11 Algebra 2+0 Matematikai struktúrák felépítése halmazelméleti fogalmak segítségével. Kategóriák. Matematikai struktúrák mint kategóriaelméleti objektumok. Az algebra tárgya; az algebrai struktúrák típusai. Az algebra eszközei; alkalmazásuk a matematika más területein. Az algebra céljai; nevezetes leírási, jellemzési és reprezentációtételek. Algebrai struktúrák más matematikai struktúrákkal ellátva. A számfogalom algebrai szempontból. Fried: Általános algebra Jacobson: Basic Algebra I Rédei: Algebra I
211 Félcsoportelmélet 2+0 Transzformációfélcsoport, szabad félcsoport. Ideál és Rees-kongruencia, Green-relációk, a D-osztályok szerkezete. Reguláris elem, inverzelem, reguláris D-osztályok. Egyszerű félcsoportok, főfaktorok, Rees tétele teljesen 0-egyszerű félcsoportokra. Teljesen reguláris félcsoportok, csoportok félhálói. Inverz félcsoportok, Wagner-Preston-féle reprezentáció, természetes rendezés. Fundamentális inverz félcsoportok, Munn-tétel. Howie: Fundamentals of Semigroup Theory
212 Hálóelmélet 2+0 Hálóelméleti alapfogalmak, dualitás, teljes hálók. Algebrai hálók, részalgebra hálók. Disztributív hálók: Birkhoff és Stone reprezentációs tétele, véges disztributív hálók szerkezete. Birkhoff és Dedekind kritériuma, a három elem által generált szabad moduláris és disztributív háló. Hálókongruenciák. Moduláris hálók: intervallumok, elemfelbontások. Geometriai hálók és komplementumos moduláris hálók. Projektív geometriák mint moduláris hálók. Hálóvarietások. Czédli: Hálóelmélet Grätzer: General Lattice Theory
213 Univerzális algebra 2+0 Algebra, kifejezésfüggvény, polinomfüggvény. Részalgebra. Izomorfizmus, homomorfizmus, általános izomorfiatételek. Direkt szorzat, további szorzatfajták. Szubdirekt felbontás, Birkhoff tétele. Lezárási operátorok, lezárási rendszerek. Kongruenciaháló. Szabad algebra. Varietások. Birkhoff varietás-tétele, Birkhoff-féle teljességi tétel. Varietások ekvivalenciája. Azonosságokkal jellemezhető tulajdonságok varietásokon. Malcev és Pixley tétele. Magari tétele. Minimális varietások. Ultraszorzat, kongruenciadisztributív varietások. Primál algebra által generált varietások. Kváziprimál algebrák, diszkriminátorvarietások. Véges azonosságbázis létezésére vonatkozó tételek. Burris-Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába McKenzie-McNulty-Taylor: Algebras, Lattices, Varieties
214 Csoportelmélet 2+0 Testek multiplikatív csoportja. Permutációcsoportok (primitív és többszörösen tranzitív csoportok, koszorúszorzat, Frobenius csoportok). Szabad csoportok. Feloldható csoportok. p-csoportok. Nilpotens csoportok. A transzfer. A Burnside-probléma. Mátrix-csoportok. Véges egyszerű csoportok. Részcsoporthálók. Aschbacher: Finite Group Theory Hall, M. Jr.:The Theory of Groups Huppert: Endliche Gruppen
3100 Reguláris félcsoportok 2+0 Előfeltétel: 211 Reguláris félcsoportok kongruenciái: kongruenciák magja és nyoma, a kongruenciaháló, speciális kongruenciák. Teljesen reguláris félcsoportok finom szerkezete, Lallement tétele, kötegek. Inverz félcsoportok: E-unitér inverz félcsoportok, fedési tétel, P-tétel. Ortodox félcsoportok: Hall-félcsoportok, E-unitér reguláris félcsoportok. Lokálisan inverz félcsoportok: Pastijn és McAlister fedési tételei. Reguláris félcsoportok és birendezett halmazok. Reguláris félcsoportok általánosításai. Howie: Fundamentals of Semigroup Theory Nambooripad: Structure of Regular Semigroups I Pastijn és Petrich: Congruences on Regular Semigroups Petrich: Inverse Semigroups továbbá McAlister, Pastijn és mások válogatott cikkei
3101 Félcsoportosztályok univerzális algebrai vizsgálata 2+0 Előfeltétel: 211 Félcsoportvarietások hálója, fontos részhálói, véges bázis tulajdonság, szóprobléma. Szabad teljesen reguláris félcsoportok, a teljesen reguláris félcsoportok varietásainak hálója, a kötegvarietások hálója. Szabad inverz félcsoportok, az inverz félcsoportok varietásainak hálója. Nincs szabad reguláris ill. szabad ortodox félcsoport. Reguláris félcsoportok egzisztenciavarietásai, biszabad objektumok, ortodox félcsoportok egzisztenciavarietásai. Véges félcsoportok pszeudovarietásai, provéges objektumok. Almeida: Finite Semigroups and Universal Algebra Howie: Fundamentals of Semigroup Theory Petrich: Inverse Semigroups Petrich-Reilly: Completely Regular Semigroups továbbá Auinger, Evans, Kadourek és Volkov válogatott cikkei
3102 Kongruenciavarietások 2+0 Előfeltétel: 212 A kongruenciadisztributivitás jelentősége, Baker tétele. Jónsson-kifejezések, Day-kifejezések (Gumm-kifejezések). Malcev-osztályok és erős Malcev-osztályok jellemzése. Nation hálóazonosságai, (3,3)-azonosságok. Polin ellenpéldája és a \modelsc jellemzése. A modularitás néhány következményazonossága kongruenciavarietásokban. Abel-féle hálók és Abel-féle (= modulusvarietásból származó) kongruenciavarietások. Az Abel-féle kongruenciavarietások öndualitása. Modulusvarietások kongruencia-kvázivarietásai. A kommutátorelmélet alapjai. A kommutátorelmélet alkalmazásai kongruenciavarietásokra: "kongruenciapattintás", gyémántazonosságok, Day és Kiss elegendő feltételei az Abel-féleségre. Példa nem-Abel-féle kongruenciavarietásra. Lokális varietások kongruenciavarietásai. Freese-McKenzie: Commutator Theory továbbá Jónsson, Day, Freese és mások válogatott cikkei
3103 Hálók koordinátázáselmélete 2+0 Előfeltétel: 212 Geometriai hálók. Geomoduláris hálók és projektív geometriák jellemzése. A Desargues-tétel hálóelméleti megfelelői. Desargues-féle geometriai hálók (direkt tényezőinek) koordinátázása. Neumann-keretek és az általuk generált komplementumos moduláris hálók koordinátázása. Huhn-gyémánt. Az n-disztributív hálók elmélete. Huhn-gyémánt által prezentált szubdirekt irreducibilis hálók. Gyémánt (illetve keret) által generált Desargues-féle hálók koordinátázása. Neumann-féle dimenziófüggvény. Lineáris hálók bizonyításelmélete. Crawley-Dilworth: Algebraic Theory of Lattices Grätzer: General Lattice Theory Neumann, J.: Continuous Geometries továbbá Day, Haiman, Herrmann és Huhn válogatott cikkei
3104 Véges rendezések 2+0 Soros-párhuzamos rendezések. Dilworth láncokra bontási tétele. Rendezések dimenziója. Schnyder tétele. Véges disztributív hálók és rendezések kapcsolata. Sperner típusú tételek. Lebontható rendezések és a fixponttulajdonság. Roddy tétele. Rendezések cikkcakkjai. Monotone műveletek, Tardos tétele. Irreducibilis rendezések. Rendezés varietások. Rendezések aritmetikája. Hashimoto tétele. Bogart-Freese-Kung (szerkesztők): The Dilworth Theorems. Selected papers of Robert P. Dilworth Trotter: Combinatorics and Partially Ordered Sets. Dimension Theory továbbá válogatott cikkek az Order c. folyóiratból
3105 Klónok 2+0 Előfeltétel: 213 Absztrakt klónok és műveletklónok. Galois-kapcsolatok. Relációklónok és műveletklónok kapcsolata, Baker-Pixley-tétel. Nevezetes teljességi tételek: általános Lagrange-interpoláció véges testekben, Werner-Wille-tétel, Sheffer-Webb-tétel, Slupecki-tétel, Salomaa-tétel. Véges halmazok klónhálói; Janov-Mucnik-tétel. Maximális klónok; Post-tétel. Rosenberg-tétel és néhány alkalmazása: McKenzie-tétel, a minta-függvények teljessége. Sheffer-függvények; Rousseau-tétel. Minimális klónok. Swierczkowski lemmája. Rosenberg típus-tétele. Primitív pozitiv klónok; Kuznyecov-tétel. Csákány: Klónok (Függelék Burris-Sankappanavar Bevezetés az univerzális algebrába c. könyvéhez) Pöschel-Kaluzsnyin: Funktionen- und Relationenalgebren Szendrei Ágnes: Clones in Universal Algebra
3106 Véges algebra 2+0 Előfeltétel: 213, 3105 Primál algebrák és általánosításaik. A primál algebrák Stone-Hu-féle dualitás-elmélete. A term-feltétel, Abel-féle algebrák, McKenzie tétele (kongruencia-fölcserélhető varietás szigorúan egyszerű algebráiról). Lokálisan véges varietások. Varietás spektruma. Relációklónok és szabad algebrák kapcsolata. Véges azonosságbázisú algebrák. Post és Lyndon tételei, a Lyndon-féle grupoid, a Murszkij-féle grupoid, örökletesen nem-végesbázisú algebrák. Pálfy-Pudlák-tétel, Pálfy tétele. Minimális algebrák, a szelíd kongruenciák elméletének elemei. Burris-Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába McKenzie-McNulty-Taylor: Algebras, Lattices, Varieties Szendrei Ágnes: Clones in Universal Algebra Hobby-McKenzie: The Structure of Finite Algebras továbbá Baker-McNulty-Werner, Berman, McKenzie, Pálfy, Pudlák és mások válogatott cikkei
3107 Kommutátorelmélet 2+0 Előfeltétel: 213 A kongruenciamoduláris varietások alapvető tulajdonságai. A moduláris kommutátor és az Abel-féle algebrák alaptétele. A moduláris varietások 3-változós Malcev-típusú jellemzése. Feloldhatóság, centrum, nilpotencia. Kommutátorazonosságok. A moduláris varietásokhoz tartozó gyűrű. Struktúratételek moduláris varietásokban. A moduláris varietások szigorúan egyszerű algebrái. Malcev-feltétellel leírható kongruenciaazonosságok moduláris varietásokban. Burris-Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába Freese-McKenzie: Commutator Theory for Congruence Modular Varieties McKenzie-McNulty-Taylor: Algebras, Lattices, Varieties
3108 Modellelmélet 2+0 Előfeltétel: 213 Elsőrendű nyelvek és struktúrák, modell. Szűrő, ultraszűrő; redukált szorzat, ultraszorzat. Elemi ekvivalencia, elemi bővítés. o\'s tétele. Kompaktsági tétel. Löwenheim-Skolem-tétel. Nemstandard modellek. Az axiomatizálható osztályok jellemzése. Horn-formulák. Megmaradási tételek. Birkhoff varietás-tételének modellelméleti bizonyítása. Eldönthetőségi kérdések. Chang-Keisler: Model Theory Burris-Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába Grätzer: Universal Algebra
