikus alakok, tehetetlenségi tétel. Valós kvadratikus alakok osztályozása. Pozitív definit kvadratikus alakok.