Axiómák

1. Adja meg az egzisztenciális és univerzális kvantorok jelölését
   
   Minden (all, angol): $\forall$, létezik (exists, angol): $\exists$.
2. Adja meg a természetes számok Peano-féle axiómarendszerét.
   
   Alapfogalmak: Természetes számok, $1$, rákövetkezés.

   1. Az $1$ természetes szám.
   2. Minden $n$ természetes számhoz létezik egy $n'$-vel jelölt természetes szám, amelyet az $n$ rákövetkezőjének nevezünk.
   3. Nincsen olyan $n$ természetes szám, amelyre $n'=1$.
   4. Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző.
   5. Ha az $1$ természetes számnak megvan valamely $T$ tulajdonsága, és valahányszor az $n$ természetes számnak megvan a $T$ tulajdonsága, mindannyiszor $n'$-nek is megvan, akkor minden természetes számnak megvan a $T$ tulajdonsága.
3. Adja meg a valós számok legfontosabb definiáló tulajdonságait.
   
   1. A valós számokon értelmezve van a négy alapművelet és a ``$<$'' reláció.
   2. A valós számok $\mathbb R$ halmaza tartalmazza $\mathbb Q$-t.
   3. (Archimédeszi axióma) Minden valós számnál van nagyobb természetes szám.
   4. (Cantor-axióma) Valós számoknak egymásba ágyazott zárt intervallumainak mindig van közös elemük.

Definíciók

1. Definiálja a prímszámokat.
   
   Azokat a természetes számokat, melyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük.
2. Definiálja a természetes számok összeadása és szorzását.
   
   Természetes számok összeadását defináljuk az \[n+1=n' \hspace{6mm} \mbox{és} \hspace{6mm} n+m'=(n+m)' \hspace{6mm} \mbox{képletekkel.}\] Hasonlóan, természetes számok szorzatát defináljuk az \[n\cdot 1=n \hspace{1cm} \mbox{és} \hspace{1cm} n\cdot m'=n\cdot m + n \hspace{6mm} \mbox{képletekkel.}\]
3. Definiálja halmazok metszetét és unióját.
   
   • Az $A_1,\ldots,A_n$ halmazok uniója: $A_1\cup \cdots \cup A_n = \{x \mid \exists k: x \in A_k\}$.
   • Az $A_1,\ldots,A_n$ h.-ok metszete: $A_1\cap \cdots \cap A_n = \{x \mid \forall k: x \in A_k\}$.
   • Az $A,B$ halmazok különbsége: $A\setminus B=\{x\in A \mid x\not\in B\}$.
   • Ha az $A$ halmaz elemei egy ``közismert'' $\Omega$ univerzum elemei közül kerülnek ki, akkor beszélhetünk az $\bar A=\{x\in \Omega \mid x\not\in A\}$ komplemeter halmazról.
4. Definiálja a halmazok diszjunktságát.
   
   Azt mondjuk, hogy az $A_1,\ldots,A_n$ halmazok diszjunktak, ha közülük bármely kettő metszete az üres halmaz.
5. Definiálja a részhalmaz és valódi részhalmaz fogalmát.
   
   Azt mondjuk, hogy a $A$ halmaz részhalmaza a $B$ halmaznak (jelöléssel $A\subseteq B$), ha az $A$ minden eleme eleme $B$-nek is. Az $\emptyset$ és $A$ az $A$ halmaz triviális részhalmazai, az ezektől különböző részhalmazokat valódi részhalmazoknak hívjuk.
6. Definiálja a hatványhalmazt.
   
   Az $A$ halmaz $\mathcal P(A)$ hatványhalmaza alatt az $A$ részhalmazainak halmazát értjük.
7. Definiálja halmazok Descartes-szorzatát.
   
   Az $A_1,\ldots,A_n$ halmazok Descartes-szorzata alatt az olyan $(a_1,\ldots,a_n)$ rendezett $n$-esek halmazát értjük, ahol $a_1\in A_1, \ldots, a_n\in A_n$: \[A_1\times \cdots \times A_n=\{(a_1,\ldots,a_n) \mid a_1\in A_1, \ldots, a_n\in A_n\}.\] Ha $A_1=\cdots=A_n=A,$ akkor az $A^n$ jelölést használjuk.
8. Definiálja az alábbi fogalmakat: leképezés, értelmezési tartomány, értékkészlet.
   
   Legyenek adottak az $A,B$ halmazok és $f$ egy olyan hozzárendelés, amely tetszőleges $a\in A$ elemhez a $B$ halmaz egy meghatározott $b=f(a)$ elemét rendeli hozzá. Ekkor $f$-et leképezésnek vagy függvénynek nevezzük, az $A$ az $f$ értelmezési tartománya, $B$ pedig az $f$ értékkészlete. Jelölés: $f:A\to B$.
9. Definiálja az identikus leképezést.
   
   Ha $A=B$ és minden $a\in A$ esetén $f(a)=a$, akkor $f$-et az $A$ halmazon értelmezett identikus leképezésnek nevezzük; $f=\mathrm{id}_A$.
10. Definiálja a leképezések szorzatát.
    
    Az $f:A\to B$ és $g:B\to C$ leképezések szorzata alatt azt a $h:A\to C$ leképezést értjük, amelyre $a\in A$ esetén $h(a)=g(f(a))$ teljesül. Jelöléssel: $h=g\circ f$, azaz $(g\circ f)(a) = g(f(a))$.
11. Definiálja a leképezések injektív, szürjektív és bijektív tulajdonságait.
    
    • Azt mondjuk, hogy az $f:A\to B$ leképezés szürjektív, ha minden $b\in B$-hez létezik $a\in A$ úgy, hogy $f(a)=b$.
      Más szóval, minden $B$-beli elemnek van ősképe.
    • Azt mondjuk, hogy az $f:A\to B$ leképezés injektív, ha bármely két különböző $a_1,a_2\in A$ elemre $f(a_1)\neq f(a_2)$.
      Más szóval, minden $B$-beli elemnek legfeljebb egy ősképe van.
    • Azt mondjuk, hogy az $f:A\to B$ leképezés bijektív, ha injektív és szürjektív, azaz minden $B$-beli elemnek pontosan egy ősképe van.
12. Definiálja a leképezés inverzét.
    
    Azt mondjuk, hogy a $g:B\to A$ leképezés inverze az $f:A\to B$ leképezésnek, ha minden $a\in A$ esetén $g(f(a))=a$ és minden $b\in B$ esetén $f(g(b))=b$ teljesül. Jelölés: $g=f^{-1}$.
13. Definiálja a véges halmazok számosságát.
    
    • Azt mondjuk, hogy az $A$ halmaz számossága az $n$ természetes szám, ha létezik egy $f:\{1,\ldots,n\} \to A$ bijekció. Jelölés: $|A|=n$.
    • Az $A$ halmaz véges, ha $|A|=n$ teljesül valamilyen $n$-re.
    • A nem véges halmazokat végtelennek nevezzük: $|A|=\infty$.
14. Definiálja a megszámlálhatóan végtelen halmaz fogalmát.
    
    Az $A$ halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha bijekcióba állítható a természetes számok halmazával.
15. Definiálja a sorozatok monotonitását.
    
    Azt mondjuk, hogy az $(x_n)_{n=1}^\infty$ sorozat

    • monoton növő, ha minden $n<m$ esetén $x_n \leq x_m$.
    • szigorúan monoton növő, ha minden $n<m$ esetén $x_n < x_m$.
    • monoton csökkenő, ha minden $n<m$ esetén $x_n \geq x_m$.
    • szigorúan monoton csökkenő, ha minden $n<m$ esetén $x_n > x_m$.
16. Definiálja a valós függvény fogalmát.
    
    Az $f:A\to \mathbb R$ leképezéseket ($A\subseteq \mathbb R$) valós függvényeknek nevezzük.
17. Definiálja az ismétléses variációkat.
    
