Egyben az egész Analízis 3. blog, osztatlan tanár, 2014/15/1.

Csak amolyan tartalomjegyzék, de hátha hasznos

1. hét

Differenciálhatóság fogalma. Differenciálhatóság és folytonosság. A differenciálás formális tulajdonságai, műveleti szabályai. Elemi függvények deriváltjai. Magasabbrendű deriváltak.

Feladatok: 632-676, 685-694, 695-700, 705-726.

2. hét

Konstans deriváltja 0; szélsőértékhelyen a derivált 0; monoton növő függvény deriváltja nemnegatív.

Feladatok: Példa nemfolytonos deriváltfüggvényre; arctg x + arctg (1-x)(1+x) deriváltja = ?

Hf. feladatok: eddigiek plusz 624-631, 729-733. Következik: Megfordíthatók-e a fenti állítások?

3. hét

Középérték-tételek. Monotonitás jellemzése deriválttal. Ha a derivált intervallumon nulla, akkor a fv. ott konstans.

Függvények vizsgálata (Ért. tart., jellegzetes limesek, monotonitás és szélsőértékek, értékkészlet).

Feladatok: 844-908, esetleg 775-785.

4. hét

Még mindig függvényvizsgálat. LHospital szabályok. Konvexitás fogalma. "Szöveges" szélsőérték-feladatok.

Feladatok: eddigiek plusz 737-771, 911-922.

5. hét

A konvexitás különféle lehetséges definíciói. A Jensen-egyenlőtlenség. Kapcsolat a számtani-mértani közepekkel.

Egy pontban jól közelítő polinom keresése konkrét példán: a Taylor-interpoláció.

Feladatok: 926-928, 929-944, 801-817.

6. hét

Taylor-formula. Alkalmazás függvény közelítésére, határértékszámolásra. Függvény szélsőértékének elegendő feltételei (derivált előjelet vált, ill. második derivált nem 0).

Feladatok: Eddigiek.

A jövő héten ZH az eddigi feladat- és elméleti anyagból.

7. hét

1. Dolgozat.

Primitív függvény fogalma. Egy fvnek sok pr. fv-e van, ezek egy additív konstansban térnek el. Folytonos fv-nek van pimitívje; primitiválható függvény Darboux-tulajdonságú.

8. hét

A primitív függvény keresése. I. Elemi átalakítások, helyettesítéses és parciális integrálás. Láttunk egy csomó példát. Gyakorlásra: példatár 970-1066 javasolt (A technikák külön-külön is be vannak mutatva). Érdekes lehet még a sillabuszom itt.

9. hét

A primitív függvény keresése. II. Még mindig példák. Polinom per polinom (racionális törtfv.) parciális törtekre bontása, a parciális törtek primitívje. Példatár eddigiek plusz 1067-1079.

10. hét

A primitív függvény keresése. III. Még mindig példák.Nevezetes racionalizáló helyettesítések, rekurzív formulák.

11. hét

Még mindig primitív függvény. Más: Határozott integrál. "Függvénygörbe alatti terület". Az integrálfogalom felépítése: zárt intervallumon korlátos függvény. Alsó, felső közelítés, Riemann-közelítés. Alsó, felső összegek viselkedése a felosztás sűrítésekor. Alsó és felső integrál, integrálhatóság.

Egyelőre kevésbé általános gondolatmenet is elég. Ha a fv. folytonos vagy monoton, a helyzet egyszerűbb, mert az alsó/felső összegek megfoghatóak. Ha a fv. folytonos vagy monoton, pontosan egy szám esik az alsó/felső összegek közé, ez az integrál.

A jövő héten ZH az eddigi feladat- és elméleti anyagból.

12. hét

Megvolt a ZH.

Határozott integrál kiszámítása: Newton--Leibniz formula.

13. hét

Határozott integrál kiszámítása a Newton--Leibniz formulán keresztül. Súlypont formula meghatározása.

Feladatok: 1155-1162, 1167-1209.