Tudnivalók a Konstruktív- és komputergeometria című tárgyhoz

A közönséges sík és tér végtelen távoli pontjai, egyenesei. A projektív tér. Vetítések a közönséges és a projektív térben. Kollineációk, projektív transzformációk. Centrális-axiális kollineációk. Középpontos és merőleges nyújtás. Affin transzformációk.

A persektív ábrázolás. Möbiusz-rács. Az axonometrikus ábrázolás. A Monge-féle ábrázolás. Pont és egyenes képe, nyompont, nyomegyenes. Rotációk. Eckhart-féle eljárás.

Bernstein-polinomok. Polinomiális görbék, görbe foka. Bézier-görbe, kontrollpontok, De Casteljau-algoritmus, De Casteljau-pontok. Konvex burok, affin invariancia. Görbe felosztása, rangemelés.

Összetett Bézier-görbék. Vizulális folytonosság, k-szorosan sima görbék. Bézier-négyszögfelületek, paramétervonalak. Szplájnfelületek.

1. A projektív leképezések alaptétele: Adott a projektív síkon két általános helyzetű pontnégyes. Ekkor pontosan egy olyan projektív transzformáció létezik, mely az egyiket a másikba viszi.
2. A vetítések jellemzése: Adott egy projektív leképezés két projektív térbeli sík között. Ez akkor és csak akkor vetítés, ha a síkok metszésvonalának minden pontja fixpont.
3. A perspektivitások alaptétele: Adott a tárgysíkon egy konvex négyszög, melynek legalább egy szemközti oldalpárja nem párhuzamos. Ekkor a szempont megfelelő választásával elérhető, hogy a négyszög képe a képsíkon egységnégyzet legyen.
4. Az axonometria alaptétele: Adott a képsíkon négy általános helyzetű pont. Ekkor létezik a térben olyan kocka, melynek egy csúcsa és a vele szomszédos másik három axonometrikus képe a négy adott pont.
5. Möbiusz-rács szerkesztése négy pontból: A Möbiusz-rács egyetlen cellájának négy csúcsából megszerkeszthető.
6. Kontrollpontokkal adott Bézier-görbe egyenlete és alaptulajdonságok: Egyenlet, konvex burokban maradás, affin invariancia.
7. Kontrollhálóval adott Bézier-négyszögfelület egyenlete és alaptulajdonságok: Egyenelet, konvex burokban maradás, affin invariancia, paraméter vonalak kontrollpontjai.
8. Összetett köbös Bézier-görbék: Adottak a csomópontok, valamint a kezdő- illetve vépontban az érintővektor. Ekkor ezen csomópontokkal pontosan egy olyan kétszeresen folytosan differenciálható összetett köbös Bézier-görbe van, melynek érintői az adott vektorok.
9. Elemi Bézier-négyszögfelületek sima illesztése.
10. Bikubikus szplájfelület előállítása.

1. Definiálja a projektív és az affin leképezés fogalmát. Mutassa meg, hogy a projektív leképezések egyenestartóak. (4+3+3 = 10 pont)

2. Definiálja az összetett Bézier-görbe és a sima illesztés fogalmát. (5+5 = 10 pont)

3. Írja le a DeCasteljau-algoritmust és vezesse le a kontrollpontjaival adott Bézier-görbe képletét. (5+5 = 10 pont)

4. Mondja ki és bizonyítsa be a vetítéseket jellemző tételt. (3+7 = 10 pont)

1. Splines
2. Bezier Curves Investigation Tool
3. Spline Interpolation Demo
4. Bezier Curves
5. Elemi geometria demók
6. Interpolation with Polynomials and Splines
7. Bezier spline curves
8. Math 385 - Senior Seminar - Splines
9. The Interactive Geometry Software Cinderella - DEMO - Gallery
10. Demo-page for Java