    Az $n$ különböző elemből képzett $k$-tagú sorozatokat az $n$ elem $k$-tagú ismétléses variációinak nevezzük. Ezek számát $V_n^{k(i)}$-vel jelöljük.
18. Definiálja az ismétlés nélküli variációkat.
    
    Az $n$ különböző elemből képzett olyan $k$-tagú sorozatokat ($0\leq k\leq n$), amelyekben a tagok mind különbözők, $n$ elem $k$-tagú ismétlés nélküli variációinak nevezzük. Ezek számát $V_n^k$-val jelöljük.
19. Definiálja az ismétlés nélküli permutációkat.
    
    Az $n$ különböző elem sorbarendezéseit nevezzük az $n$ elem ismétlés nélküli permutációinak. Ezek számát $P_n$-el jelöljük.
20. Definiálja az ismétléses permutációkat.
    
    Legyen $A=\{a_1,\ldots,a_r\}$ $r$-elemű halmaz, $k_1,\ldots,k_r\in \mathbb N_0$ és $n=k_1+\cdots+k_r$. Az olyan $A$-beli elemekből képzett $n$-tagú sorozatokat, amelyekben minden $i=1,\ldots,r$ esetén az $a_i$ elem pontosan $k_i$-szer fordul elő, az $A$ halmaz $(k_1,\ldots,k_r)$-típusú ismétléses permutációinak nevezzük. Ezek számát $P_n^{(k_1,\ldots,k_r)}$ jelöli.
21. Definiálja az ismétlés nélküli kombinációkat.
    
    Az $n$-elemű halmaz $k$-elemű részhalmazait az $n$ elem $k$-tagú ismétlés nélküli kombinációinak nevezzük; ezek számát $C_n^k$-val jelöljük.
22. Definiálja a binomiális együtthatót.
    
    $0\leq k\leq n$ egész számok esetén az $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ szám jelölésére az $\binom{n}{k}$ (olvasd: $n$ alatt a $k$) szimbólumot használjuk. Ezeket a számokat binomiális együtthatóknak nevezzük.
23. Definiálja az ismétléses kombinációkat.
    
    Ha adott $n$ különböző elem közül $k$ elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is választható és az elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor $n$ elem egy $k$-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Ezek számát $C_n^{k(i)}$-vel jelöljük.
24. Definiálja a Pascal-háromszöget.
    
    A Pascal-háromszög csúcsán és oldalain $1$-esek vannak, és a belső pontjainak értéke a felette elhelyezkedő két érték összege: \[\begin{array}{l*{15}{p{6pt}}} \mbox{0. sor:}&.&.&.&.&.&.&.&.&1&&&&&& \\ \mbox{1. sor:}&.&.&.&.&.&.&.&1&&1&&&&& \\ \mbox{2. sor:}&.&.&.&.&.&.&1&&2&&1&&&& \\ \mbox{3. sor:}&.&.&.&.&.&1&&3&&3&&1&&& \\ \mbox{4. sor:}&.&.&.&.&1&&4&&6&&4&&1&& \\ \mbox{5. sor:}&.&.&.&1&&5&&10&&10&&5&&1& \\ \mbox{6. sor:}&.&.&1&&6&&15&&20&&15&&6&&1 \end{array}\]
25. Definiálja a számtani sorozat fogalmát.
    
    Legyen $d\in\mathbb R$ rögzített valós szám. Azt mondjuk, hogy az $a_1,a_2,\ldots$ sorozat számtani sorozat $d$ differenciával, ha minden $n\in \mathbb N$ esetén $a_{n+1}=a_n+d$.
26. Definiálja a mértani sorozat fogalmát.
    
    Legyen $q\in\mathbb R$, $q\neq 0$ rögzített valós szám. Azt mondjuk, hogy az $a_1,a_2,\ldots$ sorozat mértani sorozat $q$ hányadossal, ha minden $n\in \mathbb N$ esetén $a_{n+1}=q a_n$.
27. Definiálja a számtani és a mértani közepet.
    
    Az $a_1,a_2,\ldots,a_n$ nemnegatív valós számok számtani közepének az \[\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n},\] mértani közepének pedig a \[ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}\] valós számot nevezzük.
28. Definiálja a négyzetes és harmonikus közepet.
    
    Az $a_1,a_2,\ldots,a_n$ nemnegatív valós számok négyzetes közepének az \[\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}},\] harmonikus közepének pedig a \[\frac{1}{\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}{n}} = \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}\] valós számot nevezzük.
29. Definiálja az általános hatványközepet.
    
    Legyenek $a_1,a_2,\ldots,a_n$ pozitív valós számok és $r\neq 0$ racionális szám. Az $a_1,\ldots,a_n$ számok $r$-dik hatványközepe az \[M_r(a_1,\ldots,a_n)=\left ( \frac{a_1^r+a_2^r+\cdots+a_n^r}{n} \right )^\frac{1}{r}\] valós szám. Megállapodás szerint az $r=0$ esetben a mértani közepet tekintjük az $r$-dik hatványközépnek.
30. Definiálja számok különbségét és hányadosát.
    
    • Az $a,b$ számok különbsége az az $a-b$-vel jelölt $c$ szám, amelyre $c+b=a$ teljesül.
    • Az $a,b$ ($b\neq 0$) számok hányadosa az az $a/b$-vel jelölt $c$ szám, amelyre $c\cdot b=a$ teljesül.
    • A négy alapművelet az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás.
31. Definiálja az oszthatóság fogalmát.
    
    Azt mondjuk, hogy az $a\in \mathbb N$ szám osztható a $b\in \mathbb N$ számmal, ha létezik olyan $c\in \mathbb N$ szám, amire $a=bc$ teljesül. Jelölés: $b\mid a$.
32. Definiálja a legnagyobb közös osztót és legkisebb közös többszöröst.
    
    Az $a,b\in \mathbb N$ számok legnagyobb közös osztója az a lehetséges legnagyobb $d\in \mathbb N$ szám, amelyre $d\mid a$ és $d\mid b$.
    Az $a,b\in \mathbb N$ számok legkisebb közös többszöröse az a lehetséges legkisebb $m\in \mathbb N$ szám, amelyre $a\mid m$ és $b\mid m$.
    Jelölés: $lnko(a,b), lkkt(a,b)$.
33. Definiálja a szám felírását $g$-alapú számrendszerben.
    
    Legyen $g>1$ természetes szám. Azt mondjuk, hogy az $a\geq 0$ egész számot $g$ alapú számrendszerben írtuk fel, ha \[a=a_ng^n+\cdots+a_1g+a_0,\] ahol $n,a_0,a_1,\cdots,a_n\in \mathbb N_0$ és $0\leq a_0,a_1,\cdots,a_n<g$. Jelölés: $a=(a_n\ldots a_0)_g$. Az $a_i$-t a $g^i$-s helyiértékhez tartozó számjegynek nevezzük.
34. Definiálja a racionális számok fogalmát.
    
    A racionális számok $\frac{a}{b}$ alakú kifejezések, ahol $a\in \mathbb Z$ és $b\in \mathbb Z\setminus\{0\}$. Az $\frac{a}{b}$ és $\frac{c}{d}$ racionális számokat akkor és csak akkor tekintjük egyenlőnek, ha $ad=bc$ teljesül. A racionális számok halmazát $\mathbb Q$-val jelöljük.
35. Definiálja az alapműveleteket a racionális számok halmazán.
    
    Legyenek $\frac{a}{b}$ és $\frac{c}{d}$ racionális számok. Ekkor a négy alapműveletet a következőképpen értelmezzük: \[\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}, \hspace{5mm} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \hspace{5mm} \mbox{és $c\neq 0$ esetén} \hspace{5mm} \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.\]
36. Definiálja az intervallum fogalmát.
    
    Legyenek $a,b\in\mathbb R$ valós számok és legyen $a\leq b$.