3109 Testelmélet és Galois-elmélet 2+0 Testbővítések. Egyszerű algebrai és transzcendens bővítés. Véges fokú testbővítés, a fokszámok szorzástétele. Felbontási test és normális bővítés. Véges testek. Tökéletes testek. Galois-csoport. A Galois-elmélet főtétele. Egyenletek megoldhatósága gyökmennyiségekkel. Ruffini-Abel-tétel. A geometriai szerkeszthetőség algebrai elmélete. Czédli-Szendrei Ágnes: Geometriai szerkeszthetőség Garling: A Course in Galois Theory Jacobson: Basic Algebra I Rédei: Algebra I
3110 Gyűrűk és modulusok 2+0 Morita-elmélet. Morita-ekvivalencia; jellemzések és alkalmazások struktúraelméletre és Brauer-csoportra. Morita-dualitás; jellemzések, duális, PF- és QF-gyűrűk, AB* és lineáris kompaktság. Struktúraelmélet. Szemiperfekt modulusok és gyűrűk. Perfekt gyűrűk. Bass és Björk tételei. PI-gyűrűk. Alapvető fogalmak. Kaplansky, Amitsur-Levitzky tételei. Jacobson: Basic Algebra I továbbá válogatott cikkek
3111 Reprezentációelmélet 2+0 Gyűrű felbontása ideálok direkt összegére. A minimumfeltétel és következményei. Jacobson-radikál. Féligegyszerű gyűrűk, Wedderburn-Artin tétel. Féligegyszerű gyűrű feletti modulusok. Irreducibilis modulusok; Schur-lemma; Jacobson-féle sűrűségi tétel. Test feletti algebrák. Wedderburn-Artin tétele a féligegyszerű gyűrű feletti végesdimenziós algebrákra. Csoport reprezentációja, ekvivalens reprezentációk. Csoportalgebra. A csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk kapcsolata. Maschke tétele. A teljes reducibilitás tétele. Reprezentációk a komplex számtest felett. Csoportkarakterek. Ortogonalitási relációk. Alkalmazás: a Burnside-tétel bizonyítása. Kaluzsnyin: Bevezetés az absztrakt algebrába Scott: Group Theory
3112 Lineáris algebra 2+0 Lineáris transzformáció sajátértékei, sajátvektorai, karakterisztikus polinomja. Euklideszi terek. Ortogonális és önadjungált transzformációk. A kvadratikus alakok főtengelytétele. Unitér terek, normális transzformációk. Modulusok. A főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok alaptétele. Test feletti mátrixok Jordan-féle normálalakja, Cayley-Hamilton tétel. Birkhoff-MacLane: Algebra Fried: Klasszikus és lineáris algebra Jacobson: Basic Algebra I
3113 Kódoláselmélet 2+0 Titkosírások. A prímszámok elméletének jelentősége. Solovay-Strassen-teszt. Miller-Rabin-teszt. Carmichael-számok. Az RSA titkosírás. Prímfaktorizációs módszerek. Titokmegosztás, kulcsváltás. Az információ tömör tárolása: monoidelméleti alapok, Huffman-módszer. Hibajelző és -javító kódolások. Lineáris és ciklikus kódok. Hamming-, Reed-Müller-, Golay- és BCH kódolás és dekódolás. Birkhoff-Bartee: A modern algebra a számítógéptudományban Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography
3114 Algebra a szórakoztató matematikában 2+0 Zermelo és Neumann elmélete kétszemélyes diszkrét játékokra. Sprague és Grundy elmélete: a nim-játék kitüntetett szerepe. Conway elmélete: a számfogalom és a diszkrét játékelmélet egységes felépítése. Malomszerű (achievement) játékok. Topologikus játékok. Csoportelméleti játékok. A Leibniz-féle szoliter; Reiss, Conway és de Bruijn elmélete. Fejtörők végtelen pontrácsokon (egész számokra, sakktáblára, stb. vonatkozó feladatok). Diszkrét dinamikai rendszerek végtelen pontrácsokon (sejtautomaták, bolgár szoliter, stb.). Bűvös négyzetek. Berlekamp-Conway-Guy: Winning Ways Conway: On Numbers and Games Beasley: The Mathematics of Games Zermelo, Sprague, Grundy, Gale, de Bruijn és mások válogatott cikkei
3115 Egyetemi algebraoktatás a 20. században 2+0 Az algebra helyzete a 20. század elején. A modern algebra előfutárai és áttörése. Van der Waerden, Bourbaki, Jacobson, Rédei, Birkhoff könyveinek összehasonlítása. A század nagy újításai: hálók, kategóriák, univerzális algebra, homologikus algebra, stb.; szerepük az oktatásban. A hazai oktatás anyaga és tankönyvei Kőnig Gyulától napjainkig. Birkhoff-MacLane: Algebra Birkhoff-Bartee: A modern algebra a számítógéptudományban Corry: Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures Van der Waerden: Moderne Algebra Rédei: Algebra Jacobson: Lectures on Abstract Algebra; General Algebra válogatott történeti jegyzetek Bourbaki könyveiből válogatott cikkek a Mathematical Intelligencer c. folyóiratból válogatott magyar nyelvű matematikatörténeti publikációk
3116 Néhány kérdés a matematika kultúrtörténetéből 2+0 A deduktív matematika kialakulása, a hellén kor matematikája. Az iszlám kultúrák matematikája. A reneszánsz kor európai matematikája. A magasabbfokú egyenletek megoldása, ill. megoldhatósága Mezopotámiától Galois-ig. Boyer: A History of Mathematics Corry: Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Rashed: The Development of Arabic Mathematics Van der Waerden: Egy tudomány ébredése válogatott matematikatörténeti cikkek
12 Mérték- és integrálelmélet 2+0 Mérhetőségi tér, mérhető leképezések, a mérték fogalma és tulajdonságai. Pozitív mérhető függvény integrálja, Lebesgue monoton konvergencia tétele, Fatou lemmája. Integrálható függvények, Lebesgue majoráns konvergencia tétele, nulla mértékű halmazok. A kompakt tartójú folytonos függvények terén értelmezett pozitív lineáris funkcionálok Riesz-féle előállítása. A Borel mértékek regularitása. A Lebesgue mérték Rn-en. Luzin és Jegorov tételei. A Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenségek. Az Lp(m) és C0(X) függvényterek teljessége. A Hilbert tér fogalma. A zárt konvex halmazok minimáltulajdonsága, ortogonális komplementer, folytonos lineáris funkcionálok. Ortonormált vektorrendszerek, Bessel- egyenlőtlenség, a Riesz-Fisher tétel. Ortonormált bázis, Parseval-azonosság, Hilbert tér dimenziója. Banach terek, korlátos lineáris transzformációk. Banach-Steinhaus tétel, a nyílt leképezések tétele, zárt gráf tétel. A Hahn-Banach-féle kiterjesztési tétel. 58 , ajánlott: 69
221 Fejezetek a komplex függvénytanból 2+1 Riemann-féle számgömb. Lineáris függvények. A Bolyai-Lobacsevszkij-féle sík Poincaré-féle modellje. Riemann-felületek. Függvény viselkedése a végtelen távoli pontban. Holomorf függvény inverze. A reziduumszámítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására. A cotgpz függvény felbontása parciális törtek összegére. Egész függvények szorzatelőállítása. Gamma-függvény. 58 , ajánlott: 70
222 Függvényterek és duálisaik 2+1 Komplex mértékek, a teljes változás mérték, Jordan felbontás. Abszolút folytonos és szinguláris mértékek, a Lebesgue-Randon-Nikodym tétel. Polárfelbontás, Hahn tétele. Lp(m) korlátos lineáris funkcionáljai. Banach terek reflexivitása. Riesz reprezentáció tétele C0(X) duálisáról. Mérhetőség szorzattereken, a szorzatmérték. Fubini tétele, függvények konvolúciója. Rn Borel mértékeinek differenciálása. Korlátos változású függvények az egyenesen, kapcsolatuk a Borel mértékekkel. A differenciálás és az integrálás kapcsolata az egyenesen értelmezett függvények körében. A parciális integrálás tétele. Helyettesítéssel való integrálás Rn-en. 58 , ajánlott: 69
223 Bevezetés az approximációelméletbe 3+2 Approximáció pozitív operátorokkal, Korovkin tétele. Weierstrass és Weierstrass-Stone tétel. Folytonossági és simasági modulusok, Jackson tétel, direkt tételek. Deriváltak becslése, Bernstein tétel és az approximációelmélet inverz tételei. Legjobban közelítő polinomok jellemzése, extrémális szignatúrák. Lp-approximáció. Bernstein polinomok naturációja, parabola módszer. 43, 44 , ajánlott: 1, 11, 45, 49, 72
224 Fourier sorok I 2+0 Klasszikus Fourier sorok történeti bevezetése, a ĺ(cosnx)/n, ĺ(sinnx)/n trigonometrikus sorok összege. Korlátos változású függvények Fourier sorai: a Dirichlet- Jordan tétel, Gibbs jelenség. Folytonos függvények Fourier sorai: Fejér példája olyan folytonos függvényre, amelynek Fourier sora nem konvergens, Weierstrass függvények, Lipschitz osztályok, Zygmund osztály. A Fejér tétel és következményei, a Hardy-Littlewood tétel, Riesz Marcel tétele. Kolmogorov példája olyan integrálható függvényre, amelynek Fourier sora majdnem mindenütt divergens. , ajánlott: 20, 69
3200 Hilbert terek, Banach terek és operátoraik I 2+0 Hilbert terek geometriája, dimenziója. A spektráltétel kompakt normális operátorokra. Banach terek geometriája, faktorterek, szorzatterek. Duális tér, reflexivitás. A Hahn-Banach-féle kiterjesztési tétel és következményei, Banach limesz, Runge tétele. A nyílt leképezések tétele és a zárt gráf tétel. A Banach-Steinhaus tétel. Lokálisan konvex topológikus vektorterek. A metrizálhatóság és normálhatóság feltételei. A Hahn-Banach-féle szétválasztási tételek. Gyenge topológiák. Alaoglu tétele, a reflexivitás jellemzése. A Krein-Milman és Krein-Smulian tételek. Korlátos lineáris operátorok Banach terekben, adjungálás. Kompakt operátorok, valódi invariáns altér létezése. 13 , ajánlott: 10, 14, 18, 26, 34, 51, 57, 59
3201 Hilbert terek, Banach terek és operátoraik II 2+1 Banach algebrák, spectrum, spektrálsugár. Analitikus függvényekkel értelmezett függvénykalkulus. Korlátos lineáris operátor spektruma. A kompakt operátorok Riesz-féle spektrálelmélete. Kommutatív Banach algebrák, Gelfand transzformáció. C*-algebrák. Folytonos függvényekkel értelmezett függvénykalkulus normális elemekre. Pozitív elemek. C*-algebrák operátoralgebraként való reprezentációja, a Gelfand-Naimark-Segal-féle konstrukció. Hilbert tér korlátos, normális operátorainak spektrális felbontása. Függvénymodell és korlátos mérhető függvényekkel értelmezett függvénykalkulus normális operátorokra. Kommutatív Neumann algebrák. A normális operátorok osztályozása, multiplicitáselmélet. Nem-korlátos operátorok Hilbert tereken. Szimmetrikus és önadjungált operátorok, a Cayley transzformáció. A spektráltétel nem-korlátos normális operátorokra. Egyparaméteres unitér csoportok, Stone tétele. Fredholm operátorok, a Fredholm index. Operátor lényeges spektruma.
