Többváltozós függvények blog, avagy "miről is volt szó?"

A feladatszámok két forrásra utalnak:

[1] Bagota Mónika-Németh József-Németh Zoltán: Analízis II. feladatgyűjtemény (Polygon, 2004)

[2] A Hatvani László professzor úr által összeállított feladatsor (ebben az anyagban sok az átfedés a B-N-N példatárral)

Az évközi dolgozatokban  ezekhez hasonló feladatok fognak szerepelni.

A B-N-N jegyzet feladatait lényegében fel kell dolgoznunk, ideális esetben még egy-két más feladatot is.

Elég sok feladatot felsorolok az alábbiakban. Ezek egy része kidolgozott feladat. A példatár csoportosítja a "sablon"feladatokat, nem akartam ezekbõl néhányat kiemelni, hogy legyen gyakorolnivaló. Természetesen "első olvasáskor" a hasonló feladatokból nem mindet kell megcsinálni, hogy a többi módszerekre, más feladattípusokra is jusson idõ.

Vegyük észre azt is, hogy a példatár néhány feladata valójában az "elméleti anyag" része.

1. hét

Környezetek, távolság, norma, skaláris szorzat általában. Az R^k vektortér, R^k-ban különböző normák/távolságok (de ezek ekvivalensek). Pontsorozatok konvergenciája, koordinátánkénti konvergencia. Halmazok külső, belső, határpontja. Halmaz torlódási pontja. Zárt és nyílt halmazok.

Feladatok: [1]-ből az 1. fejezet szinte egésze. (A 33-34, 41-43., 50-53., 55-57. feladatok most kihagyhatók, de vizsgán 4-5-ért kelleni fognak.)

2. hét

Többváltozós függvények (vektor-skalár, vektor-vekor). Nívóhalmazok, kétváltozós függvények ábrázolása szintvonalakkal, metszetekkel. Az R^k tér teljessége: Bolzano-Weierstrass-tétel, Cauchy-kritérium, Heine-Borel-féle(lefedési) tétel. Zárt halmazok metszete zárt, nyílt halmazok uniója nyílt. Folytonosság fogalma (epszilonos és sorozatos definíció) (a folytonosság az ért. tart. bármely pontjában lehetséges!). Folytonosság formális tulajdonságai, elemi függvények folytonosak.

Feladatok: [1]-ből 2. fejezet,  3. fejezetből 146-157; [2]-ből 4-27, 52-62.

3. hét

Többváltozós határérték fogalma (az ért. tart. torlódási pontjában), formális tulajdonságok. A ∞-divergencia esetei. Határérték és ismételt határérték. Összefüggő halmazok, körlánc-tétel, összefüggő halmaz folytonos képe. Kompakt halmazok, R^k-ban kompakt aa. korlátos és zárt. Korlátos és zárt (kompakt) halmazon folytonos fv. tulajdonságai, kompakt halmaz folytonos képe. Parciális derivált fogalma, a parciális deriválás műveleti szabályai, kapcsolat a folytonossággal (nincs.)

Feladatok: [1]-ből 3. fejezet 105-145,  [2]-ből 28-51; valamint [1]-ből 4.1 fejezet, [2]-ből 63-86.

4. hét

Irány szerinti derivált, kapcsolata a folytonossággal és a parciális deriválttal. Totális ("igazi") differenciálhatóság ("vektoros" és "skaláros" hibataggal is), geometriai jelentése (érintősík); kapcsolata a folytonossággal és a parciális, irány szerinti  deriváltakkal. Gradiensvektor, irány szerinti  derivált szélsőértékei. Összetett függvények differenciálási szabályai.

Feladatok: [1]-ből 4.2, 4.3 fejezetek; [2]-ből 63-102.

Az eddigiek az 1. dolgozat anyaga. (Ebben a dolgozatban csak feladatok lesznek, és a függvények csak kétváltozósak.)

5. hét

Young tétele a vegyes másodrendű parciális deriváltakról. Összetett függvények differenciálási szabályainak néhány alkalmazása: gradiensvektor merőleges a nívófelületre/szintvonalra; Lagrange-KÉT variáció, Taylor-formula. "Teljes differenciál" fogalma. Példa implicit deriválásra, implicit alakban adott függvény diszkussziójára.

 1. ZH

6. hét 

Függvények (lokális) szélsőértéke. Szükséges feltétel: a gradiensvektor nulla (az érintősík vízszintes). Példák: elliptikus paraboloid, nyeregfelületek, majomnyereg. Kvadratikus formák osztályozása. A szélsőérték elegendő feltétele.