    • Az $[a,b]$ zárt intervallum azon $x\in \mathbb R$ valós számok halmaza, melyre $a\leq x \leq b$ teljesül.
    • Az $(a,b)$ nyílt intervallum azon $x\in \mathbb R$ valós számok halmaza, melyre $a<x<b$ teljesül. (Tehát $a,b \not\in (a,b)$.)
    • Értelemszerűen definiáljuk az $(a,b]$ és $[a,b)$ félig zárt, félig nyitott intervallumokat.
37. Definiálja a tizedes törteket.
    
    Legyenek $e_0,\ldots,e_n,t_1,t_2,\ldots$ elemei a $\{0,1,\ldots,9\}$ halmaznak. Az \[\pm e_ne_{n-1}\cdots e_0,t_1t_2\cdots t_m\cdots\] alakú ``jelsorozatokat'' tizedes törteknek nevezzük.
38. Definiálja a véges, végtelen és szakaszos tizedes törteket.
    
    Azt mondjuk, hogy az $x=\pm e_ne_{n-1}\cdots e_0,t_1t_2\cdots t_m\cdots$ tizedes tört

    • véges, ha valahonnét kezdve $t_{m+1}=t_{m+2}=\cdots=0$. Ellenkező esetben végtelen tizedes törtről beszélünk.
    • szakaszosan ismétlődő, vagy röviden csak szakaszos, ha egy idő után a tizedesjegyek periodikusan ismétlődnek.
39. Definiálja az egész rész, tört rész és abszolút érték fogalmakat.
    
    • Az $x\in \mathbb R$ valós szám egész része az $x$-nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobb. Jelölés: $[x]$.
    • Az $x\in \mathbb R$ valós szám tört része az $x$-nek és az $x$ egész részének a különbsége. Jelöléssel: $\{x\}=x-[x]$.
    • Az $x\in \mathbb R$ valós szám abszolút értéke \[|x|=\begin{cases} x, & \mbox{ha $x\geq 0$,} \\ -x, & \mbox{ha $x<0$.} \end{cases}\]
40. Definiálja a valós függvények pontonkénti összegét és szorzatát.
    
    Az $f$ és $g$ függvények pontonkénti összege, illetve szorzata alatt azt az $f+g$-vel, illetve $fg$-vel jelölt $\mathbb R\to \mathbb R$ függvényt értjük, amelyre teljesül \[(f+g)(x)=f(x)+g(x), \mbox{ illetve } (fg)(x)=f(x)g(x).\]
41. Definiálja a polinomfüggvény fogalmát.
    
    Azt mondjuk, hogy $f:\mathbb R\to \mathbb R$ $n$-edfokú polinomfüggvény, ha valamilyen rögzített $a_0,a_1,\ldots,a_n\in \mathbb R$ valós számokra $a_n\neq 0$ és \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\] teljesül. Az $a_0,\ldots,a_n$ számokat az $f$ együtthatóinak, $x$-et pedig az $f$ változójának, vagy határozatlanjának nevezzük.
42. Definiálja a polinomfüggvény gyökét.
    
    Azt mondjuk, hogy a $b\in \mathbb R$ szám gyöke az $f(x)$ polinomfüggvénynek, ha $f(b)=0$ teljesül.
43. Definiálja a racionális törtfüggvényeket.
    
    \[\mbox{Az}\hspace{1cm} f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \hspace{1cm} \mbox{alakú leképezéseket,}\] ahol $g(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ és $h(x)=b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0$ polinomfüggvények, racionális törtfüggvényeknek nevezzük.
44. Definiálja valós szám $n$-dik gyökét.
    
    Legyen $n$ egész szám. Azt mondjuk, hogy az $x\in \mathbb R$ valós szám $n$-dik gyöke az az $y\in \mathbb R$ valós szám, melyre teljesül $x=y^n$.
    Amennyiben $n$ páros, akkor megköveteljük, hogy $y\geq 0$.
    Jelölés: $y=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}$.
45. Definiálja a valós kitevővel való hatványozást.
    
    Legyen $x\in \mathbb R$ tetszőleges valós szám. Közelítsük $x$-et alulról és felülről racionális számok $(r_n)$, ill. $(s_n)$ sorozatával. Ekkor \[ I_n=[a^{r_n},a^{s_n}] \] egymásba ágyazott zárt intervallumok sorozata. Ezek (nemüres) metszete egyetlen $b$ valós számot tartalmaz. Azt mondjuk, hogy $b=a^x$.
46. Definiálja a logaritmust.
    
    Azt mondjuk, hogy az $x>0$ valós szám $a$ alapú logaritmusa az az $y\in \mathbb R$ valós szám, melyre $x=a^y$ teljesül. Jelöléssel: $y=\log_a(x)$.
47. Definiálja a szinusz, koszinusz függvényeket.
    
    Legyen $P$ az $x$-tengellyel $\varphi$ szöget bezáró egységvektor végpontja. Ekkor $P$ vetületei az $x$- illetve $y$-tengelyre $\cos \varphi$, illetve $\sin \varphi$.
48. Definiálja a tangens és kotangens függvényeket.
    
    \[\mathrm{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, \hspace{1cm} \mathrm{ctg}\,x=\frac{1}{\mathrm{tg} x} = \frac{\cos x}{\sin x},\] ahol a tangens függvény értelmezési tartománya $\mathbb R\setminus \{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in \mathbb Z\}$, a kotangensé pedig $\mathbb R\setminus \{k\pi\mid k\in \mathbb Z\}$.
49. Definiálja a függvények periodicitását.
    
    Azt mondjuk, hogy az $f:\mathbb R\to \mathbb R$ valós függvény periódikus $d>0$ periódussal, ha minden $x\in \mathbb R$ számra teljesül $f(x+d)=f(x)$.
    Azt mondjuk, hogy az $f:\mathbb R\to \mathbb R$ páros (illetve páratlan) ha minden $x\in \mathbb R$ számra $f(-x)=f(x)$ (illetve $f(-x)=-f(x)$).
50. Definiálja a függvények korlátosságát és konvexségét.
    
    Legyen $f:\mathbb R\to \mathbb R$ valós függvény. Azt mondjuk, hogy

    1. $f$ korlátos, ha $\exists K\in \mathbb R_{\geq 0}$, melyre $|f(x)|\leq K$ teljesül minden $x\in \mathbb R$ esetén.
    2. $f$ felülről (illetve alulról) korlátos, ha $\exists K\in \mathbb R$, melyre $f(x)\leq K$ (illetve $f(x)\geq K$) teljesül minden $x\in \mathbb R$ esetén.
    3. $f$ konvex, ha minden $x,y \in \mathbb R$ és $t\in [0,1]$ esetén $f((1-t)x+ty) \leq (1-t)f(x)+tf(y)$.
51. Definiálja az elemi függvényeket.
    
    Elemi függvényeknek nevezzük azokat a valós függvényeket, melyek a következő függvényekből képezhetők:

    1. $x\mapsto x$ (identikus leképezés),
    2. $x\mapsto \sin x$ (szögfüggvények),
    3. $x\mapsto e^x$ (exponenciális függvény).

    Az elemi függvények képzéséhez megengedett műveletek: a felsorolt három függvény és konstansok

    1. összeadása, kivonása, szorzása, osztása (négy alapművelet);
    2. leképezések szorzatai és inverze.
52. Definiálja a geometriai transzformáció fogalmát.
    
    Az olyan leképezéseket, amelyeknek mind az értelmezési tartománya, mind pedig az értékkészlete ponthalmaz, geometriai transzformációknak nevezzük.
53. Definiálja a távolságtartást.
    
    Azt mondjuk, hogy a geometriai transzformáció távolságtartó (izometrikus), ha az É.T. minden $P,Q$ pontjára $|PQ|=|P'Q'|$ teljesül.
54. Definiálja az egybevágósági transzformációt.
    
    A sík (tér) ponthalmazának önmagára vett távolságtartó leképezéseit egybevágósági transzformációknak (izometriáknak) nevezzük.
55. Definiálja a leképezés fixpontját.
    
    A $P$ pontot a geometriai transzformáció fixpontjának nevezzük, ha $P=P'$.
56. Definiálja az alakzat képét és az invariáns (fix) alakzat fogalmát.
    