3202 Hilbert térbeli kontrakciók I 2+1 Izometriák Wold-féle felbontása. Szőkefalvi-Nagy Béla dilatációs tétele egy kontrakcióra. Dilatációs tételek felcserélhető kontrakciók rendszereire. Unitér r-dilatációk. A minimális unitér dilatáció szerkezete, reziduális és *-reziduális rész. A kommutáns dilatációja, "lifting" tételek. Az iteráltak aszimptotikus viselkedése szerinti triangularizáció. Kvázihasonlóság, hyperinvariáns alterek, a C11 kontrakcióosztály. A minimális unitér dilatáció spektrális tulajdonságai. A Hardy-féle HĽ függvényosztály elemeivel értelmezett függvénykalkulus. A C0 kontrakcióosztály, a minimálfüggvény és a spektrum kapcsolata, hyperinvariáns alterek. Kvázihasonlósági modell C0-kontrakciókra, reflexivitás.
3203 Hilbert térbeli kontrakciók II 2+1 Operátor-értékű analitikus függvények. Belső és külső függvények, faktorizációs tételek. Skaláris többszörös. Kontrakció karakterisztikus függvénye. Kontrakciók unitér ekvivalens függvénymodellje. A karakterisztikus függvény és a spektrum kapcsolata. Kontrakció invariáns altereinek jellemzése a karakterisztikus függvény reguláris faktorizációival. C11-kontrakciók invariáns alterei. Gyenge kontrakciók. 71 , ajánlott: 9, 23, 31
3204 Erős szummáció és approximáció I 2+1 Hardy-Littlewood tétel, Marcinkiewicz és Zygmund tételei. Alexits problémája és társszerzős eredményei, erős approximáció nagyságrendje. Függvények strukturális tulajdonságai, amelyek az erős approximáció nagyságrendjéből adódnak. Erős és legjobb approximáció kapcsolata. Függvényosztályok és Fourier sorokkal való approximáció. Nagyon erős és kevert approximáció.
3205 Erős szummáció és approximáció II 2+1 Ortogonális sorok erős szummációja. Ortogonális sorokkal való erős approximáció, extra erős approximáció, erős approximáció nagy kitevőkkel. Ortogonális sorok erős és nagyon erős szummációja és approximációja speciális összegzési módszerekkel (pl. Abel, Cesàro, Euler, Hausdorff). Határesetek az erős approximációban. Kapcsolat a rendes és erős approximáció között ortogonális sorok esetén. 41, 43 , ajánlott: 61, 79
3206 Ortogonális sorok I 2+0 Az L2-tér, ortogonális rendszer, Bessel egyenlőtlenség, Riesz-Fischer tétel, teljes ortogonális rendszer, Parseval képlet. Ortogonális polinomok és Gauss típusú kvadraturák, Christoffel-Darboux képlet, Jacobi-, Csebisev- és Legendre polinomok, Rodrigues képlet. A Haar rendszer, sorfejtés egyenletes és m.m. konvergenciája, Haar-Lebesgue függvények. A Rademacher- és Walsh rendszer, Walsh-Dirichlet magfüggvény, sorfejtés m.m. konvergenciája és szummálhatósága, diadikus derivált. Diadikus Hardy-, BMO- és VMO-tér. Ortogonális sorok m.m. konvergenciája: Rademacher-Mensov tétel, Tandori tétele, a Mensov-Kaczmarz függvények. A Lebesgue függvények szerepe ortogonális sorok konvergenciájának vizsgálatában. Ortogonális sorok feltétel nélküli konvergenciája: Orlicz és Tandori tételei.
3207 Ortogonális sorok II 2+0 Reguláris szummációs módszerek, Toeplitz tétele. Cesaro-, de la Vallée-Poussin-, Riesz- és Abel-Poisson szummáció. Kronecker lemma, Fejér-, Hardy- és Zygmund Tauber típusú tételei. Cesaro szummálhatóság és részsorozatok konvergenciájának összefüggése: Kolmogorov, Kaczmarz és Zygmund tételei. Mensov-Kaczmarz tétel. Erős- és nagyon erős szummálhatóság. Abszolut konvergencia és abszolut szummálhatóság. Banach-Steinhaus rezonanciatételek. Szinguláris integrálok konvergenciája: Lebesgue, Faddejev és Tandori tételei. 3 , ajánlott: 36, 33
3208 Trigonometrikus sorok I 2+0 A trigonometrikus rendszer teljessége. L1-beli függvény Fourier-sora és konjugált sora, (C,1)- és Abel-szummálhatósága m.m. Függvényosztályok jellemzése Fourier-soruk (C,1)- és Abel-közepeivel, Helly kiválasztási tétele. Multiplikátorok Fourier sorok osztályaira. Speciális trigonometrikus sorok: Kolmogorov-, Young- és Lorentz tételei. A ĺ(coskx)/ka és ĺ(sinkx)/ka sorok összegének aszimptotikus viselkedése. Riesz-szorzatok. Trigonometrikus sorok abszolut konvergenciája: Denjoy-Lusin tétele, N-halmazok. Fourier sorok abszolut konvergenciája: Bernstein-, Wiener- és Lévy tételei. Lakunáris sorok abszolut konvergenciája.
3209 Trigonometrikus sorok II 2+0 Trigonometrikus sorok Riemann elmélete. Cantor-Lebesgue tétel, H-típusú halmazok. Riemann szummációs módszere és tételei, Lebesgue szummációs módszere és tételei. Trigonometrikus sorokkal való előállítás unicitása. Trigonometrikus sorok formális szorzása, lokalizáció-tételek. U- és M-halmazok. Monoton csökkenő együtthatókkal képezett trigonometrikus sor összegfüggvényének Lp-integrálhatóságára vonatkozó tétel és ennek duálisa. Trigonometrikus sor konjugált sorának m.m. konvergenciája. 79 , ajánlott: 4, 69
3210 Egyenlőtlenségek, numerikus approximáció 2+1 Klasszikus és új egyenlőtlenségek sorokra és integrálokra, Hardy-Littlewood- típusú egyenlőtlenségek, Coopson-egyenlőtlenségek, G. Bennett egyenlőtlenségei, Bizonyos fordított Hölder egyenlőtlenségek sorokra és integrálokra, Bernoulli- típusú egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek blokkokkal és általánosított "kitevőkkel", Numerikus approximációs módszerek. 6, 27 , ajánlott: 8, 25, 75, 79
3211 Fourier sorok II 2+0 Disztribúció fogalma, disztribúció Fourier sora, Fourier transzformált, Fourier integrál. Strukturális- és együttható feltételek Fourier sorokra: Leindler és Uljanov ekvivalencia tételei. Fourier sorok erős konvergenciája: Móricz, Tanovic-Miller és Szalay eredményei. Fourier sorok abszolút Cesaro szummálhatósága. Abszolut- és erősen konvergens Fourier sorok Banach terei. Kettős Fourier sorok. , ajánlott: 20, 69
3212 Fourier integrálok I 2+0 L1-beli függvény Fourier transzformációja. A Fourier integrál (C, a, > 0)-, Abel- és Gauss-Weierstrass szummálhatósága, unicitás és az inverziós képlet. L2-beli függvény Fourier transzformációja. Hermite polinomok, Plancherel tétele. A Fourier integrál szummálhatósága. Lp-beli függvény Fourier transzformációja 1 < p < 2 esetén, Hausdorff-Young egyenlőtlenség, konvolúció-tétel. Disztribúció Fourier transzformációja.
3213 Fourier integrálok II 2+0 Mérhető függvény eloszlásfüggvénye és monoton csökkenő átrendezése, Hardy-Littlewood maximál operátor és tétel. L1-beli függvény Calderón-Zygmund felbontása. Lineáris operátorok interpolációja: M. Riesz-Thorin tétel és Marcinkiewicz tétele. Lp-beli függvény Hilbert transzformáltjának egzisztenciája és tulajdonságai: Kolmogorov és M. Riesz tételei. Marcinkiewicz multiplikátor tétele. 64, 73 , ajánlott: 69, 79
3214 Komplex harmonikus analízis I 3+0 Harmonikus függvény holomorf kiegészítése. A Hp- és hp-terek a komplex egységkörlapon, jellemzésük Poisson integrállal, Helly kiválasztási tétele, Fatou tétele a peremfüggvény egzisztenciájáról. A Jensen- és Poisson-Jensen képletek, holomorf függvény zérushelyeinek eloszlása, Blaschke szorzat, F. Riesz és Nevanlinna faktorizációs tételei, a peremfüggvényben való konvergencia Lp-normában. A Riesz-fivérek tétele és ekvivalens átfogalmazásai.
3215 Komplex harmonikus analízis II 3+0 A Nevanlinna N osztály és a Hp-tér jellemzése Poisson integrállal p ł 1 esetén. Kanonikus faktorizáció a Hp-térben és az N osztályban. Hardy és Paley egyenlőtlenségei. Az N+ osztály jellemzése. A határon folytonos holomorf függvények tere (az ún. diszk-algebra). hp-beli függvény harmonikus konjugáltja és tulajdonságai. A Hp- és hp-terek a komplex felső félsíkon, a Hilbert transzformált egzisztenciája és tulajdonságai. 19, 24 , ajánlott: 38, 79
3216 Valós harmonikus analízis I 3+0 L1-beli függvény Calderón-Zygmund felbontása, mérhető függvény monoton csökkenő átrendezése, a Hardy-Littlewood maximál operátor és tétel. Lineáris operátorok interpolációja: az M.Riesz-Thorin tétel és Marcinkiewicz tétele. Lp-beli függvény Fourier együtthatói: a Hausdorff-Young tétel és Paley tétele. Zygmund Lln+L és expL osztályai. Banach folytonossági elve és Stein tétele.
