Bizonyítási és problémamegoldási módszerek a kombinatorikában

Akkreditált pedagógus-továbbképzés

ONLINE, 2022. február 4-5. és február 11-12.

LEÍRÁS

• A továbbképzés a köznevelés 5-12. évfolyamán tanító matematikatanárok számára került meghirdetésre, 30 óra összóraszámmal.
• A képzést az EFOP 3.4.3. pályázat keretei között valósítjuk meg, ezért a részvétel díjmentes.
• A továbbképzés feladatközpontú, vagyis az idő nagy részében konkrét kombinatorika feladatokat oldunk meg közösen. Az elméleti/didaktikai kérdéseket is egy-egy ilyen feladathoz kapcsolva beszéljük meg. A feladatok összeállításánál az érettségi feladatok "szellemiségét" próbáltam követni, illetve természetesen nehezebb, szakkörre való feladatokat is tárgyalunk.
• A programnak két fő célkitűzése van: Egyrészt felfrissítjük, elmélyítjük és kiegészítjük az egyetemi/főiskolai tanárképzés kombinatorika tananyagát, másrészt áttekintjük a matematikai problémamegoldás során előforduló főbb bizonyítási és feladatmegoldó technikákat (teljes indukció, indirekt bizonyítás stb.).

JELENTKEZÉS

• A továbbképzésre a kari pedagógus-továbbképzés honlapon található jelentkezési lap elküldésével lehet jelentkezni (további részletek ott, ahol a piros kiemelés a jelentkezési lap letöltési linkje).
• Továbbá kérem, emailben is jelezzék a részvételi szándékot az előadónál, Nagy V. Gábornál (emailcím: ngaba@math.u-szeged.hu).

KÖVETELMÉNYEK

• A teljesítés egyik formai követelménye az órák minimum 80%-án való részvétel.
• A kiadott otthoni gyakorló feladatok megoldását a kitűzéstől számított 7 napon belül be kell nyújtani, illetve az oktató által jelzett hibákat ki kell javítani a projektmunka leadásának határidejéig. (A kijavítás történhet csoportmunkában az erre kijelölt órán, vagy személyes konzultáció útján is.)
• A résztvevőknek egyénileg egyeztetett témákban projektmunkát kell készíteniük. A projektmunka a kiválasztott témakör rövid elméleti bemutatását, valamint ehhez kapcsolódóan egy 1-2 órás feladatközpontú „szakköri” foglalkozásnak a tartalmi és módszertani kidolgozását tartalmazza. A projektmunkának 4-8 oldal terjedelműnek kell lennie az ábrákat nem számítva (A4-es lapon, 12 pontos betűmérettel, normál sorközzel és 2,5 cm-es margókkal). A projektmunkát személyesen vagy elektronikusan lehet benyújtani az utolsó foglalkozást követő 14 napon belül. A tartalmi ismereteket – a témakör elméleti bemutatásának és a szakköri foglalkozás anyagának szakmai megfelelőségét, valamint egy szakköri foglalkozáshoz elvárt matematikai mélység és „érdekesség” meglétét – és a módszertani kidolgozottságot – a téma felépítését; a gyakorló feladatok helyes megválasztását didaktikai szempontból (témához kapcsolódás, egymásra épülés, fokozatos nehezedés stb.); az óravázlatban szereplő oktatási módszerek megfelelő arányát – 50-50% arányban értékeljük. Az oktató ezen szempontok alapján egy 0 és 100 közötti pontszámmal értékeli a projektmunkát; a teljesítéshez legalább 70 pontos értékelés szükséges.

TEMATIKA

• Kombinatorikus alapelvek (mikor adunk össze?, mikor szorzunk?, bijekciós alapelv). Kettős leszámlálás. Skatulyaelv.
• Részhalmazok összeszámlálása. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög. Binomiális tétel.
• Sorbaállítások, átrendezések összeszámlálása. Permutációk ciklusai.
• Multihalmazok összeszámlálása. Multihalmazok sorbaállításai.
• Logikai szita és alkalmazásai.
• Rekurziók összeszámlálási feladatokban. Fibonacci-számok. Lineáris rekurziók megoldása. Példák nemlineáris rekurziókra.
• Gráfelméleti alapfogalmak. Fokszámtétel. Teljes gráfok. Komplementer gráf. Páros gráfok.
• Séták, vonalak, utak. Körök. Euler-vonal, Euler-tétel. Hamilton-út, Hamilton-kör.
• Összefüggő gráfok. Gráfok komponensei. Fák és tulajdonságaik. Fák élszáma. Feszítőfák.
• Gráfok színezése. Független ponthalmazok, klikkek. Síkgráfok. Tartományok színezése. Négyszín-tétel.
• Párosítások középiskolai feladatokban. Kőnig–Hall-tétel.
• Az extremális gráfelmélet és a Ramsey-elmélet alapjai középiskolai feladatokon keresztül.
• Ismétlés, konzultáció. A kiadott gyakorló feladatok igény szerinti megbeszélése.
• Felkészülés a projektmunkára: témák kiosztása, a tartalmi és formai szempontok megbeszélése.

KÖTELEZŐ IRODALOM

• Schultz János, Tarcsay Tamás: Matematika 11-12 – Emelt szint, 125-156. oldal, Maxim Kiadó, Szeged, 2010.

AJÁNLOTT IRODALOM

• Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok, Polygon Kiadó, Szeged, 2005.
• N. J. Vilenkin: Kombinatorika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.
• Hraskó András, Surányi László: Matkönyv feladatgyűjtemények / Kombinatorika (9-10. évfolyam), https://matkonyv.fazekas.hu/
• Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin: Kombinatorika, Typotex, Budapest, 2004.
• Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin: Diszkrét matematika, Typotex, Budapest, 2006.

FELADATSOROK

Folyamatosan kerülnek feltöltésre, a foglalkozásokkal párhuzamosan.