    • Az $X$ alakzat képe alatt az $X'=\{P'\mid P\in X\}$ ponthalmazt értjük.
    • Az $X$ alakzatot invariánsnak vagy fixnek nevezzük, ha $X'\subseteq X$, azaz, ha minden $P\in X$ esetén $P'\in X$.
    • Az $X$ alakzatot pontonként fixnek nevezzük, ha minden pontja fixpont, azaz ha minden $P\in X$ esetén $P=P'$.
57. Definiálja a forgatást.
    
    Legyen $K$ pont és $\alpha$ irányított szög. A $P$ pont $K$ körüli $\alpha$ szögű elforgatottja az a $P'$ pont, melyre $|KP|=|KP'|$ és a $KP$, $KP'$ félegyenesek által megadott irányított szög $\alpha$.
58. Definiálja az eltolást.
    
    Az olyan egybevágósági transzformációkat, melyek előállnak két párhuzamos egyenesre vett tükrözés szorzataként, párhuzamos eltolásoknak, vagy röviden csak eltolásoknak nevezzük.
59. Definiálja a csúsztatva tükrözést.
    
    A csúsztatva tükrözések egy eltolás és egy tengelyes tükrözés szorzatai, ahol az eltolás iránya párhuzamos a tükrözés tengelyével.
60. Definiálja az alakzatok egybevágóságát.
    
    Két síkbeli alakzatot egybevágónak mondunk, ha egy egybevágósági transzformációval az egyik a másikba vihető.
61. Definiálja a hasonlósági transzformációt.
    
    A $\alpha$ geometriai transzformációt hasonlósági transzformációnak nevezzük, ha létezik egy olyan $\lambda>0$ szám, hogy minden $P,Q$ pontra teljesül \[|\alpha(P)\alpha(Q)|=\lambda |PQ|.\] A $\lambda$ számot a hasonlóság arányának hívjuk.
62. Definiálja az alakzatok hasonlóságát.
    
    Két síkbeli alakzatot hasonlónak mondunk ha egy hasonlósági transzformációval az egyik a másikba vihető.
63. Definiálja a középpontos nyújtást.
    
    Legyen $K$ pont és $\lambda>0$ valós szám. A $K$ középpontú, $\lambda$ arányú középpontos nyújtás a $P$ pontot a $KP$ félegyenes azon $P'$ pontjába viszi, melyre fennáll $|KP'|=\lambda|KP|$.
64. Definiálja $\pi$-t.
    
    Az $r$ sugarú kör $K$ kerületének és $2r$ átmérőjének hányadosa a $\pi$-vel jelölt valós szám; $\pi=3,\!1415926\ldots$.
65. Definiálja a hasáb és a gúla fogalmát.
    
    A hasáb (prizma) olyan geometriai test, amelyet két egymással párhuzamos egybevágó sokszög és annyi paralelogramma határol, ahány oldala van a sokszögnek.
    A gúla (piramis) olyan geometriai test, amelynek alaplapja $n$ oldalú sokszög, oldallapjai pedig egy csúcsban összefutó háromszögek.
66. Definiálja az irányított szög fogalmát.
    
    Irányított szög alatt egy közös kezdőpontú $e^+f^+$ félegyenes-párt értünk.
67. Definiálja a vektor, mint irányított szakasz fogalmát.
    
    Jelölje az $A$ kezdőpontú, $B$ végpontú irányított szakaszt $\overrightarrow{AB}$. Az $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}$ irányított szakaszokat egyenlőnek tekintjük, ha létezik olyan eltolás, mely $A$-t $C$-be, $B$-t pedig $D$-be viszi.
68. Definiálja vektorok hosszát és bezárt szögét
    
    Az $\boldsymbol x=\overrightarrow{AB}$ vektor hossza az $A,B$ pontok távolsága. Jelölés: $|\boldsymbol x|=|\overrightarrow{AB}|$.
    Az $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ vektorok bezárt szöge $BAC\sphericalangle$.
69. Definiálja a vektorok ellentettjét és a nullvektort.
    
    A $\overrightarrow{BA}$ vektort az $\overrightarrow{AB}$ vektor ellentettjének nevezzük. A nullvektor $\boldsymbol 0=\overrightarrow{AA}$.
70. Definiálja vektorok összegét és skalárszorosát.
    
    Legyenek $\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}, \boldsymbol v=\overrightarrow{CD}$ vektorok és $c \geq 0$ valós szám.

    • Válasszuk meg az $E$ pontot úgy, hogy $\boldsymbol v = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BE}$. Ekkor az $\overrightarrow{AE}$ vektort az $\boldsymbol u$ és $\boldsymbol v$ vektorok összegének nevezzük: $\boldsymbol u+\boldsymbol v = \overrightarrow{AE}$.
    • Mérjük fel az $AB$ félegyenesre az $A,B$ pontok távolságának $c$-szeresét, jelölje az így kapott pontot $F$. Ekkor az $\overrightarrow{AF}$ vektort az $\boldsymbol u$ vektor $c$-szeresének nevezzük: $c\boldsymbol u=\overrightarrow{AF}$.
    • Az $\boldsymbol u$ vektor $-c$-szerese a $c$-szeres vektor ellentettje.
71. Definiálja koordinátamentesen a skalárszorzatot.
    
    Az $\boldsymbol x, \boldsymbol y$ vektorok skalárszorzata alatt az \[\boldsymbol x\boldsymbol y=|\boldsymbol x|\, |\boldsymbol y| \, \cos \alpha\] valós számot értjük, ahol $\alpha$ a két vektor által bezárt szög.
72. Definiálja az irányítástartó térbeli transzformáció fogalmát.
    
    A tér transzformációját irányítástartónak (irányításváltónak) nevezzük, ha a jobbsodrású vektorhármasokat jobbsodrásúakba (balsodrásúakba) viszi.
73. Definiálja a koordinátamentesen a vektoriális szorzatot.
    
    Az $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ térbeli vektorok vektoriális szorzata az a $\boldsymbol c=\boldsymbol a \times \boldsymbol b$ vektor, minek hossza $|\boldsymbol a|\,|\boldsymbol b|\,\sin\gamma$, és ami merőleges $\boldsymbol a,\boldsymbol b$-re úgy, hogy a három vektor jobbsodrású rendszert alkot.
74. Definiálja vektorok vegyesszorzatát.
    
    Az $\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ térbeli vektorok vegyesszorzata alatt az \[\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c=(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\boldsymbol c\in \mathbb R\] valós számot értjük.
75. Definiálja a koordinátarendszer fogalmát.
    
    A matematikában a koordinátarendszer egy olyan fogalom (eljárás, leképezés), ami átfordítja a geometria világát a számolás világába.
76. Definiálja a pont helyvektorát.
    
    Rögzítsünk a síkon egy $O$-val jelölt, origónak nevezett pontot. A $P$ pont helyvektora alatt az $\overrightarrow{OP}$ vektort értjük.
77. Definiálja az ortonormált bázist.
    
    Az egymásra merőleges egységvektorokból álló vektorpárt (vektorhármast) síkbeli (térbeli) ortonormált bázisnak nevezzük. Szokásos jelölés: $\boldsymbol i, \boldsymbol j(, \boldsymbol k)$.
78. Definiálja analitikusan a vektort.
    
    A valós számpárokat síkbeli, a számhármasokat pedig térbeli vektoroknak nevezzük. A $(0,0)$ és a $(0,0,0)$ vektorokat síkbeli, illetve térbeli nullvektornak nevezzük, és $\boldsymbol 0$-val jelöljük.
79. Definiálja analitikusan a vektor skalárszorzatát és hosszát.
    
    Az $\boldsymbol x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ és $\boldsymbol y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ vektorok skalárszorzatát az $\boldsymbol x \boldsymbol y=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$, illetve hosszát az $|\boldsymbol x|= \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$ valós számmal definiáljuk.
80. Definiálja az egyenes normálvektorát.
    