3217 Valós harmonikus analízis II 3+0 L2-beli függvény és karakterisztikus függvény Hilbert transzformáltja. A maximál Hilbert operátor, Lp-beli függvény Hilbert transzformáltjának egzisztenciája és tulajdonságai: Kolmogorov és M. Riesz tételei. LĽ-beli függvény módosított Hilbert transzformáltja. A BMO- és VMO-tér, John-Nirenberg egyenlőtlenség. A Hardy-Littlewood maximál függvény és a Hilbert transzformált viselkedése a BMO-térben. A valós- és a komplex H1-tér ekvivalenciája, atomos felbontás, Peetre K-funkcionálja, Feffermann dualitási tétele. 7, 24 , ajánlott: 38, 63, 74
3218 Numerikus analízis 3+0 A sajátérték feladat: mátrixok ortogonális triangularizációja és hasonlósági transzformációja felső Hessenberg alakra. Az LR algoritmus és módosítása, a QR algoritmus: konvergencia és műveletigény. Az inverz hatványiteráció. A Moore-Penrose általánosított inverz mátrix: számítása rang-faktorizációval, particionálással és ortogonális triangularizációval. Lineáris egyenletrendszerek vizsgálata az együtthatómátrix általánosított inverzének segítségével: a normál megoldás egzisztenciája és unicitása. Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldása: Sturm módszere polinomok összes valós gyökének közelítésére. Lehmer-Schur módszere polinomok összes komplex gyökének közelítésére. A többváltozós Newton-Raphson módszer. Bairstow módszere. Kontrakciós operátorok Caccioppoli-Banach fixpont tétele. Függvények feltétel nélküli minimalizálása: Lejtő módszerek. Vonalmenti minimum keresése, aranymetszés. Lineáris egyenletrendszerek megoldása gradiens módszerrel és konjugált gradiens módszerrel. Függvények közelítései: interpoláció algebrai polinomokkal, trigonometrikus polinomokkal és köbös spline-okkal. Periodikus függvények közelítése a legkisebb négyzetek módszerével. Gyors Fourier transzformáció. Kvadratúra formulák: Romberg integrálási módszere. 47 , ajánlott: 65, 77
3219 Ortogonális polinomok I 3+1 Mértékek és ortogonális rendszerek; ortogonális polinomok; rekurziós együtthatók; differenciálegyenletek; zéróhelyek; Gauss kvadratúra; generátor függvények; klasszikus ortogonális polinomok; ortogonális polinomok a körön és kapcsolatuk valós polinomokkal; Szegő elmélet. 22, 68 , ajánlott: 62
3220 Ortogonális polinomok II 2+0 A potenciálelmélet alapjai; általános ortogonális polinomok; n-gyök aszimptotikák; reguláris mértékek és jellemzéseik; Freud polinomok; ortogonális polinomok nem korlátos rekurziós együtthatókkal. 62 , ajánlott: 22, 68
3221-3222 Fejezetek az approximációelméletből I-II 2+1 Approximáció operátorokkal; polinom approximáció; Müntz témakör; legjobb megközelítések; unicitás; egyoldalú approximáció; súlyozott approximáció; változó súlyokkal történő approximáció; spline-ok; többváltozós problémák; radiális függvények; waveletek; diadikus analízis; szignál analízis; konvolúciós eljárások; nemlineáris approximáció; interpoláció; kvadratúrák; lánctörtek; momentum problémák. 16, 44 , ajánlott: 1, 2, 11, 17, 45, 49, 52, 66, 72
3223 Racionális és komplex approximáció 2+0 Polinomok a komplex síkon, Bernstein és Mergelian tételei; racionális függvények a komplex síkon, Runge tétel; Padé approximáció, Gonchar és Nuttall tételei; valós racionális approximáció és kapcsolata spline-approximációval; Pekarskii tételei; interpoláció. Waveletek, Schander bázisok korlátos fokszámmal. 52 , ajánlott: 43, 44, 58
3224 Operátor-approximáció 2+0 Pozitív operátorok; K-funkcionálok, j-modulusok; a direkt approximáció tételei; inverz tételek; szaturáció; operátorok kombinációi; többváltozós operátorok; erős inverz tétel Bernstein polinomokra. 16 , ajánlott: 17, 43, 44
3225 Polinom-approximáció 2+0 Trigonometrikus polinomok; Nikolskii témakör; Dzjadik inverz tételei; legjobb algebrai polinom-approximáció karakterizációja a j-modulus segítségével; diszkrét operátorok; potenciálelmélet és polinomok; változó súlyokkal történő approximáció; ortogonális polinomok és súlyozott polinomapproximáció; Müntz témakör és általánosításai. 17, 44, 72 , ajánlott: 1, 43, 49
3226 Fraktálok és waveletek 2+1 Iterált rendszerek és limeszeik; törtdimenzió; fraktálok; reprezentáció; ortogonális rendszerek és Haar rendszer; waveletek, Daubechie konstrukciója; multirezolúciós analízis; képösszenyomás; nemlineáris approximáció, Schander bázisok. 5, 78 , ajánlott: 12
3227 Speciális függvények 3+0 Ortogonális polinomok és lánctörtek; hipergeometrikus függvények; differenciálegyenletek; generátorfüggvények; zéróhelyek; addíciós képletek; ortogonális polinomok aszimptotikája; q-sorok és speciális függvények; diszkrét ortogonális polinomok; gyökrendszerek; kombinatorika. 68 , ajánlott: 22
3228 Potenciálelmélet és alkalmazásai 2+0 Logaritmikus potenciálok; szuperharmonikus függvények; Riesz reprezentációs tétel; elvek; egyensúlyi mértékek és potenciálok; potenciálok külső térben; Riesz potenciálok; alkalmazások. 55, 60 , ajánlott: 29, 76
3229 Az analízis alapvető fogalmainak különféle bevezetése 2+0 A középiskolákban és egyetemeken használatos tankönyvekben szereplő, a klasszikus analízisbe tartozó anyag felépítése. Az analízis formális, a határérték szemléletes fogalmára épülő felépítése középiskolák számára. Az exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények. Hatványsorok szerepe. Az analízis fogalmainak történeti fejlődése. 35, 37, 50, 56, 67
3230 Az analízis néhány érdekes problémája, és ezek tanítás során történő feldolgozása 2+0 Elsősorban olyan kérdéskörök tárgyalására kerül sor, amelyek a differenciálás, integrálás, a sorozatok és a végtelen sorok elméletével vannak szoros kapcsolatban. A fő eszközök: numerikus sorok, hatványsorok, trigonometrikus sorok, általános függvénysorok. A fő problémák közül néhány:

    - Az e, p többféle sor-előállítása, irracionalitása, ill. transzcendens volta;
    - ĺĽn=1[1/(n2)]=[(p)/6] többféle bizonyítása
    - ĺĽn=1[1/(n3)] irracionalitása
    - Példák és ellenpéldák a függvénysorok témaköréből (integrálhatóság, folytonosság, differenciálhatóság).
    - Példák mindenütt folytonos és sehol sem differenciálható függvényre (Riemann próbálkozásai; Weierstrass példája, stb.).
A tárgyalás módszere kiterjed arra, hogy a fenti problémák hogyan építhetők be az oktatásba (egyetemen, matematika tagozatos középiskolai osztályban, matematika szakkörökön).
15, 21, 28, 35, 42, 46, 53, 54, 67, 69
231-232 Közönséges differenciálegyenletek I-II 2+0, 2+0 Differenciálegyenletek sokaságokon. Egzisztencia- és unicitástételek. Differenciálegyenletek végtelen dimenziós terekben. Lineáris rendszerek. Infinitezimális generátor. Integrálsokaságok. Linearizálás, Hartman-Grobman-tétel. Perturbációelmélet. Nem-autonóm rendszerek. Periodikus és majdnem periodikus egyenletek. A közepelés módszere. Peremértékproblémák. Sturm-Liouville-elmélet. Másodrendű egyenletek, oszcilláció. Határhalmazok, határciklusok. Poincaré-Bendixson-tétel. Stabilitás, Ljapunov-módszer. Invariancia-elv. Elsőrendű parciális differenciálegyenletek. Hamilton-Jacobi-elmélet. V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992. J. K. Hale, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, 1969. , ajánlott: D. V. Anosov, V. I. Arnold, Dynamical Systems I, Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1991. C. Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer, 1999. Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, 1982. M. A. Naimark, Linear Differential operators, Nauka, 1969 (in Russian). V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954. J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1982. V. A. Pliss, Integral Manifolds of Periodic Systems of Differential Equations, Nauka, 1977 (in Russian).
233 Parciális differenciálegyenletek I 2+0 Disztribuciók. Szoboljev terek. Disztribuciók Fourier-transzformációja. Parciális differenciálegyenletek fundamentális megoldásai. Parciális differenciáloperátorok. Klasszikus és általánosított megoldások. Hipoelliptikus differenciáloperátorok. Korrekt kitűzésű feladatok féltérben lineáris parciális differenciálegyenlet-rendszerre. Elliptikus, hiperbolikus, parabolikus parciális differenciálegyenletekre kitűzött peremérték- ill. vegyes feladatok egzisztencia-, unicitás-, stabilitásvizsgálata Szoboljev-terekben. V. Sz. Vlagyimirov, Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, 1979. L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 20, AMS, Providence, Rhode Island, 1998. , ajánlott: J. K. Hale, Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, AMS, 1986. O. A. Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer- Verlag, 1985. I. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1986.
234-235 Dinamikus rendszerek I-II 2+0, 2+0 Invariáns sokaságok létezése, simasága. Viselkedés fixpont és periodikus pálya környezetében. Linearizálás. Orbitális stabilitás. Poincaré-leképezések. Átlagolás. Limeszhalmazok. Aszimptotikusan sima leképezések és félcsoportok. a-kontraktív félcsoportok. Invariáns halmazok stabilitása. Disszipativitás. Globális attraktorok. Fixpont tételek. Morse-Smale leképezések. A globális attraktor dimenziója. Periodikus folyamatok. Gradiens rendszerek. Példák: retardált differenciálegyenletek, neutrális differenciálegyenletek, parabolikus és hiperbolikus parciális differenciálegyenletek. M. Hirsch and S. Smale, Differential Equations, Dynamic Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974. J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems: an Introduction, Springer- Verlag, 1982. , ajánlott: J. Guckenheimer and P.J. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1983. J. Hale, L. Magalhaes, W. Oliva, An Introduction to Infinite Dimensional Dynamical Systems - Geometric Theory, Springer-Verlag, 1984. J. Hale, Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, AMS, 1986. D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer-Verlag, 1981. M. Hirsch, C. Pugh, M. Shub, Invariant Manifolds, Springer-Verlag, 1977. V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954. H. L. Smith, Monotone Dynamical Systems, AMS, 1995. R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, 1997.
