imc2005

Beszámoló a 12th IMC nemzetközi matematikaversenyről (Blagoevgrad 2005)


    Ezúttal nem az öreg Corollámmal mentünk, hanem egy teljesen új Citroën Xsara Picassoval, amelyet a Citroën Hungária Kft. bocsátott a rendelkezésünkre ehhez az úthoz. Az első meglepetés egyből a határon ért minket, ahol megfigyeltük, hogy mindenki adja a szerb vámosoknak a dobozos üdítőket és a nagy csokoládékat.Én úgy tudtam, ez már tíz éve kiment a divatból, úgy látszik, most reneszánszát éli ez a balkáni tradíció. Erre nem készültünk, talán ennek tudható be, hogy még a motorháztetőt is felnyittatták velünk. Ez okozott egy kis problémát, ugyanis halvány fogalmam sem volt, hogyan kell felnyitni a Citroën motorháztetejét. Szerencsére megtaláltam azt a piros kart, ami nyitja, még mielőtt túlzottan kínossá vált volna a dolog. Végül azért elég simán átjutottunk, nem kell ide csokoládé. A következő kedves szerbiai szokás, amivel találkoztunk, az a következő: a Belgrád-Nis autópályán a fizetőkapuknál a díjszedők saját zsebre szedik a pénzt a külföldiektől, ráadásul többet, mint amennyi az autópályadíj. Nekünk azonban szükségünk volt a blokkra is az elszámoláshoz, úgyhogy ez most nem jött be nekik. Nisig viszonylag jók az utak, onnantól viszonyt szörnyűek. A kedvencem a meglepetés-alagút: ha az ember behajt egy ilyenbe, sosem lehet tudni, mi vár majd rá. Lehet, hogy ugyanúgy folytatódik az út, de lehet, hogy az alagútban nincs is aszfalt. A jobbik esetben legalább macskakő van, de az is előfordul, hogy semmi útburkolat, csak nagy kövek és gödrök. A szerb és a bolgár határ között van egy hatalmas placc és egy vámmentes cigarettabolt. Mint kiderült, közkedvelt hétvégi program a cigarettacsempészés, több százan ezt csinálták. Többgenerációs családok a legnagyobb természetességgel szedik szét az autójukat, telepakolják cigarettával, majd összerakják. Egyesek leszerelik a sárvédőket és a karosszéria alá teszik, másoknak a motortérben vannak preparált rekeszeik. Akiknek nincs kocsijuk, azok a nagymama szoknyája alá dugják a kartonokat. Érdekes volt megfigyelni az össznépi csempészetet. A bolgár határon aztán kifizettük a kerékfertőtlenítési díjat és az útdíjat, majd két és fél óra várakozás következett. Nem azért, mert olyan nagy volt a forgalom, hanem a bolgár határőrök egyszerűen lusták. Előfordult, hogy negyven percig egyetlen autót sem engedtek át, így aztán már besötétedett, mire a szófiai elkerülőhöz értünk, és még hátra volt száz kilométer. A vezetést a bolgár éjszakában nem ajánlom senkinek. Egyrészt nincsenek fényvisszaverők az út szélén, előre nem lehet látni, merre fogunk kanyarodni, aztán sok helyen volt útépítés és terelés, az ember a sötétben sosem lehetett teljesen biztos benne, hogy egyáltalán van-e előtte út. Vannak kivilágítatlan biciklisták és rengeteg kóbor állat. Egy horroriszikus élményben is volt részünk: az egyik kanyar után középen hirtelen feltűnt előttünk egy kutya, amint egy döglött (valószínűleg elütött) állatot marcangol.

    Végül azért eljutottunk Blagoevgradba, majd egy taxisofőr elkalauzolt minket a szállásunkhoz, ahol meglepően jó körülmények fogadtak. Az American University of Bulgaria kollégiumában laktunk, Szegeden sincs ennél jobb kollégium. A szobatársam, Peter Hästö két éve a helsinki csapatvezető volt, most azonban a versenyen első ízben résztvevő norvégokat vezette. Peter egyébként finnországi svéd, de már egy ideje Trondheimben dolgozik. Vicces volt közölni vele, hogy két héttel korábban éppen Trondheimben jártam. Tíz nyelven beszél, a matematika mellett doktorátusa van filozófiából és diplomája pszichológiából. Véletlenül úgy alakult, hogy mindkét nap vele voltam párban a javításnál. Kétszer olyan gyorsan javít, mint én, mégis alapos. Fogalmam sincs, hogy csinálja, de kicsit frusztráló volt.