    Adott egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektorokat az egyenes normálvektorainak nevezzük.
81. Definiálja a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszereket.
    
    \begin{equation} \label{eq:linegy} \mbox{Az} \hspace{1cm} \left \{ \begin{gathered} a_{11}x+a_{12}y=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y=b_2 \end{gathered} \right . \end{equation} rendszert kétismeretlenes, két egyenletből álló lineáris egyenletrendszernek nevezzük. Az $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}, b_1,b_2 \in \mathbb R$ valós számokat az egyenletrendszer együtthatóinak, $x$-et és $y$-t pedig az egyenletrendszer ismeretlenjeinek hívjuk.
82. Definiálja a pont és egyenes távolságát.
    
    Adott pont és egyenes távolsága alatt a pont és hozzá legközelebbi egyenespont távolságát értjük.
83. Definiálja a geometriai transzformáció koordinátás alakját.
    
    Egy $P\mapsto P'$ geometriai transzformáció koordinátarendszerben egy \[(x,y) \mapsto (x',y')\] hozzárendelésnek felel meg, ahol $x'=x'(x,y)$, $y'=y'(x,y)$ az $x,y$ változók függvényei.

Lemmák

1. Mondja ki a természetes számok rákövetkezőjéről szóló lemmát.
   
   Minden természetes szám különbözik a rákövetkezőjétől.

Állítások

1. Mondja ki a kvantált kifejezések tagadására vonatkozó állítást.
   
   Az olyan kifejezések tagadásakor, amelyek tartalmaznak egzisztenciális vagy univerzális kvantort, a $\forall$ és a $\exists$ felcserélődik.
2. Írja fel a számtani és mértani sor összegképletét.
   
   \begin{eqnarray} 1+2+\cdots+n &=& \frac{(n+1)n}{2}, \\ 1+q+q^2+\cdots+q^n &=& \frac{q^{n+1}-1}{q-1}. \end{eqnarray}
3. Jellemezze a halmazok egyenlőségét.
   
   Ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq A$, akkor $A=B$.
4. Jellemezze a leképezések invertálhatóságát.
   
   Egy leképezésnek akkor és csak akkor van inverze, ha bijektív.
5. Mondja ki a véges halmazok leképezéseire vonatkozó állítást.
   
   Legyenek $A,B$ véges halmazok és $f:A\to B$ leképezés.

   1. Ha $f$ bijektív, akkor $|A|=|B|$.
   2. Ha $f$ szürjektív, akkor $|A|\geq |B|$. Ha $f$ injektív, akkor $|A|\leq |B|$.
   3. Ha $|A|=|B|$, akkor a bijektivitás, a szürjektivitás és az injektivitás ekvivalens fogalmak.
6. Jellemezze a végtelen halmazokat.
   
   Az $A$ halmaz akkor és csak akkor végtelen, ha bijekcióba állítható valamely valódi részhalmazával.
7. Mondja ki a megszámlálható halmaz részhalmazaira vonatkozó állítást.
   
   A megszámlálhatóan végtelen halmazok részhalmazai végesek vagy megszámlálhatóan végtelenek.
8. Mondja ki az $\mathbb N$ részhalmazaira vonatkozó állításokat.
   
   1. $\mathbb N$ minden korlátos részhalmaza véges.
   2. $\mathbb N$ minden nem üres részhalmazának van legkisebb eleme.
   3. $\mathbb N$ minden részhalmaza véges vagy megszámlálható.
9. Mondja ki a $\mathbb Q$ számosságára vonatkozó állítást.
   
   $\mathbb Z, \mathbb Z^2$ és $\mathbb Q$ megszámlálható halmazok.
10. Mondja ki a $\mathbb R$ számosságára vonatkozó állítást.
    
    A valós számok halmaza nem megszámlálható.
11. Mondja ki az ismétléses variációk számára vonatkozó állítást.
    
    $V_n^{k(i)}=\overbrace{n\cdot n \cdots n}^k = n^k$.
12. Mondja ki az ismétlés nélküli variációk számára vonatkozó állítást.
    
    $V_n^k = n(n-1)\cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$.
13. Mondja ki az ismétlés nélküli permutációk számára vonatkozó állítást.
    
    $P_n=V_n^n=n!$.
14. Mondja ki az ismétléses permutációk számára vonatkozó állítást.
    
    $ P_n^{(k_1,\ldots,k_r)} = \frac{n!}{k_1! \cdots k_r!}.$
15. Mondja ki az ismétlés nélküli kombinációk számára vonatkozó állítást.
    
    $C_n^k= \binom{n}{k}$.
16. Mondja ki az ismétléses kombinációk számára vonatkozó állítást.
    
    $ C_n^{k(i)} = \binom{n+k-1}{n-1} =\binom{n+k-1}{k}.$
17. Sorolja fel a binomiális együtthatók tulajdonságait.
    
    \begin{eqnarray} \binom{n}{k} &=& \binom{n}{n-k}, \\ \binom{n+1}{k+1} &=& \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}, \\ \binom{n+1}{k+1} &=& \binom{n}{k} + \binom{n-1}{k} + \cdots + \binom{k}{k},\\ 2^n &=& \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n}. \end{eqnarray}
18. Mondja ki a Pascal-háromszög és a binomiális együtthatók kapcsolatáról szóló állítást.
    
    A Pascal-háromszög $n$-dik sorának $k$-dik eleme $\binom{n}{k}$.
19. Adja meg a számtani sorozat összegképletét.
    
    Legyen $a_1,a_2,\ldots$ számtani sorozat $d$ differenciával. Ekkor \[\sum_{i=1}^n a_i = na_1 + d\frac{n(n-1)}{2}.\]
20. Mondja ki a mértani sorozat összegképletét.
    
    Legyen $a_1,a_2,\ldots$ mértani sorozat $q\neq 1$ hányadossal. Ekkor \[\sum_{i=1}^n a_i = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}.\]
21. Sorolja fel az oszthatósági reláció alaptulajdonságait.
    
    Tetszőleges $a,b,c\in \mathbb N$ elemekre
    \begin{tabular}{ll} (1) $1\mid a$ és $a\mid a$. & (2) ha $a\mid b$ és $b\mid a$, akkor $a=b$.\\ (3) ha $a\mid b$ és $b\mid c$, akkor $a\mid c$. & (4) ha $a\mid b$ és $a\mid c$, akkor $a\!\mid\! b\!+\!c$. \\ (5) ha $a\mid b$, akkor $a\mid bc$. & (6) ha $ac\mid bc$, akkor $a\mid b$. \end{tabular}
22. Mondja ki a legnagyobb közös osztó kikombinálásáról szó állítást.
    
    Legyen $d$ az $a,b\in \mathbb N$ számok legnagyobb közös osztója. Ekkor léteznek $n,m \in \mathbb Z$ számok úgy, hogy $d=ma+nb$.
23. Mondja ki a prímszámok prímtulajdonságáról szóló állítást.
    
    Legyen $p$ prímszám és $a,b\in \mathbb N$ természetes számok. Ha $p\mid ab$, akkor $p\mid a$ vagy $p\mid b$.
24. Sorolja fel a ``kisebb'' reláció alaptulajdonságait.
    
    1. Ha $x\neq y\in \mathbb Q$, akkor vagy $x<y$ vagy pedig $y<x$ teljesül.
    2. Ha $x<y$ és $y<z$, akkor $x<z$.
    3. Ha $x<y$ és $x'<y'$, akkor $x+x'<y+y'$.
    4. Ha $x<y$ és $0<z$, akkor $xz<yz$.
25. Sorolja fel a pontonkénti függvényműveletek alaptulajdonságait.
    
    A valós függvények pontonkénti összeadása és szorzása asszociatív, kommutatív és disztributív.
26. Mondja ki a polinomfüggvények összegére és szorzatára vonatkozó állítást.
    