3300-3301 Funkcionál-differenciálegyenletek I-II 2+0, 2+0 A fázistér, trajektóriák és a megoldások absztrakt elmélete. Egzisztencia- és unicitás-tételek. A kezdeti adatoktól való folytonos függés. A közönséges egyenletek körében szokatlan jelenségek. A megoldások folytathatósága, kompaktsága. Lineáris funkcionál-differenciálegyenletek. Oszcillációs kérdések első és másodrendű egyenletekre. Stabilitás. Integro-differenciálegyenletek. Neutrális egyenletek. Autonóm egyenletek geometriai elmélete. Periodikus megoldások létezése. Biológiai, mechanikai és egyéb alkalmazások. J. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, 1977. , ajánlott: T. A. Burton, Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations, Academic Press, 1985. O. Dickmann, S. A. Van Gils, S. M. Verduyn Lunel, H.-O. Walter, Delay Equations, Springer, 1995. G. Gripenberg, S.-O. Londen, O. Staffans, Volterra Integral and Functional Equations, Cambridge University Press, 1990. I. Győri, G. Ladas, Oscillation Theory of Delay Differential Equations, Carendon Press, 1991. Y. Hino, S. Murakami, T. Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Springer-Verlag, 1991. V. B. Kolmanovskii, V.R. Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, 1986. T. Krisztin, H.-O. Walter, J. Wu, Shape, Smoothness and Invariant Stratification of an Attracting Set for Delayed Monotone Positive Feedback, AMS, 1999. S. H. Saperstone, Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Spaces, Springer-Verlag, 1981.
3302 Parciális differenciálegyenletek II 2+0 Integrálegyenletek. A Fredholm-alternativa Hilbert-térben. Potenciálelmélet. Elliptikus, hiperbolikus, parabolikus (változó együtthatós) parciális differenciálegyenletek speciális kérdései: egzisztencia, unicitás, stabilitás; kis és nagy-paraméteres egyenletek aszimptotikus megoldásai. Pszeudo-differenciáloperátorok, Fourier-integráloperátorok. Szingularitások terjedése. A nemlineáris parciális differenciálegyenletek elméletének alapjai. L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 20, AMS, Providence, Rhode Island, 1998. A. Haraux, Nonlinear Evolution Equations-Global Behavior of Solutions, Springer-Verlag, 1981. M. H. Holmes, Introduction to Perturbation Methods, Springer, 1995. , ajánlott: S. G. Krein, Linear Differential Equations in Banach Spaces, Nauka, 1967 (in Russian). L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, I-IV, Springer-Verlag, 1983-85. S. A. Lomov, Introduction to the Theory of Singular Perturbations, Nauka, 1981 (in Russian). B. R. Vainberg, Asymptotic Methods of the Equations of Mathematical Physics, Moscow State Univ., 1982 (in Russian).
3303-3304 Stabilitáselmélet I-II 2+0, 2+0 Ljapunov-féle stabilitás és aszimptotikus stabilitás. Lineáris rendszerek stabilitása. Ljapunov- kitevők, spektrum. Szabályos rendszerek. Stabilitás első közelítés alapján; kritikus esetek. Bifurkációk. Dichotómia. Ljapunov direkt módszere. Invariancia-elv autonóm rendszerekre. Barbasin-Kraszovszkij-tételek és alkalmazásaik. Nem-autonóm rendszerek; lokalizációs tételek a határhalmazokra. Periodikus megoldás stabilitása autonóm és nem-autonóm rendszerekben; Poincaré-leképezések. Egyensúlyi helyzet és stacionárius mozgás stabilitása a mechanikában. Parciális stabilitás. Strukturális stabilitás. Lokális strukturális stabilitás. Invariáns sokaságok, transzverzalitás. Generikus tulajdonságok. Hiperbolikus zárt trajektóriák, Kupka-Smale-tétel. Morse-Smale típusú vektormezők. Az első prolongáció és prolongált határhalmazok. Visszatérési tulajdonságok (Poisson-stabilitás, nem-vándorló pontok, Lagrange-stabilitás). Diszperziós tulajdonságok, párhuzamosíthatóság. N. P. Bhatia, G. P. Szegő, Stability Theory of Dynamical Systems, Springer, 1970. N. Rouche, P. Habets, M. Laloy, Stability Theory by Liapunov's Direct Method, Springer- Verlag, 1977. N. Rouche, P. Habets, M. Laloy, Stability Theory by Liapunov's Direct Method, Springer- Verlag, 1977. T. Yoshizawa, Stability Theory by Lyapunov's Second. Method, Math. Soc. Japan, 1966. , ajánlott: B. F. Bylov, R. E. Vinograd, D. M. Grobman, V. V. Nemytskii, Theory of Lyapunov Exponents, Nauka, 1966 (in Russian). W. A. Coppel, Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D.C. Heath and Company, 1965. Ju. L. Daletskii, M. G. Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Nauka, 1970 (in Russian). B. P. Demidovich, Lectures on Mathematical Theory of Stability, Nauka, 1967 (in Russian). V. B. Kolmanovskii, V. R. Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, 1986. N. N. Krasovskii, Stability of Motion, Stanford University Press, 1963. V. Lakshmikantham, S. Leela, Differential and Integral Inequalities, I-II, Academic Press, 1969. J. P. LaSalle, The Stability of Dynamical Systems, SIAM, 1976.
3305-3306 Bifurkációelmélet, káosz I-II 2+0, 2+0 Lokális bifurkációk: központi sokaságok, normál-formák, fixpontok 1-kodimenziós bifurkációi, leképezések és periodikus pályák 1-kodimenziós bifurkációi. Poincaré-leképezések. Átlagolás. Melnyikov módszere: kétdimenziós homoklinikus pályák perturbációi, szubharmonikus pályák és Hamilton-rendszerek perturbációi. A Smale-féle patkó. Szimbolikus dinamika. A Conley-Moser-feltételek. Globális bifurkációk: homoklinikus bifurkációk, 2-kodimenziós lokális bifurkációkból adódó globális bifurkációk. Ljapunov kitevők. Káosz. Globális attraktorok. V. I. Arnold, A differenciálegyenletek elméletének geometriai fejezetei, Műszaki Könyvkiadó, 1988. J. Guckenheimer, P. J. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1983. , ajánlott: S.-N. Chow, J. K. Hale, Methods of Bifurcation Theory, Springer-Verlag, 1982. J. K. Hale, H. Kocak, Dynamics and Bifurcation, Springer, 1991. G. Ioss, D. D. Joseph, Elementary Stability and Bifurcation Theory, Springer, 1980. Yu. A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag, 1998. S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer- Verlag, 1990. S. Wiggins, Global Bifurcations and Chaos, Springer-Verlag, 1988.
3307 Bevezetés az irányításelméletbe 2+0 Az irányításelmélet alapfeladatának matematikai megfogalmazása. A variációszámítással való összefüggés. Lineáris optimálisirányítás-elmélet. Egzisztencia-tételek konvexségi feltételekkel. A maximum-elv lineáris egyenletekre. Az optimális irányítás létezése nem- konvex esetben. Maximum elv a nem lineáris esetre. Másodrendű rendszerekre való alkalmazás. Optimális szabályozás Kraszovszkij módszerével. Alkalmazások. Szimmetrikus rakéták optimális szabályozásáról. Adaptív rendszerek. E. B. Lee, L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Wiley, 1966. , ajánlott: L. D. Berkovitz, Optimal Control Theory, Springer-Verlag, 1974. V. N. Fomin, A. L. Fradkov, B. A. Yakubovich, Adaptive Control of Dynamical Objects, Nauka, 1981. J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, 1972.
3308 Differenciálegyenletek alkalmazásai 2+0 Mechanikai alkalmazások. Szputnyik, pörgettyű stabilitása. Rezgések ellenálló közegben. Giroszkópok, egyvágányú vasút. Változó fonalhosszúságú inga. Paraméterrezonancia. Elektromos áramkörök dinamikája. Betatron stabilitása. Folyadékot tartalmazó üreges testek mozgása, stabilitása. A szökőár modellje, haladó hullámok. Problémák a kémiai reakciókinetikából. Hőreaktorok, nukleáris reaktorok. Reakció-diffúzió-egyenletek. Biológiai oszcillátorok. Immunológiai modellek. Populációdinamika. Kompetitív és kooperatív együttélés. Járványterjedés; az AIDS modelljei. Folyók szennyeződése. Közlekedési modellek. Automatikus irányítás, feedback. Regulátorok stabilitása. Pilóta-automata. Közgazdasági alkalmazások. A makrogazdaság Leontief-féle modellje. Hicks és Samuelson elmélete az egyensúly stabilitásáról. , ajánlott: V. I. Arnold, Az elméleti mechanika matematikai alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1989. E. Beltrami, Mathematics for Dynamic Modeling, Academic Press, 1987. M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer- Verlag, 1975. Differential Equation Models, Edited by M. Braun, C.S. Coleman D.A. Drew, Springer- Verlag, 1978. T. P. Dreyer, Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993. A. Friedman, Mathematics in Industrial Problems, Vol. 10, Springer, 1998. Life Science Models, Edited by H. Marcus-Roberts, M. Thompson, Springer-Verlag, 1976. Modules in Applied Mathematics, Edited by W.F. Lucas, Springer-Verlag, 1976. J. D. Murray, Lectures on Nonlinear-Differential-Equation Models in Biology, Cherendon Press, 1977.
3309 Differenciálegyenletek numerikus módszerei 3+0 Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték feladata: fokozatos közelítések módszere, egzisztencia tételek, Taylor sor módszer. Egylépéses módszerek: képlethiba, pontossági rend, konzisztencia és konvergencia. A képlethiba becslése. Runge-Kutta módszerek. Lineáris differenciaegyenletek: homogén differenciaegyenlet általános megoldása. A megoldások stabilitása. Inhomogén differenciaegyenlet partikuláris megoldása. Lineáris többlépéses módszerek: képlethiba, pontossági rend, konzisztencia, stabilitás és konvergencia. Adams formulái, Störmer formulái, kvadratúraformulákból levezetett formulák. Prediktor-korrektor módszerek. Mátrixelméleti előismeretek: irreducibilis és gyengén diagonális mátrixok, pozitív és monoton mátrixok. Iterációs módszerek nagyméretű lineáris egyenletrendszerek megoldására: JOR és SOR. Közönséges differenciálegyenletek peremérték feladata: visszavezetés kezdetiérték feladatra, a célzás módszere. A véges differenciák módszere, hibaanalízis. Parciális differenciálegyenletek: a matematikai fizika elliptikus, hiperbolikus és parabolikus egyenletei. A véges differenciák módszere, a Ritz-Galerkin variációs módszer. Móricz Ferenc: Differenciálegyenletek numerikus módszerei , ajánlott: J.D. Lambert: Computational methods in ordinary differential equations J.D. Lambert: Numerical methods for ordinary differential systems J. Stoer and R. Bulirsch: Introduction to numerical analysis
3310 Differenciaegyenletek 2+0 Differencia-kalkulus. Egzisztencia- és unicitástételek. Lineáris egyenletrendszerek (generátorfüggvény, Bernoulli-módszer, Poincaré és Perron tételei). Stabilitás. Ljapunov-módszer. Összehasonlítási tételek. Oszcilláció. Riccati-típusú problémák. Differenciaegyenletek a populációdinamikában, közgazdaságtanban. S. N. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer, 1996. S. Goldberg, Introduction to Difference Equations, Dover Publications, 1958. , ajánlott: R. Agarwal, Differential Equations and Inequalities, Marcel Dekker, 1992. W. G. Kelley, A. C. Peterson, Difference Equations, Academic Press, 1991.