    Másnap átaludtam a reggelit, aztán mentem zsűriülésre. A beküldött 62 feladatjavaslat között ezúttal egyetlen komplex függvénytani példa sem volt, így az idén ez a terület kimaradt a versenyből. A feladatok összeállítása után még bőven volt idő a megnyitóig, így aztán kicsit körül tudtam nézni. Annak ellenére, hogy Blagoevgrad nem rendelkezik semmilyen különleges látnivalóval, nagyon kellemes kis város. Az egész belváros egy nagy sétálózóna, sok fával és számtalan teraszos kávézóval, sörkerttel. A helyi sörök közül a Kamenyica, Sumenszko és Zagorka típusúakat kóstoltam meg, egész jók voltak. Az utcákon feltűnően sok csinos lány sétálgatott. Ambrus Gergő útikönyve azt állítja, hogy Blagoevgradban 20000 egyetemista tanul, akik között a fiúk és a lányok aránya 1:7. Mi lehet itt, amikor nincs tanítási szünet?

    Az első nap nagyon jól sikerült Ambrus Gergőnek és Varjú Péternek is. Ezen a napon a négy legjobb magyar közül kettő szegedi volt, erre még soha nem volt példa. A legjobb helyen álló magyar versenyző az első nap után Ambrus Gergő volt, aki egyben az első tízbe is került. A második napon Varjú Péter minden feladatot lényegében megoldott, ezzel a második napot holtversenyben megnyerte, ami egészen elképesztő teljesítmény, jómagam is csak ámultam-bámultam. Ambrus Gergő viszont rejtélyes módon a második napon nem volt jó formában, nagy kár ezért a második napért, mert az első napon Gergő igazán szenzációs volt. Hogy pontokkal is szemléltessem: Péter az első napon 81, a másodikon 110 pontot ért el, Gergő pedig 90, illetve 41 pontot. Kevei Péter pontjai 41 és 58, Jankó Andrásnak 45 és 40. Ők ketten szemmel láthatóan kissé csalódottak voltak, mert második díjat szerettek volna, de látszott, hogy ebből most harmadik díj lesz. Andrásnak tavaly sikerült a második díj, Péter pedig már évek óta éppen csak egy picivel csúszik le róla. Szerintem a harmadik díj is szép, régebben eleve ritkán volt olyan, hogy minden versenyzőnk díjazott lett, ez most fordult elő másodszor a nyolc év alatt, amióta Szeged szerepel a versenyen.

     A versenynapok után elvittek minket kirándulni a rilai kolostorhoz , tényleg nagyon szép. A kolostorban Ambrus Gergő közölte velem, hogy első díjat szeretne, majd felment a hegyekbe. Vitte magával Varjú Pétert és az ELTE legjobb versenyzőjét is. Ezt úgy kell elképzelni, hogy 1000 m-ről felmásztak 2729-re, egy menedékházban aludtak és csak másnap keveredtek vissza Blagoevgradba, mindezt térkép nélkül, minimális felszereléssel. Közben nekem reklamálnom kellett, főleg Ambrus Gergőnek, akinek több megoldását is lepontozták. Az első nap egyik legnehezebb feladatát nagyon elegánsan megoldotta, mégis csak 10 pontot kapott rá, ebből végül 18 lett. Egy másik nehéz feladatra nagyon ötletes megoldást adott, sajnos volt benne egy nagy lyuk, nekem nem is sikerült úgy befejezni , azért 10-ről ez is felment 14-re, emellett volt még egy javulás 2-ről 5-re. Kevei Péter is kapott még egy pluszpontot. Aztán ott volt még Varjú Péternek egy megoldása, a második nap legkönnyebb példájára csak 15 pontot kapott a 20-ból. Ekkor az volt a helyzet, hogy a princetoni diák kettő ponttal volt Péter előtt, adva volt hát a feladat: három pontot kell szerezni. Nem volt reménytelen az ügy. Annyi volt csak a hiba a megoldásban, hogy egyszer ">=" helyett "=" jel volt, valamint elfelejtette megemlíteni a triviális esetet. Az egyik finn javítónál kellett reklamálnom. 17 pontot végülis adott volna, de 18-at nem akart semmiképpen. Az érvelésem azon alapult, hogy az az "=" csak elírás, mert volt Péternek egy zárójeles megjegyzése, ami közvetett módon arra utalt, hogy tényleg gondolt arra az eshetőségre, amikor nincs egyenlőség. Végül nagy nehezen beadta a derekát. Megvan a 18 pont, megelőztük a princetonit, hurrá! Csakhogy később az a fránya princetoni is begyűjtött valahonnan három pontot és visszaelőzött. Sebaj, legalább az ötödik helyezettől jobban elhúztunk. Volt egy peches epizód is: még amikor javítottunk, két hasonló megoldáson kisebb vita volt, hogy hány pontot adjunk. Én az alacsonyabb pontszám mellett kardoskodtam, amit végül el is fogadtak. Később kiderült, hogy az egyik megoldás éppen Jankó Andrásé volt, így aztán nem volt erkölcsi alapom a reklamálásra.