    • A polinomfüggvények halmaza zárt a pontonkénti összeadás és a szorzás műveleteire.
    • Legyenek $f,g$ polinomfüggvények. Ekkor \[\deg(f \pm g)\leq \max\{\deg(f),\deg(g)\} \mbox{ és } \deg(fg) =\deg(f)+\deg(g).\]
27. Mondja ki a polinomfüggvények maradékos osztására vonatkozó állítást.
    
    Legyen $f(x)$ polinomfüggvény és $b\in\mathbb R$ valós szám. Ekkor létezik $q(x)$ polinomfüggvény, melyre $f(x)=q(x)(x-b)+f(b)$ teljesül.
28. Mondja ki a gyöktényező kiemelhetőségére vonatkozó állítást.
    
    A $b\in \mathbb R$ szám akkor és csak gyöke az $f$ polinomfüggvénynek, ha $f(x)=q(x)(x-b)$ teljesül valamilyen $q$ polinomfüggvényre.
29. Mondja ki az additív függvényérték-transzformációkra vonatkozó állítást.
    
    Az $f(x)\mapsto f(x)+d$ típusú függvénytranszformációk az $f(x)$ grafikonjának $d$ egységgel történő eltolásának felelnek meg az $y$-tengellyel párhuzamosan.
30. Mondja ki a multiplikatív függvényérték-transzformációkra vonatkozó állítást.
    
    Az $f(x)\mapsto df(x)$ típusú függvénytranszformációk az $f(x)$ grafikonjának $d$ arányú nyújtásának felelnek meg az $y$-tengellyel párhuzamosan.
31. Mondja ki az additív független változó transzformációra vonatkozó állítást.
    
    Az $f(x)\mapsto f(x-c)$ típusú függvénytranszformációk az $f(x)$ grafikonjának $c$ egységgel történő eltolásának felelnek meg az $x$-tengellyel párhuzamosan.
32. Mondja ki a multiplikatív független változó transzformációra vonatkozó állítást
    
    Az $f(x)\mapsto f(\frac{x}{c})$ típusú függvénytranszformációk az $f(x)$ grafikonjának $c$ arányú nyújtásának felelnek meg az $x$-tengellyel párhuzamosan.
33. Sorolja fel a forgatások alaptulajdonságait.
    
    1. Ha egy forgatásnak van a középpontjától különböző fixpontja, akkor az az indentitás.
    2. Legyen $\beta$ egy $K$ körüli forgatás és $e$ egy tetszőleges egyenes $K$-n át. Ekkor pontosan egy $K$-n átmenő $f$ egyenes létezik, melyre $\beta=\tau_f\tau_e$.
    3. Rögzített $K$ pont körüli forgatások szorzata, illetve inverze szintén $K$ körüli forgatás.
34. Sorolja fel az eltolások alaptulajdonságait.
    
    Legyen $a\parallel b$ és $\beta=\tau_b\tau_a$ egy identitástól különböző eltolás.

    1. $\beta$-nak nincs fixpontja.
    2. Bármely $P$ pontra $PP'$ fixegyenes.
    3. Bármely $e$ egyenesre $e\parallel e'$.
35. Mondja ki a vektor kezdőpontjának választására vonatkozó állítást.
    
    Legyen $\overrightarrow{AB}$ vektor és $C$ tetszőleges pont. Ekkor pontosan egy $D$ pont létezik úgy, hogy $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
36. Adja meg a paralelepipedon térfogatát.
    
    Az $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ vektorok által kifeszített paralelepipedon (előjeles) térfogata a három vektor $\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c$ vegyesszorzata.
37. Sorolja fel a vegyesszorzat alaptulajdonságait.
    
    1. $\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c =0$ akkor és csak akkor, ha a három vektor egysíkú.
    2. $\boldsymbol a \boldsymbol b \boldsymbol c = -\boldsymbol b \boldsymbol a \boldsymbol c = \boldsymbol b \boldsymbol c \boldsymbol a = - \boldsymbol c \boldsymbol b \boldsymbol a = \boldsymbol c \boldsymbol a \boldsymbol b = -\boldsymbol a \boldsymbol c \boldsymbol b$. (Alternálás.)
    3. Disztributív mindhárom változójában.
38. Adja meg a vektorok bezárt szögének képletét.
    
    Ortonormált bázisban az $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)$, $\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)$ vektorok bezárt szögét az \[ \frac{\boldsymbol x \boldsymbol y}{|\boldsymbol x|\,|\boldsymbol y|} =\cos \alpha.\] képlettel számoljuk, ahol $0\leq \alpha\leq 180^\circ$. Speciálisan, az $\boldsymbol x, \boldsymbol y$ vektorok merőlegesek, ha $\boldsymbol x\boldsymbol y=0$. Jelöléssel: $\boldsymbol x\perp \boldsymbol y$.
39. Adja meg az egyenes normálvektoros (implicit) egyenletét.
    
    Az egyenesek egyenlete $aX+bY+c=0$ alakba írható, ahol $(a,b)\neq(0,0)$ az egyenes normálvektora.
40. Adja meg az egyenes explicit egyenletét.
    
    1. Az $e:aX+bY+c=0$ akkor és csak akkor párhuzamos az $y$-tengellyel, ha $b=0$. Ebben az esetben az egyenlete $X=d$ alakra hozható.
    2. Az $y$-tengellyel nem párhuzamos egyenesek egyenlete $Y=mX+d$ alakra hozható.
    3. A $P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$ pontokon áthaladó egyenes normálvektoros egyenlete \[(y_1-y_2)X-(x_1-x_2)Y+(x_1y_2-x_2y_1)=0.\]
    4. Amennyiben $x_1\neq x_2$, akkor a $P_1P_2$ egyenes egyenlete \[Y=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} X + \frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}. \]
41. Adja meg a pontok távolságának képletét.
    
    A $P_1(x_1,y_1)$ és $P_2(x_2,y_2)$ pontok távolsága a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben $|P_1P_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
42. Adja meg a párhuzamos eltolás koordinátás alakját.
    
    Legyen $\alpha$ az a párhuzamos eltolás, mely az origót az $(u,v)$ pontba viszi. Ekkor $\alpha$ koordinátás alakja \[(x,y)\mapsto (x+u,y+v). \]
43. Adja meg a forgatás koordinátás alakját.
    
    Az origó körüli $\varphi$ szögű forgatás koordinátás alakja \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&x\cos\varphi - y\sin \varphi,\\ y'&=&x\sin\varphi+y\cos \varphi. \end{array} \right.\]
44. Adja meg a tengelyes tükrözés koordinátás alakját.
    
    Az $e:Y=mX+b$ egyenesre vett tengelyes tükrözés koordinátás alakja \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&x-\frac{2m(mx+b-y)}{1+m^2}, \\ y'&=& y+\frac{2(mx+b-y)}{1+m^2}. \end{array} \right.\]
45. Adja meg a hasonlósági transzformáció koordinátás alakját.
    
    A $K(a,b)$ középpontú, $\lambda$ arányú középpontos nyújtás koordinátás alakja \[\left \{ \begin{array}{rcl} x'-a&=&\lambda(x-a), \\ y'-b&=&\lambda(y-b). \end{array} \right.\]

Tételek

1. Sorolja fel a logikai műveletek azonosságait.
   
   A logikai műveletek az alábbi azonosságoknak tesznek eleget: \begin{eqnarray*} \text{asszociativitás:}&& \left\{ \begin{aligned} A\vee (B\vee C) &= (A\vee B) \vee C \\ A\wedge (B\wedge C) &= (A\wedge B) \wedge C \end{aligned} \right. \\ \text{disztibutivitás:}&& \left\{ \begin{aligned} A\wedge (B \vee C) &= (A\wedge B) \vee (A\wedge C) \\ A\vee (B \wedge C) &= (A\vee B) \wedge (A\vee C) \end{aligned} \right. \\ \text{De Morgan-azonosságok:}&& \left\{ \begin{aligned} \neg (A\vee B) &= (\neg A) \wedge (\neg B) \\ \neg (A\wedge B) &= (\neg A) \vee (\neg B) \end{aligned} \right. \\ \text{kontrapozíció:} && A \rightarrow B = (\neg B) \rightarrow (\neg A)\\ \text{tagadás tagadása:} &&\neg(\neg A) = A. \end{eqnarray*}
2. Mondja ki a rekurziós elvet.
   