Feladatok: [1]-ből 5.1.1 fejezet; [2]-ből 103-137.

7. hét

Implicit függvények, implicitfüggvény-tételek. Feltételes szélsőérték fogalma, példák. Lagrange-féle multiplikátoros módszer. A honlapomon sillabuszok elérhetők.

Feladatok: [1]-ből az egész 5 fejezet; [2]-ből 138-175.

8. hét

Csináltunk egy pár szélsőérték- és feltételes szélsőérték, valamint implicit deriválással kapcsolatos feladatot (incl. alakzatok távolsága).  A jövő héten dolgozat, a dolgozat anyaga főleg a többvált. differenciálszámítás alkalmazásai (implicit, érintősíkok, szélsőértékek, Taylor), de egy picit az előzmény (tehát maga a differenciálás, technikája, és a differeciálatóság vizsgálata) is.

Tehát [1] 4-5. fejezetek, [2] 63-175.

Elkezdtük: mérték és integrál. Jordan-féle mérték (terület, térfogat, ...) felépítése: egyszerű halmazok és elemi területük; külső és belső közelítések; külső és belső mérték. Példák mérhető és nem mérhető halmazra.

9. hét

A Jordan-mérték. Halmaz mérhető akkor és csak akkor ("iff"), ha a határa 0-mérhető. Folyt. fv .grafikonja, rektifikálható ív 0-mértékűek. Jordan tátele. Egyesítés, metszet, különbség mértéke.

Riemann-integrál felépítése.  J-mérhető halmaz felosztása, alsó/felső összegek, viselkedésük, alsó/felső integrál. Oszcillációs kritérium. Folytonos fv, J-mérhető kompakt halmazon integrálható. Riemann-féle közelítő összeged, Riemann-definíció, Darboux-tétel. Minden (szinte) ugyanúgy megy, mint az egyváltozós esetben ....

Megvolt a 2. dolgozat! A jövő héttől integrálni fogunk ....

10. hét

Kettős (és többszörös) integrál. Kiszámítása, szukcesszív integrálás. Integrálok transzformációi: lineáris trafó, általános eset (kicsiben minden lineáris). Polártrafó.

Feladatok: [1] 349.388 397-416; [2] 176-232.

11. hét

Feladatok többszörös integrálokra. Transzformációk. A Viviani-test.  Felszín definciója, kiszámítása. Alkalmazások, pl. tehetetlenségi nyomaték. Hengerkoordináta-rendszer.

12. hét

Még néhány feladat: gömb tehetetlenségi nyomatéka és gravitációs potenciálja. Gömbi polárkoordináta-rendszer.

Vonalmenti integrál: erő munkája. Definíció. Rektifikálható íven folytonos függvény integrálható. Az integrál legfontosabb formális tulajdonságai. Kiszámítása a görbeív paraméterezésével.

Vonalmenti integrál  függetlensége a görbe alakjától; mit jelent?  Potenciálfv. fogalma. Útfüggetlen <=> minden zárt görbén nulla <=> van potenciálfv. (ekkor teljesül egy Newton-Leibniz-szerű összefüggés is)  => P'_y = Q'_x.  Lehet-e itt <=>?

A jövő héten ZH. Jordan-mérték. Kettős-hármas integrálok, integrálok, integráltranszformációk, alkalmazások -- azaz az eddig kijelölt feladatok; plusz vonalmenti integrál kiszámítása: [1]-ből 285-286, 288-292.

13. hét

Ha P, Q diff.hatók és a tartomány csillagszerű, akkor "<=>", azaz ha P'_y = Q'_x , akkor az integrál útfüggetlen.

Egzakt differenciálegyenetek. Integráló tényező. Csak x-től, csak y-tól függő integráló tényezők. A tavalyről ismert szeparábilis, homogén, lineáris egyenletek egzakttá tehetők.

Feladatok: [1]-ből 6.1. szakasz, 7. szakaszból 307-332. (A 333-348-as példák is érdekesek és tanulségosak, de

csak ha a többi már jól megy.)

14. hét (utólag beírva)

Pár gondolat korlátos változású függvényekről: a monotonitás fogalmának egy általánosítása. Felbontási tétel, BV- norma.

A Riemann-Stieltjes integrál fogalma. Feltételek az integrálhatóságra. A Riemann-integrál és a sorok, mint speciális esetek.

Félévzáró konzultáció.