    A zsűriben nagy vihart kavart a Pell-egyenletek ügye. Megpróbálom röviden leírni, miről van szó, már amennyire emlékszem. A második nap legnehezebb feladatát hosszas számolással vissza lehetett vezetni arra, hogy az x^2-7c^2y^2=4 diofantikus egyenletnek keressük a megoldását. Ez egy Pell-egyenlet, bár már az elnevezés is vita tárgyát képezte, egyesek szerint csak Pell-típusú egyenlet, de akárhogy is, a "sima" Pell-egyenletre (x^2-dy^2=1) vonatkozó közismert tételt fel lehetett használni a megoldás gyors befejezéséhez. Hogy is szól ez a közismert tétel? A Pell-egyenletnek van pozitív egész megoldása (mégpedig végtelen sok), ha d nem négyzetszám. Vagy inkább úgy szól, hogy ha d négyzetmentes? Ez volt a vita egyik központi kérdése. Több számelmélész szerint csak a négyzetmentes változat a közismert, mivel annak a bizonyítása jóval egyszerűbb és a legtöbb tankönyv is csak azt tartalmazza, jelen esetben pedig a négyzetszámos változat alkalmazandó. Igazából az okozza a gondot, hogy egy ügyes diák, miután eljutott a diofantikus egyenlethez, nyugodtan blöffölhet és odaírhatja, hogy közismert, hogy ennek van megoldása, tehát megoldottuk a feladatot. Ezt rizikó nélkül megteheti, mivel ha nem lenne megoldás, nem lenne igaz a feladata állítása sem. Másrészt előfordulhat olyan diák, aki tényleg jól ismeri a Pell-egyenletet, akkor pedig miért ne használhatná ezt a tudását? A kétfajta diákot sajnos nem tudjuk megkülönböztetni. Ambrus Gergő például cikket írt a Pell-egyenletről a Polygonba, valamint a megoldásában hivatkozott is a Niven-Zuckermanra.Másfelől tényleg volt, aki csak blöffölt. Olyan is volt, aki nem használta ezt a tételt és még sokat dolgozott a feladattal. A feladat eredeti javítói hosszas vita után úgy állapodtak meg, hogy aki erre hivatkozik, azt nem fogadják el teljes megoldásnak és 4 pontot levonnak a maximálisan adhatóból. Érdekes módon ez a probléma főként a magyar diákokat érintette, az összes ELTE-s versenyzőt, valamint Gergőt és Pétert. Úgy látszik, nálunk tényleg közismertebb a Pell-egyenlet. Az ELTE csapatvezetője, Keleti Tamás tett egy kísérletet rá, hogy ezt a pontozási metódust a zsűri utólag felülvizsgálja, de nagy vita után végül le lett szavazva a javaslat, pedig ez a magyar diákoknak néhány pluszpontot jelentett volna, Péter is újra a princetoni elé kerülhetett volna. Érdemes megnézni a Pell-egyenletről a mathworld és a wikipedia oldalát.