3311 Differenciál- és integrálegyenlőtlenségek 2+0 Középértékek, nevezetes egyenlőtlenségek (Cauchy, Hölder, Jensen, stb.) és ezek néhány alkalmazása. A Gronwall-Bellman-egyenlőtlenség és általánosításai (Bihari-egyenlőtlenség, többváltozós eset, diszkrét eset, Stieltjes-integrálra vonatkozó egyenlőtlenségek), valamint ezek néhány alkalmazásának bemutatása a közönséges, a funkcionál- és a parciális differenciálegyenletekből, továbbá az integrálegyenletekből vett példákon. Néhány összehasonlítási tétel közönséges, funkcionál- és parciális differenciálegyenletekre. V. Lakshmikantham, S. Leela, Differential and Integral Inequalities I- II, Academic Press, 1969. , ajánlott: R. Agarwal, Differential Equations and Inequalities, Marcel Dekker, 1992. E. F. Beckenbach, R. Bellman, Inequalities, Springer-Verlag, 1961. G. H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, 1934. W. Walter, Differential and Integral Inequalities, Springer-Verlag, 1970.
3312 Klasszikus mechanika 2+0 A Hamilton-féle variációs elv. Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet. Lagrange-féle mechanika sokaságokon. Rezgések. Merev test. A Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek. A Poincaré-Cartan-féle invariáns integrál. Hamilton-Jacobi- elmélet. Az égi mechanika problémái. V. I. Arnold, Az elméleti mechanika matematikai alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1989. , ajánlott: V. I. Arnold, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Springer, 1997. F. Gantmacher, Lectures in Analytical Mechanics, Mir, 1975. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Press, Inc., 1975. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mechanics, Nauka, 1973 (in Russian). D. R. Merkin, Introduction to the Theory of Stability, Springer, 1987.
3313 Függvények és dinamikus rendszerek vizsgálatának számítógépes módszerei 2+0 Számítógépalgebrai alapismeretek: szimbolikus, numerikus műveletek, 2D, 3D ábrázolások, a számítógépes vizualizáció alapjai. Kalkulus számítógépen, Taylor féle sorfejtések. Listák, adatsorok, görbeillesztési feladatok. Lineáris algebra, koordinátageometria, vektoranalízis számítógépen. Fourier sorok, Fourier transzformáció, Laplace transzformáció és alkalmazásaik. Matematikai algoritmusok programozása, leképezések, iterációk, rekurziók: Newton iteráció, fixpontkeresés, differenciaegyenletek vizsgálata, bifurkációs diagramok készítése. Közönséges differenciálegyenletek, rendszerek vizsgálata számítógéppel: vektormezők, megoldások, trajektoriák vizsgálata, ábrázolása. Differenciálegyenletek szimbolikus és numerikus megoldása, a Fourier és a Laplace transzformáció alkalmazásával. Egyensúlyi helyzetek tulajdonságai, stabilitási vizsgálatok, Ljapunov függvények, linearizáció, a fázisleképezés vizsgálata. Alkalmazások: kísérletek szimulációk egyszerű populációdinamikai és epidemiológiai modellekkel, mechanikai, biológiai stb. rezgő rendszerekkel, a csillapítás és a külső gerjesztés hatásának vizsgálata. A Dirac féle delta függvényt tartalmazó differenciálegyenletek vizsgálata, impulzív rendszerek. Késleltetett rendszerek számítógépes vizsgálata. Parciális differenciálegyenletek megoldása számítógépen Fourier módszerrel. Szoftverek:Mathematica, Maple, ODE Architect <KICSI> T. P. Dreyer, Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993. Szili L., Tóth J., Matematika és Mathematica, Eötvös Kiadó, 1996. D. Kaplan, L. Glass, Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 1995. Karsai J., An Introduction to Computer-Aided Mathematical Modeling, Mathematica Projects to Solve Simple Modeling Problems (CD-ROM) H. E. Nusse, J. A. Yorke, DYNAMICS: Numerical explorations, Springer, 1998. , ajánlott: E. Beltrami, Mathematics for Dynamic Modeling, Academic Press, 1998. B. Davis, H. Porta, J. Uhl, Calculus & Mathematica, Addison-Wesley, 1994. V. G. Ghanza, E. V. Vorozhtsov: Numerical Solutions for Partial Differential Equations. Problem Solving Using Mathematica, CRC Press, 1996. R. J. Gaylord, P. R. Wellin, Computer Simulations with Mathematica, Telos-Springer, 1995. F. R. Giordano, M. D. Weir, W. P. Fox, A First Course in Mathematical Modeling, Brooks/Cole Publishing Company, 1997. F. C. Hoppensteadt, C. S. Peskin, Mathematics in Medicine and the Life Sciences, Springer- Verlag, 1992. M. L. de Jong, Mathematica For Calculus-Based Physics, Addison-Wesley, 1999. Klincsik M., Maróti Gy., Maple 8 tételben, Novadat Kiadó, 1995. Leah Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, Mc Graw Hill R. E. Maeder, The Mathematica Programmer I-II, Academic Press, 1996. M. M. Meerrschaert, Mathematical Modelling, Academic Press, 1999. R. Mickens, Oscillation in Planar Dynamic Systems, Word Scientific, 1994. D. J. Murray, Mathematical Biology, Springer, 1997. S. Wolfram, Mathematica, A System for Doing Mathematics by Computer, Addison-Wesley Publishing Company, 1991. D. G. Zill, Differential Equations with Computer Lab Experiments, Brooks/Cole Publishing Company, 1998.
13 Topológia 2+0 Topológikus tér. Kompakt és lokálisan kompakt terek. Egységfelbontás létezése. Topológikus sokaság. Homotópia és szimpliciális komplexusok. A fundamentális csoport. A 2-dimenziós triangulálható sokaságok osztályozása. Topológikus csoport és transzformációcsoport. Részcsoport szerinti faktortér indukált topológiája. Homogén tér. Differenciálható és analitikus sokaság. Lie csoport. Császár Á., Bevezetés az általános topológiába. Akadémiai kiadó, Budapest, 1978. L. Auslander-R. E. MacKenzie, Introduction to Differentiable Manifolds, Dover, 1977 , ajánlott: M. W. Hircsh, Differential Topology, Springer, 1976. N. Steenrod, The topology of fiber bundles, Princeton, 1951.
14 Diszkrét matematika 2+0 Leszámlálási problémák: Formális hatványsorok, rekurziók. Halmazok és multihalmazok. Részhalmazok, binomiális együtthatók. Permutációk és néhány statisztikájuk. Halmazok osztályozásai, Bell-számok, másodfajú Stirling-számok. Véges halmazon ható csoportok, Pólya-Redfield módszer. Tartalmazás és kizárás elve, parciálisan rendezett halmazok, Möbius függvény. Lineáris rekurzió, példák (Fibonacci-számok). Alapfogalmak. Összefüggőség, fák, feszítő fák száma egy gráfban. Kétszeresen összefüggő gráfok. k-szorosan összefüggő gráfok, folyamok, Menger tétele. Párosítások páros gráfban, Kőnig tétele, Magyar módszer. Párosítások, Tutte és Berge tétele, Edmonds-algoritmus. Színezések, kromatikus szám, Brooks tétele, perfekt gráfok, perfekt gráf tétel. Gráfok felületre rajzolása, Kuratowski tétele. Extremális gráfelmélet, Turán tétele. Ramsey elmélet és alkalmazásai. Az NP problémaosztály. NP-teljesség. , ajánlott: Stanley, Richard P. Enumerative combinatorics Vol. 1., Corrected reprint of the 1986 original, Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. 49., Cambridge University Press, Cambridge, 1997. László Lovász, Combinatorial problems and exercises. Second edition. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1993. (Magyar fordítás: Lovász László, Kombinatorikai problémák és feladatok, Typotex Kiadó, Budapest, 1999.) Hajnal Péter, Összeszámlálási problémák, Polygon Jegyzettár, Szeged, 1997. Hajnal Péter, Gráfelmélet, Polygon Jegyzettár, Szeged, 1997.
241 Kombinatorikus módszerek a geometriában 2+0 Blokkrendszerek: Blokkrendszerek paraméterei és oszthatósági feltételek. Steiner-rendszerek. Hadamard-mátrixok. Feloldható blokkrendszerek. Baranyai-tétel. Véges projektív geometriák: Latinnégyzetek. Véges projektív geometriák paraméterei. Desargues- és Pappos-síkok. Desargues- és Pappos-síkok koordinátázhatósága. Véges affin síkok. Véges tükrözési csoportok. Coxeter-csoportok és komplexusok. Épületek. , ajánlott: M. Jr. Hall, Combinatorial theory, Waltham, Mass. 1967. Henry H. Crapo, On the foundation of combinatorial theory: Combinatorial geometries, MIT Press, Cambridge, 1976. Kárteszi Ferenc, Bevezetés a véges geometriákba, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972. Brown, Buildings, Springer-Verlag, London, 1989.
242 Riemann geometria 2+0 Riemann metrika, Levi-Civita konnexió. Geodetikusok, konvex környezet, normál koordináta rendszer. Geodetikusok variációja, Jacobi vektormezők, konjugált pontok. Hopf-Rinow tétel, Hadamard tétele. Morse index tétel. Szekcionális görbület, görbületi tenzor, skalár görbület. Konstans görbületű terek. M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992. J. Milnor, Morse Theory, Princeton University Press, 1963. , ajánlott: W. Klingenberg, D. Gromoll, W. Meyer: Riemannsche Geometrie im Grossen, Springer, 1968. J. Cheeger, D. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North-Holland, 1975.
243 Konvex testek és klasszikus integrálgeometria 2+0 Konvex halmazok alapvető tulajdonságai, Charatheodory, Radon, Helly tételei. Szeparáció, Euler reláció, dualitás. Konvex halmazok approximációja, Blaschke kiválasztási tétele. Vegyes térfogat, Brünn-Minkowski tétel, Minkowski és Fenchel-Alexandrov egyenlőtlenség. Sűrűségek pontokra, egyenesekre, kinematikus sűrűség, síkbeli integrálformulák. Steiner formula, quermassintegrálok, Blaschke és Poincaré alapformulái. Görbületi integrálok és alkalmazásaik. , ajánlott: L.A. Santalo, Integral Geometry and Geometric Probability, Encyclopedia of Math., Addison-Wesley, London, 1976. T. Bonnesen, W.Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Springer, Berlin, 1934. W. Blaschke, Vorlesungen über Integralgeomtrie, Berlin, 1955. H. Busemann, Convex surfaces, Interscience, London, 1958.
