Alkalmazott analízis blog, avagy "miről is volt szó?"

Csak amolyan tartalomjegyzék, de hátha hasznos

1. hét

Integrálás ismétlése. Többszörös integrálok transzformációja. Gömbi polár trafó.
gyakorlás: 1. feladatsor 1--25.

2. hét

Skalár- és vektorfüggvények deriváltjai. grad, div, rot fogalma, formális tulajdonságai. "szemláletes" jelentésük. Vonalmenti integrál útfüggetlensége. Függvéenyrekonstrukció gradiensből.

feladatok: Grav. potenciál és erő: gömb, gömbhéj, síklap. Hf: 1-25 (valamint javasolt a Többv. fvtanban tanultak, főleg intagrálás, integráltrafók, Green-form. ismétlése). 26-28, 37-46, 301-312: ezek a feladatok a div, grad, rot operátorokkal kapcsolatos formális számolások, gyakorlások.

3. hét

Függvényrekonstrukció rotációból. A Green-formula, átfogalmazásai, változatai és értelmezései.
Vonalmenti integrálokat számoltunk főleg, pl. 27, 29, 30, 34.

Feladatok még mindig: 1-25, 26-46, 301-312.

4. hét

Felületek, felszín szerinti integrálok (skalárfv, vektorfv) fogalma és kiszámítása. Divergenciatátel, Stokes-tétel.

Feladatok: Felület paraméteres előállítása, felűleti integrálok.

A jövő héten dolgozat, anyaga az "eddigiek" azaz az 1-2-3-3/1 feladatosorok feladatai (1-60, 301-313), és a hozzájuk tartozó alapvető elmélet.

5. hét

Divergenciatétel, Stokes tétel és alkalmazásaik. Példák fizikai alkalmazásokra. A grad, div, rot koordinátafüggetlen definíciói. Görbevonalú koordinátarendszerek, a grad, div, rot alakja.

1. ZH.

6. hét

Dipólus potenciálja. Axiális multipólusok. Konzervatív, forrásmentes erőtér potenciálja harmonikus. Potenciál meghatározása gömbi polárkoordinátarendszerben, hengerszimmetrikus esetben. A Legendre-polinomok: differenciálegyenlet, formula, rekurzió, ortogonalitás.

Feladatok: 79-82, 83-85.

7. hét

Skaláris szorzatos vektortér. Ortonormált rendszer, teljes ONR, teljes tér (Hilbert-tér). L2 tér. Egy altérben melyik a "legközelebbi" elem? Bessel-egyenlőtlenség, általános Fourier-sor. Az ált. F-sor normában konvergál. Parseval-formula. Példa ortog. rendszerre: a trigonometrikus rendszer. A trig. rsz. teljes.

Feladatok: Multipólusok (85, 86) A (t-pi)/2 F-sora. 62, 63, 65, 66.

8. hét

Integrálható fv. Fourier-sora. Pontbeli konvergencia. Részletösszeg előállítása konvolúcióval, Dirichlet-mag. Dini-, Lipschitz-, és félérintős feltételek. Csatolt online cucc 1.2-1.6 fejezetei főleg. (Érdemes megnézni a 3.4-3.5 szakaszokat is.)

Feladatok: 61-76, plusz az online cucc 2. fejezetének feladatai (!).

9. hét 

Fourier leképezés: f-hez rendeli a_n, b_n-t; ez injektív. Mit tudunk ezekről a sorozatokról? A F-sor komplex alakja. Folytonossági modulus.

Ortogonalitás, L2 tér súlyfv. szerint. Ortogonális polinomok: rekurzió, Dirichlet-mag (online cucc 75-84. o.).

2. ZH.

10. hét

A Fourier-transzformált fogalma, tulajdonságai. Inverziós formula, Dini-feltétel.

Feladatok: 87-101 plusz az online cucc 5.1-5.2. fejezetének feladatai (!).

11. hét

Feladatok Fourier-transzformációra. A Laplace-transzformáció fogalma, tulajdonságai. Lineáris differenciálegyenlet megoldása Laplace-transzformációval.

Feladatok: 102-107.

12. hét

Konvolúció és Laplace-trafó. Laplace-trafó alkalmazásai: néhány feladat. Differenciálegyenlet megoldásainak vizsgálata, átviteli függvény. Jelsímítás Fourier-transzformációval.

Fv.approximáció feladata. A Csebisev-polinomok minimáltulajdonsága. Weierstrass approx. tételei, Bernstein polinomok egyenletes konvergenciája. A Fejér-féle összegzés.

A jövő héten 3. dolgozat. 

13. hét

Periodikus fv. egyenletes approximációja trig. polinommal. Folytonossági modulus. Kapcsolat a folytonossági modulus és a legjobb közelítés rendje között (Jackson tétel).