     Az utolsó nap már csak az eredményhirdetés volt hátra. Az International University Bremen felajánlott két ösztöndíjat. Az első helyezett belorusz diák el is fogadta, a második helyezett ukrán viszont nem kérte. A princetoni evidens módon nem fogadta el, így aztán felajánlották Péternek. Az volt a terv, hogy az eredményhirdetésen ünnepélyesen adják át az ösztöndíjakat, ezért előre meg akarták beszélni az érintettekkel. Igenám, csakhogy Péter még nem ért vissza a hegyekből, nem lehetett megkérdezni. Közben kaptunk tőlük egy SMS-t, hogy már a városban vannak, az eredményhirdetésnek meg el kellett volna kezdődnie. Végül befutnak Péterék, az eredményhirdetés kezdete csúszik, megkérdezik tőle, akar-e menni Brémába. Nem, nem akar. Akkor keresni kell gyorsan mást, végül letesznek arról, hogy ünnepélyesen adják át, majd később eldöntik. Kicsit ciki volt az ügy a brémai csapatvezetőnek, de igazából annyira nem is volt kecsegtető az ajánlat, hogy a szuper diákok két kézzel kapjanak utána. Megjegyzem, a brémai volt a legfőbb szószólója annak a pártnak, amelyik szerint a Pell-egyenlet nem közismert. A nap poénja az ELTE legjobb versenyzőjéhez, Harangi Viktorhoz fűződik, aki azt mondta, hogy ő nem is akar olyan helyre menni, ahol a Pell-egyenlet nem közismert. Csináltam egy kis videot arról, hogy a zsűri elnöke, John Jayne bejelenti a szegedi Grand First Prize-t.

     Hazafelé simán jöttünk, leszámítva egy szerb benzinkutast, aki megpróbált átverni, de igazából ezen már meg sem lepődtünk. A Citroën Xsara Picasso nagyon jó autó, igazán megtetszett. Azt a változatot kaptuk, amiben a nagyobb motor van, 1.6 SX HDi dízel (ez a változat 5 millióba kerül). 110 lóerős, így aztán méretéhez képest meglepően fürge. Öten is nagyon kényelmesen utaztunk vele, igazán tágas, a csomagtere hatalmas, könnyű vezetni. A fogyasztása is nagyon jó volt, országúton 4,5 liter, autópályán 130-as tempónál 6,2 liter, mindez klímával. A szegedi csapat még soha nem szerepelt ennyire jól ezen a versenyen, Varju Péter és Ambrus Gergő jó magasra tette a lécet a következő generációknak. Még egy dolgot szeretnék kiemelni Varju Péterrel kapcsolatban. Négy éve én vagyok a szegedi csapat vezetője, Péter most volt negyedéves, negyedik alkalommal (és egyben utoljára) vett részt ezen a versenyen, már elsősként is bekerült a csapatba. Szóval mindig együtt mentünk a versenyre ebben a négy évben, és amit igazán nagyszerűnek tartok, az a töretlen és nagy ívű fejlődés, amit Péter bemutatott. 2002-ben Varsóban elsősként harmadik díjat kapott, ekkor még a negyedik volt a csapaton belül. 2003-ban Kolozsváron már a legjobb szegediként első díjas volt. 2004-ben Skopjeban nagyon magabiztosan szerzett első díjat, ekkor már az abszolút legjobbak közelében volt, most pedig már az abszolút legjobbak egyike. Csapatvezetői szemmel is rendkívül érdekes volt ezt a fejlődést végigkövetnem. Ambrus Gergőnek is örültem, hogy két második díj után sikerült búcsúzóul egy első díjat nyernie.

Röst Gergely
csapatvezető

1. A verseny színhelye, az American University of Bulgaria                         2. Rezidencija Skaptopara, a szállásunk

3. A kollégium mögött békésen legelésző csacsi 4. A város ortodox temploma

5. Goce Delcsev, a nagy skopjei hős itt is hős

6. Blagoevgradi utcakép 7. Zagorkázás

8. A rilai kolostor 9. Csapat a rilai kolostorban a Kós házaspárral

10. Készülődés a túlélőtúrára 11. Záróbankett, sikerült túlélniük

12. Csapat és Citroën 13. Csapatvezető és Citroën

14-15. Citroën az Eötvös Kollégium udvarában

16. Varjú Péter tőlünk is kapott egy különdíjat, ami nem más, mint egy Boza. A Boza az egy bolgár népital, valami gabonalé. Iszonyat büdös és az íze még rosszabb, mint a szaga, de legalább olcsó volt.