244 Algoritmikus geometria 2+0 Geometriai problémák megoldása során használt speciális adatstruktúrák. Geometriai keresések. Politopok és síkrendszerek kódolása, permutációs táblák. Ponthalmazok particionálása. Síkrendszerek zónái. Cellarendszerek bonyolultsága. Konvex burok algoritmikus meghatározása két és többdimenzióban. Az eljárások átlagos viselkedése. Lineáris programozás geometriája. Pont helyének meghatározása síkbeli egyenesrendszerben. Legnagyobb konvex részhalmaz. Minimális mértékű szimplexek. Vektorösszeg maximalizálása. Hasonlóság megállapítására szolgáló eljárások. Voronoi diagramm meghatározása. Pontrendszerek triangulálása, legközelebbi szomszéd megkeresése, minimális feszítőfa, ponthalmazok alakja. Pontrendszerek szeparálása és metszése. Algoritmusok tervezése. , ajánlott: F. P. Preparata, M. I. Shamos, Computational Geometry-an Introduction, Springer, New York, 1985. H. Edelsbrunner, Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer, New York, 1987.
245 Geometriai algebra 2+0 Affin és projektiv sikok. Desargues tétele és a koordináta test. Papposz tétele és a kommutativitás. A koordináta test karakterisztikája és a Fano konfiguráció. Kollineációk és a szemilineáris leképezések. Szimplektikus és ortogonális geometria. A szimplektikus és az ortogonális csoport szerkezete. Clifford algebra. E. Artin, Geometric Algebra, Princeton University, 1957. R. Baer, Linear Algebra and Projective Geometry, Academic Press, 1952. , ajánlott: D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective Planes, Springer, 1970. J. Dieudonné, La Géométrie des Groupes Classiques, Springer, 1955.
246 Algebrai topológia 2+0 Homotópia és szimpliciális komplexusok. Baricentrikus felbontás és a szimpliciális approximációs tétel. A fundamentális csoport és kiszámítási módjai. A 2-dimenziós triangulálható sokaságok osztályozása. Szinguláris homológiacsoportok és kiszámítási módjai: szimpliciális homológiák, egzakt sorozatok. Homológiák tetszőleges együtthatócsoporttal, a Lefschetz féle fixponttétel. Kohomológiacsoportok és kiszámítási módjaik. Alexader-Poincare dualitás. CW-komplexusok homotopiaelmélete. Whitehead tétele és a celluláris approximáció. CW-komplexusok homológia és kohomológia elmélete. Hurewitz tétele. Kohomológia szorzatok. , ajánlott: S. Eilenberg, N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton, 1952. E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw-Hill, New York, 1966. C. R. F.Maunder, Algebraic Topology, Van Nostrand Reinold, London, 1970. W. S. Massey, Singular Homology Theory, Springer, 1980.
3400 Gelfand-féle integrál geometria 2+0 Radon transzformáció valós affin téren (invertálhatóság, tartó tételek, Plancherel formula, Paley-Wiener tétel, kapcsolat más transzformációkkal), disztribúciók Radon transzformációja, Radon transzformáció komplex tartományon, Radon transzformáció és differenciálás, Radonszerű transzformációk konstans görbületű és Lorentz tereken. I. M. Gel'fand-M.I.Graev-N.Ya.Vilenkin, Generalized functions I V. S. Helgason, Radon transform , ajánlott: S. Helgason, Groups and geometric analysis V. G. Romanov, Integral geometry and inverse problems for Hyperbolic equations F. John, Plane waves and spherical means
3401 Geometriai analízis 2+0 Fourier analízis konstans görbületű tereken, invariáns mérték sokaságokon, invariáns differenciál operátorok sokaságokon, szférikus transzformáció (szférikus függvénysorok, Paley-Wiener tétel, inverz formulák). S. Helgason, Groups and geometric analysis , ajánlott: V. S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras and their representation, S. Helgason, Differential geometry and symmetric spaces, E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract harmonic analysis
3402 Gráfelmélet 2+0 Összefüggőség: irányított gráfok összefüggősége, seholsem 0 folyamok. Párosítások: Gallai-Edmonds struktúra tétel, Edmonds polytop, Véletlen módszerek n(G) meghatározására; Párosítások száma egy gráfban, permanens, Van der Waerden sejtés és bizonyítása. Gráfok színezései: Hajós tétele, Kneser-gráf és kromatikus száma, Rd kromatikus száma. Független halmazok gráfokban: t-kritikus gráfok, pontpakolási politop, perfekt gráfok, gráfok Shannon kapacitása. Gráfok sajátértékei, véletlen séták gráfokon, gráfok nagyító paramétere. , ajánlott: L. Lovász and M.D. Plummer, Matching theory, Akadémia Kiadó, Budapest, 1986. Béla Bollobás, Modern graph theory, Graduate Texts in Mathematics vol. 184., Springer- Verlag, New York, 1998. Reinhard Diestel, Graph theory, Second edition, Graduate Texts in Mathematics vol. 173., Springer-Verlag, New York, 2000.
3403 Konvex geometria 2+0 Konvex halmazok kombinatorikus tulajdonságai, Charatheodory, Radon, Helly tétel és ezek általánosításai, alkalmazásai. Konvex halmazok szeparálása, dualitás. Konvex halmazok approximációja, a Blaschke féle kivalasztási tétel. Műveletek konvex halmazokkal, vegyes térfogat. Izoperimetrikus tétel. Konstans szélességű konvex testek. Konvex testek értékelései. Zonoidok. , ajánlott: H. G. Eggleston, Convexity, Cambridge Univ. Press 47 (1958). L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee, Helly's theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101-180. B. Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967. P. M. Gruber, J. M. Wills, Convexity and its applications, Birkhäuser, 1983.
3404 Szövet geometria 2+0 Kvázicsoportok, loopok és hálózatok. Koordinátázás és záródási tételek. Projektivitások és kollineációk. Moufang és Bol loopok és hálózatok. Differenciálható szövetek és hálózatok. Loopok érintő algebrája. Chern konnexió. Záródási feltételek jellemzése görbülettel és torzióval. Differenciálható Moufang loopok és Malcev algebrák. M. A. Akivis, A. M. Shelekhov, Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Wbs, Kluwer Academic Publ., 1992. A. Barlotti, K. Strambach, The Geometry of Binary Systems, Adv. in Math, 49, 1983, 1-105. , ajánlott: P. T. Nagy, Invariant tensorfields and the canonical connection of a 3-web, Aequationes Math., 35, 1988, 31-44. P. T. Nagy, Complete group 3-webs and 3-nets, Arch. Math., 53, 1989, 411-413. P. T. Nagy, Extension of local loop isomorphisms, Monatshefte f. Math., 112, 1991, 221-225.
3405 Integrálható rendszerek 2+0 Hamilton rendszerek. Darboux tétele. Szimplektikus sokaságok. Legendre transzformáció. Szabad részecske pszeudo-Riemann térben. A momentum leképezés. Redukciós módszerek szimmetriával. Liouville tétele. Adler-Kostant-Symes-tétel. Integrálható mechanikai rendszerek, példák. A. M. Perelomov, Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras, Birklhäuser, 1990. R. Abraham, J. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin, 1978. , ajánlott: V. I. Arnold, A klasszikus mechanika matematikai módszerei, Müszaki Könyvkiadó, 1988. J. M. Souriau, Structure des Systemes Dynamiques, Dunod, 1970.
3406 Bonyolultságelmélet 2+0 Véges automaták. Turing-gépek. Kiszámíthatóság, felsorolhatóság fogalma. Példák nem kiszámítható függvényekre (Post-féle megfeleltetési probléma, szóprobléma). Tár és idő bonyolultság. Bonyolultsági osztályok és kapcsolataik. Polinomiális hierarchia. Véletlen algoritmusok. Bizonyítási eljárások. Approximációs algoritmusok és bonyolultságuk. Összeszámlálási problémák bonyolultsága. Redukciók és teljesség különböző bonyolultsági osztályok esetén. SPACE(0), SPACE(logn), NSPACE(0), NSPACE(logn), P, NP, BPP, PSPACE osztályok és speciális problémák besorolása bonyolultsági osztályok hierarchiájába. , ajánlott: Harry Lewis-Christos H. Papadimitriou: Elements of the theory of computation, second edition, Prentice-Hall 1982. Lovász László: Bonyolultságelmélet, ELTE jegyzet. Christos H. Papadimitriou: Számítási bonyolultság, Novodat bt., Budapest, 1999.
3407 Politopok kombinatorikája 2+0 Charatheodory, Radon, Helly tétel és ezek általánosításai, alkalmazásai. Politopok konstruálása, Gale transzformáltak. Euler reláció, Dehn-Sommerville egyenletek. Felső korlát a lapok számára. 3-politopok kombinatorikus típusai, a Steinitz tétel. Politopok vázának struktúrája, a van Kampen-Flores tétel. Az f-vektorok karakterizálása. Politopok összeadása és felbontása. Hamilton utak és körök politopokon. Szabályos politopok. , ajánlott: H. Hadwiger, H. Debrunner, V. Klee, Combinatorial Geometry in the Plane, Holt, Reinhardt and Winston, New York, 1964. L. Danzer, B. Grünbaum, V. Klee, Helly's theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101 - 180. B. Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley & Sons, London, 1967.
3408 Halmazrendszerek 2+0 A n és t paraméterek. Folytonos relaxációk. Mohó algoritmus. Hipergráfok Kőnig-tulajdonsága. Normális hipergráfok. Erdős-Pósa-tulajdonság. Színezések, diszkrepancia. Extremális kérdések: Metsző halmazrendszerek, Erdős-Ko-Rado-tétel általánosításai, halmazrendszerek metszési korlátozásokkal, Ray-Chauduri-Wilson-tétel, alkalmazások: Borsuk-sejtés cáfolata, a tér kromatikus száma. Tenzor szorzat módszer: Bollobás tétel, Katona-Kruskal tétel, izoperimetrikus problémák. , ajánlott: Claude Berge, Hypergraphs, Combinatorics of finite sets, North-Holland Mathematical Library vol. 45., North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1989. Ian Anderson, Combinatorics of Finite Sets, Clarendon Press, Oxford, 1989. L. Babai and P. Frankl Linear Algebra methods in Combinatorics with Applications to Geometry and Computer Science, Preliminary Version, Department of Computer Science, The University of Chicago, 1992.
3409 Konnexió elmélet és holonómia csoportok 2+0 Konnexiók principális nyalábokon. Párhuzamosság. Holonómia csoport. Holonómia tétel. Redukciós tétel. Infinitézimális holonómia csoport. Lineáris konnexiók. Riemann terek holonómia csoportja. De Rham dekompoziciós tétele. Invariáns konnexiók reduktív homogén tereken és szimetrikus tereken. Invariáns Riemann metrikák és komplex struktúrák. S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, I, II, Interscience Publ., 1963, 1969. A. Lichnerowicz, Théorie Globale des Connexions et des Groupes d'Holonomie, Cremonese, 1955. , ajánlott: K. Nomizu, Lie Groups and Differential Geometry, Publ. Math. Soc. Japan, 1956. A. Lichnerowicz, Géométrie des Groupes de Transformations, Dunod, Paris, 1958.