   Legyen $M_1,M_2,\ldots$ halmazok sorozata, $a \in M_1$ és $f_1,f_2,\ldots$ függvényeknek egy sorozata, $f_k:M_k\to M_{k+1}$. Ekkor pontosan egy olyan $a_1,a_2,\ldots$ sorozat létezik, melyre $a_1=a$ és $a_{n+1}=f_n(a_n)$ minden $n$ természetes számra.
3. Mondja ki a természetes számok összeadásának alaptulajdonságait.
   
   A természetes számok összeadása kommutatív és asszociatív művelet: \[n+m=m+n, \hspace{6mm} (n+m)+k=n+(m+k).\]
4. Mondja ki a természetes számok szorzásának alaptulajdonságait.
   
   A természetes számok szorzása kommutatív és asszociatív művelet, valamint teljesül a disztributivitás tulajdonsága: \[nm=mn, \hspace{6mm} (nm)k=n(mk), \hspace{6mm} m(n+p)=mn+mp.\]
5. Sorolja fel a halmazelméleti műveletek alaptulajdonságait.
   
   Tetszőleges $A,B,C$ halmazokra teljesül: \begin{eqnarray*} A\cup (B \cap C) &=& (A\cup B) \cap (A\cup C)\\ A\cap (B\cup C) &=& (A\cap B) \cup (A\cap C)\\ \bar{\bar{A}}&=&A\\ \overline{A\cup B} &=& \bar A \cap \bar B\\ \overline{A\cap B} &=& \bar A \cup \bar B \end{eqnarray*}
6. Sorolja fel a leképezések szorzatának tulajdonságait.
   
   Tetszőleges $f:A\to B$ és $g:B\to C$ leképezésekre teljesülnek a következők:

   1. Ha $f$ és $g$ injektív (szürjektív, bijektív), akkor $g\circ f$ is injektív (szürjektív, bijektív).
   2. Ha $g\circ f$ injektív, akkor $f$ injektív.
   3. Ha $g\circ f$ szürjektív, akkor $g$ szürjektív.
7. Mondja ki a szitaformulát.
   
   Tetszőleges $A_1,\ldots,A_n$ véges halmazokra teljesül \begin{eqnarray*} |A_1\cup \cdots \cup A_n|&=&|A_1|+\cdots +|A_n|- \\ && |A_1\cap A_2| -|A_1\cap A_3|- \cdots -|A_{n-1}\cap A_n|+ \\ && |A_1\cap A_2\cap A_3|+|A_1\cap A_2\cap A_4|+\cdots- \\ && \cdots +(-1)^{n-1} |A_1\cap \cdots \cap A_n|. \end{eqnarray*}
8. Mondja ki a binomiális tételt.
   
   Bármely $n$ természetes számra és tetszőleges $a,b$ valós számokra \[(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \cdots + \binom{n}{k} a^k b^{n-k} + \cdots + \binom{n}{n}b^n.\]
9. Írja fel a Bernoulli-egyenlőtlenséget.
   
   Ha $n\in\mathbb N$ és $\alpha \geq -1$ valós szám, akkor $(1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha$.
10. Írja fel a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenséget.
    
    Tetszőleges $u_1,\ldots,u_n$ és $v_1,\ldots,v_n$ valós számokra teljesül \[(u_1 v_1+ \cdots + u_n v_n)^2 \leq (u_1^2+\cdots+u_n^2)(v_1^2+\cdots+v_n^2),\] ahol akkor és csak akkor van egyenlőség, ha létezik olyan $c\in \mathbb R$ szám, melyre $v_1=cu_1,\ldots,v_n=cu_n$ teljesül.
11. Mondja ki a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget.
    
    Tetszőleges $a_1,\ldots,a_n$ nemnegatív valós számokra igaz az \[\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}\] egyenlőtlenség, és egyenlőség pontosan az $a_1=a_2=\cdots =a_n$ esetben teljesül.
12. Mondja ki az általános hatványközépre vonatkozó egyenlőtlenséget.
    
    Ha $a_1,\ldots,a_n$ pozitív valós és $r,s$ racionális számok, és $r<s$, akkor \[\left ( \frac{a_1^r+\cdots+a_n^r}{n} \right )^\frac{1}{r} \leq \left ( \frac{a_1^s+\cdots+a_n^s}{n} \right )^\frac{1}{s}.\] Egyenlőség pontosan akkor van, ha $a_1=\cdots=a_n$.
13. Mondja ki a maradékos osztás tételét.
    
    Legyen $a\in \mathbb N_0$ és $b\in \mathbb N$. Ekkor léteznek olyan egyértelműen meghatározott $q,r\in \mathbb N_0$ számok, amelyekre $a=bq+r$ és $0\leq r<b$ teljesül.
14. Mondja ki a számelmélet alaptételét.
    
    Minden $1$-nél nagyobb természetes szám felbontható véges sok prímszám szorzatára. A felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű.
15. Mondja ki a természetes szám felírását $g$-alapú számrendszerben.
    
    Bármely $a\in \mathbb N_0$ szám a szám elején elhelyezett $0$-któl eltekintve egyértelműen felírható $g$ alapú számrendszerben.
16. Mondja ki a $\sqrt{2}$ racionalitására vonatkozó állítást.
    
    Nincs olyan $x\in \mathbb Q$ racionális szám, melyre $x^2=2$.
17. Mondja ki a valós számok tizedes tört alakjára vonatkozó állítást.
    
    Minden tizedes tört meghatároz egy egyértelmű valós számot. Fordítva, minden valós számhoz pontosan egy tizedes tört alak tartozik, ha nem engedjük meg, hogy a tizedesjegyek valahonnét kezdve csupa $9$-esek legyenek.
18. Mondja ki a szakaszos tizedes törtek és a racionális számok kapcsolatát.
    
    A szakaszos tizedes törtek pontosan a racionális számok.
19. Mondja ki a polinomfüggvény gyöktényezős alakjára vonatkozó állítást.
    
    Legyen $f$ $n$-edfokú polinomfüggvény és $b_1,\ldots,b_k\in \mathbb R$ az $f$ gyökei. Ekkor $k\leq n$ és \[f(x)=q(x) (x-b_1)\cdots(x-b_k)\] egy olyan $q$ polinomfüggvényre, aminek nincs valós gyöke.
20. Mondja ki a páratlan fokszámú polinomfüggvény gyökeire vonatkozó állítást.
    
    Minden páratlan fokszámú polinomfüggvénynek van valós gyöke.
21. Írja fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét.
    
    Az $ax^2+bx+c=0$ általános másodfokú egyenlet megoldóképlete \[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]
22. Mondja ki a gyökvonás alaptulajdonságait.
    
    Az $f(x)=\sqrt[n]{x}$ minden $n$ esetén jól meghatározott függvény, melynek értelmezési tartománya páratlan $n$ esetén $\mathbb R$, páros $n$ esetén pedig $\mathbb R_{\geq 0}$. Tetszőleges racionális kitevők esetén teljesülnek az $(xy)^n=x^ny^n$, $x^n x^m =x^{n+m}$, $(x^n)^m=x^{nm}$ azonosságok.
23. Mondja ki a logaritmus és az exponenciális függvény alaptulajdonságait.
    
    Legyenek $x,y,a,b>0$ valós számok.
    \begin{tabular}{ll} (1) $a^x a^y =a^{x+y}$. & (2) $ \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$. \\ (3) $(a^x)^y=a^{xy}$. & (4) $(ab)^x=a^x b^x$. \\ (5) $x=a^{\log_a x}$. & (6) $x=\log_a(a^x)$.\\ (7) $\log_a(xy)=\log_a x+ \log_a y$. & (8) $\log_a (\frac{x}{y})= \log_a x - \log_a y$.\\ (9) $\log_a(x^u)=u \log_a x$. & (10) $\log_a x= (\log_b x )( \log_a b)$. \end{tabular}
24. Mondja ki a trigonometrikus függvények alaptulajdonságai.
    
    Minden $x\in \mathbb R$ számra teljesülnek az alábbiak:

    1. $\sin (x+2\pi)=\sin x$, $\cos (x+2\pi)=\cos x$.
    2. $\mathrm{tg} (x+\pi)=\mathrm{tg}\, x$, $\mathrm{ctg} (x+\pi)=\mathrm{ctg}\, x$.
    3. $\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$.
    4. $\sin (\frac{\pi}{2} -x)=\cos x$.
    5. $\sin^2 x + \cos^2 x =1$.
25. Mondja ki az egybevágóságok egyenestartását.
    
    Az egybevágóságok szakaszt szakaszba, egyenest egyenesbe képeznek.
26. Mondja ki a forgatások előállítására vonatkozó tételt.
    
    Legyen $K$ az $e,f$ egyenesek metszéspontja és $\alpha$ a két egyenes bezárt szöge. Ekkor a két tengelyes tükrözés $\tau_f\tau_e$ szorzata a $K$ körüli $2\alpha$ szögű forgatás.
27. Mondja ki az eltolások és a középpontos tükrözések kapcsolatát.
    
    Két középpontos tükrözés szorzata eltolás. Legyen $\beta=\tau_b\tau_a$ eltolás és $P$ tetszőleges pont. Ekkor pontosan egy olyan $Q$ pont létezik, hogy $\beta=\sigma_Q\sigma_P$.
28. Mondja ki az eltolások szorzatára és inverzére vonatkozó tételt.
    
    Eltolások szorzata és inverze szintén eltolás. Az eltolások szorzata kommutatív.
29. Jellemezze a háromszögek egybevágóságát.
    
    Két háromszög akkor és csak akkor egybevágó, ha megfelelő oldalaik hosszúsága megegyezik.
30. Mondja ki a középpontos nyújtásokra vonatkozó tételt.
    
    A középpontos nyújtás hasonlósági transzformáció.
31. Mondja ki a párhuzamos szelők tételét.
    
    Messe az $O$-n átmenő egyenespárt két párhuzamos egyenes az $A_1,B_1$, illetve $A_2,B_2$ pontokban. Ekkor \[\frac{|OA_2|}{|OA_1|} =\frac{|OB_2|}{|OB_1|} = \frac{|A_2B_2|}{|A_1B_1|}.\]
32. Mondja ki a hasonlósági transzformációk előállítását megadó tételt.
    
    Bármely hasonlósági transzformáció előáll, mint egy középpontos nyújtás és egy egybevágóság szorzata.
33. Mondja ki Pitagorasz tételét.
    
    Derékszögű háromszög $a,b$ befogóira és $c$ átfogójára teljesül $a^2+b^2=c^2$. Fordítva, ha egy háromszög $a,b,c$ oldalaira $a^2+b^2=c^2$, akkor a $c$-vel szemközti szög derékszög.
34. Adja meg a kör területképletét.
    
    Az $r$ sugarú kör területe $T=r^2\pi$ .
35. Adja meg a hasáb és a gúla térfogatát, valamint a gömb felszíné és térfogatát.
    
    1. A hasáb térfogata $V=\mbox{alap} \cdot \mbox{magasság}$.
    2. A gúla térfogata $V=\frac{\mbox{alap} \cdot \mbox{magasság}}{3}$.
    3. Az $r$ sugarú gömb térfogata $V=\frac{4}{3}r^3\pi$.
    4. Az $r$ sugarú gömb felszíne $F=4r^2\pi$.
36. Sorolja fel a vektorműveletek alaptulajdonságait.
    
    1. Vektorok összeadása és számmal való szorzása jól definiált, azaz az eredmény független a vektor kezdőpontjának megválasztásától.
    2. Az összeadás asszociatív, kommutatív művelet, melyre teljesül \[\overrightarrow{AB}+\boldsymbol 0=\boldsymbol 0+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB} \qquad\mbox{és}\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\boldsymbol 0. \]
    3. A számmal való szorzás disztributív, azaz \[c(\boldsymbol u+\boldsymbol v)=c\boldsymbol u +c\boldsymbol v \qquad\mbox{és}\qquad (c+d)\boldsymbol u=c\boldsymbol u +d\boldsymbol u.\]
37. Sorolja fel a skalárszorzat alaptulajdonságait.
    
    1. $\forall \boldsymbol x$ vektorra $\boldsymbol x^2\geq 0$ és $\boldsymbol x^2=0$ akkor és csak akkor, ha $\boldsymbol x=\boldsymbol 0$.
    2. $\forall \boldsymbol x, \boldsymbol y$ vektorra $\boldsymbol x\boldsymbol y=\boldsymbol y\boldsymbol x$. (Kommutativitás.)
    3. $\forall \boldsymbol x, \boldsymbol y$ vektorra és $c\in \mathbb R$ számra $(c\boldsymbol x)\boldsymbol y = \boldsymbol x(c \boldsymbol y)=c(\boldsymbol x \boldsymbol y)$.
    4. $\forall \boldsymbol x, \boldsymbol y, \boldsymbol z$ vektorra $(\boldsymbol x+ \boldsymbol y)\boldsymbol z = \boldsymbol x\boldsymbol z + \boldsymbol y \boldsymbol z$. (Disztributivitás.)
38. Mondja ki a koszinusz-tételt.
    
    Jelölje $a,b,c$ az $ABC\triangle$ oldalait és legyen $\gamma$ a $c$-vel szemközti szög. Ekkor $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$.
39. Mondja ki a szinusz-tételt.
    
    Legyenek $a,b,c$ egy háromszög oldalai és $\alpha, \beta, \gamma$ az ezekkel szemközti szögek. Ekkor teljesül \[\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}, \hspace{5mm} \frac{a}{c}=\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}, \hspace{5mm} \frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}. \]
40. Sorolja fel a vektoriális szorzat alaptulajdonságait.
    
    1. $\forall \boldsymbol a,\boldsymbol b$ vektorra $\boldsymbol a \times \boldsymbol b = \boldsymbol 0$ akkor és csak akkor, ha $\boldsymbol a \parallel \boldsymbol b$.
    2. $\forall \boldsymbol a, \boldsymbol b$ vektorra $\boldsymbol a \times \boldsymbol b=-\boldsymbol b \times \boldsymbol a$. (Antikommutativitás.)
    3. $\forall \boldsymbol a, \boldsymbol b$ vektorra és $d\in \mathbb R$ számra $(d\boldsymbol a) \times \boldsymbol b = \boldsymbol a\times (d \boldsymbol b)=d(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)$.
    4. $\forall \boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c$ vektorra $(\boldsymbol a+ \boldsymbol b)\times \boldsymbol c = \boldsymbol a \times \boldsymbol c + \boldsymbol b \times \boldsymbol c$. (Disztributivitás.)

Következmények

1. Mondja ki a polinomfüggvény gyökeinek számára vonatkozó korlátot.
   
   Egy $n$-edfokú polinomfüggvénynek legfeljebb $n$ gyöke van.
2. Mondja ki a párhuzamos szelők tételének megfordítását.
   
   • A tétel megfordítása: Amennyiben a megfelelő arányok megegyeznek, úgy a két szelő egyenes párhuzamos.
   • Szelő szakaszok tétele: Három párhuzamos szelő esetén a kimetszett szakaszok aránya megegyezik.
3. Mondja ki a vektoriális szorzat disztributivitását.
   
   $(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\times \boldsymbol c=\boldsymbol a\times \boldsymbol c + \boldsymbol b \times \boldsymbol c$ és $\boldsymbol a \times (\boldsymbol b+\boldsymbol c)=\boldsymbol a\times \boldsymbol b + \boldsymbol a \times \boldsymbol c$.