3410 Szimmetrikus terek 2+0 Variációs és összevető tételek, pincselt sokaságok, lokálisan szimmetrikus terek, szimmetrikus és kétpont-homogén terek, izometria csoportok, kanonikus konnexió, Jacobi egyenletek, totál geodetikus részsokaságok, Riemann-féle homogén terek, elsőfajú Riemann-féle szimmetrikus terek, geodetikusok sokasága. S. Helgason, Lie groups and symmetric spaces , ajánlott: I. Chavel, Riemannian symmetric spaces J. A. Wolf, Spaces of constant curvature S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundation of differential geometry II. A. L. Besse, Manifolds all of whose geodesics are closed
3411 Összeszámlálási problémák 2+0 Formális hatványsorok gyűrűje. Permutációk őrnagy indexe, véges vektor terek altereinek száma, kombinatorikus azonosságok q-analógjai. Egész számok partíciói, Jacobi formulák, Ramanujan-Rodgers-azonosság. Möbius függvény kiszámítási módszerei, hálók, Euler részben rendezett halmazok. Aszimptotikus formulák. Részben rendezett halmazok kiterjesztéseinek száma, vegyes térfogat, log-konkáv sorozatok, részben rendezett halmazok dimenziója. Jeu-de-taquin, tablók, szimmetrikus függvények, Hopf-algebrák. , ajánlott: Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics Vol. 1., Corrected reprint of the 1986 original, Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. 49., Cambridge University Press, Cambridge, 1997. Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics. Vol. 2., Cambridge Studies in Advanced Mathematics vol. 62., Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
3412 Speciális gráfosztályok 2+0 Outerplanar gráfok, soros-párhuzamos gráfok, síkgráfok karakterizációi. Központi problémák és kezelésük ezeken az osztályokon (színezési kérdések, független utak problémája, Frank András tétele). Minor képzésre zárt osztályok. Minor monoton paraméterek (út-, fa-, elágazás-szélesség). Jól quasi-rendezettség. Seymour-Robertson-elmélet alapjai. Feszített részgráfképzésre zárt gráfosztályok. Élgráfok, intervallum gráfok, split gráfok. Perfekt gráfok és speciális részosztályai. Karakterizációk. Szimmetrikus gráfok: erősen reguláris gráfok, barátság tétel, tranzitív gráfok, Cayley-gráfok. Expander gráfok és konstrukcióik. Reinhard Diestel, Graph theory, Second edition, Graduate Texts in Mathematics vol. 173., Springer-Verlag, New York, 2000. P.J. Cameron and J.H. van Lint, Graph theory, Coding theory and block designs, Cambridge University Press, 1980.
3413 Kombinatorikus optimalizáció 2+0 Lineáris programozás: szimplex algoritmus, ellipszoid algoritmus, Karmakar-módszer. Bázis redukció és kapcsolata az ellipszoid módszerhez. Egész értékű programozás. Szemidefinit programozás. Konvex programozás. Mohó algoritmusok. Dinamikus programozás. Javító utas módszer. Poliéder módszer (szemidefinit relaxációk, folytonos relaxációk). Branch and bound módszer. Alkalmazások konkrét példákon keresztül. , ajánlott: Bernhard Korte and Jens Vygen, Combinatorial optimization, Theory and algorithms, Algorithms and Combinatorics, vol. 21., Springer-Verlag, Berlin, 2000. William J. Cook, William H. Cunningham, William R. Pulleyblank and Alexander Schrijver, Combinatorial optimization, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. Martin Grötschel, László Lovász and Alexander Schrijver, Geometric algorithms and combinatorial optimization, Second edition, Algorithms and Combinatorics vol. 2., Springer- Verlag, Berlin, 1993.
3414 Speciális halmazrendszerek 2+0 Konvex geometriák alapfogalmai. Különböző axiómarendszerek. Geometriai paraméterek és viszonyaik, kapcsolataik. Happy End probléma konvex geometriákban. Geometriai halmazrendszerek. Illeszkedésekből származó halmazrendszerek. Egy síkbeli ponthalmazból félsíkokkal kivágható részhalmazok. Diszkrepancia kérdések geometriai halmazrendszerekre. Szimpliciális komplexusok. f-vektorok. Döntési fák. Számelméleti halmazrendszerek. Roth-tétel. Diszkrepancia számtani sorozatokban. Boole-függvények: kommunikációs bonyolultság, formula bonyolultság. , ajánlott: Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2., Edited by R. L. Graham, M. Grötschel and L. Lovász, Elsevier Science B.V., Amsterdam; MIT Press, Cambridge, MA, 1995. Bernhard Korte and László Lovász, Schrader, Rainer Greedoids, Algorithms and Combinatorics vol. 4., Springer-Verlag, Berlin, 1991. János Pach and Pankaj K. Agarwal, Combinatorial geometry, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1995.
3415 Blokkrendszerek és kódok 2+0 Steiner-rendszerek konstrukciói, kapcsolatok az univerzális algebrával. Szimmetrikus blokkrendszerek. Feloldható blokkrendszerek. t-blokkrendszerek. Véges projektív síkok, Ryser-Chowla-tétel. Kódolás elmélet alapfogalmai. Kódok mérete, hatékonysága, súlyszámláló polinoma. Gilbert-Varaslimov-becslés. Lineáris kódok. Mac Williams-tétel. Hamming-kódok. Önduális kódok. Projektív kódok. , ajánlott: Welsh, Dominic Codes and cryptography. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1988. Thomas Beth, Dieter Jungnickel and Hanfried Lenz, Design theory, Vol. I., Second edition, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 69., Cambridge University Press, Cambridge, 1999. Thomas Beth, Dieter Jungnickel and Hanfried Lenz, Design theory, Vol. II., Second edition, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 78., Cambridge University Press, Cambridge, 1999. P. J. Cameron and J. H. vanLint, Designs, graphs, codes and their links, London Mathematical Society Student Texts, vol. 22., Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
3416 Matroidelmélet 2+0 Matroidelméleti alapfogalmak, Matroidok különböző axiómarendszerei, Műveletek matroidokkal: kontrakció, megszorítás, dualizálás, direkt összeg, összeg, metszet, homomorfizmus. Alapvető minimax tételek. Különböző minimax tételek közötti kapcsolatok és alkalmazások. Matroidok koordinátázhatósága. Bináris matroidok karakterizációja. Ternáris matroidok. Grafikus matroidok. Unimoduláris mátrixok és tetszőleges test felett koordinátázható matroidok. Matroidok és a kombinatorikus optimalizáció kapcsolata. Szubmoduláris függvények. , ajánlott: D. J. A. Welsh, Matroid Theory, Academic Press, London, 1976. James G. Oxley, Matroid theory, Oxford Science Publications, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1992.
3417 Véletlen módszer a kombinatorikában 2+0 Véletlen módszer lényege, Ramsey számok, hipergráfok 2-színezése, diszkrepancia. Második momentum módszer, martingálok, Lovász-lemma, pszeudo véletlen módszerek, valószínűségszámítási becslések. Példák alkalmazásokra. Véletlen gráfok különböző modelljei. Threshold-függvények. Véletlen gráfok evolúciója. Véletlen Turing gépek. Véletlen bonyolultsági osztályok: BPP, RP, PP. Prímtesztelés. Polinom azonosságok ellenőrzése. Véletlen párhuzamos algoritmus teljes párosítás létezésének eldöntésére. Véletlen párhuzamos algoritmus maximális független halmaz keresésére. Véletlen séták gráfokon. s-t összefüggőség. Térfogatmérés. , ajánlott: Noga Alon and Joel H. Spencer, The probabilistic method, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1992. Béla Bollobás, Modern graph theory, Graduate Texts in Mathematics vol. 184., Springer- Verlag, New York, 1998. Lovász László, Algoritmusok bonyolultsága, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.
3418 Kombinatorikus módszerek a bonyolultságelméletben I. 2+0 Boole döntési fák: Példák tartózkodó függvényekre. Rivest-Vuillemin tétele. Topológikus módszerek; Kahn, Saks, Sturtevan tétele. Véletlen döntési fák. Nemdeterminisztikus döntési fák. Boole függvények érzékenysége. Kommunikációs bonyolultság: Rang függvény módszer. Möbius függvény. Véletlen kommunikációs bonyolultság. Disztribuciós bonyolultság. Formulák: Formula méret és hálózat mélységének kapcsolata. Szimmetrikus függvényeket kiszámító kis formulák. Neèiprok tétele. Ramsey-elméleti módszerek; Hodes, Specker, Pudlák tétele. Véletlen megszorítások, Subotovskaja módszere; Andreev tétele. Monoton formulák. Véletlen megszorítás módszere; Karchmer, Wigderson tétele. Lineáris algebrai módszer; Razborov tétele. Kommunikációs bonyolultság alkalmazása; Raz, Wigderson tétele. , ajánlott: Handbook of Theoretical Computer Science, Volume A: Algorithms and complexity, (Ed. J. van Leeuwen), R. Boppana, M. Sipser, Chapter 14, MIT Press, 1990. Paul E. Dunne, The complexity of Boolean networks, Academic Press 1988. I. Wegener, The complexity of Boolean functions, Wiley-Teubner, 1987. Lovász László, Bonyolultságelmélet, ELTE jegyzet. Christos H. Papadimitriou: Számítási bonyolultság, Novodat bt., Budapest, 1999.
3419 Kombinatorikus módszerek a bonyolultságelméletben II. 2+0 Hálózatok: Hálózat méret és Turing-gép bonyolultság kapcsolata. Általános alsó becslések. Konstans mélységű hálózatok. Hastad-lemma. Alsó becslések véletlen megszorítások módszerével. Alsó becslések az approximáció módszerével. Razborov és Smolenski tételei. Monoton hálózatok. Approximációs módszer alkalmazása különböző függvények esetére. Az approximációs módszer határai. Andreev alsó becslései. Elágazó programok: elágazó programok bonyolultsága és Turing gépek; Masek tétele. Korlátos szélességű elágazó programok. , ajánlott: Handbook of Theoretical Computer Science, Volume A: Algorithms and complexity, (Ed. J. van Leeuwen), R. Boppana, M. Sipser, Chapter 14, MIT Press, 1990. Paul E. Dunne, The complexity of Boolean networks, Academic Press 1988. I. Wegener, The complexity of Boolean functions, Wiley-Teubner, 1987. Lovász László, Bonyolultságelmélet, ELTE jegyzet. Christos H. Papadimitriou, Számítási bonyolultság, Novodat Bt., Budapest, 1999.
3420 Számítógép programok használata a geometria tanításához és tanulásához 2+0 A kurzus fő célja a Maple, a Mathematica és a Cinderella programok oktatási célú lehetőségeinek megismerése. A programok alapfunkciói. Geometriai objektumok kezelése az euklideszi, a hiperbolikus és az elliptikus síkon. Szerkesztési feladatok interaktív megoldása a Cinderella programmal. Mértani helyek animációs kirajzolása. Interaktív feladatsorok összeállítása, tesztelése, elhelyezése a web-en. , ajánlott: Richter-Gebert, Kortenkamp, The interactive geometry software Cinderella. With 1 CD-ROM, Springer-Verlag, Berlin, 1999.
3421 Elemi kombinatorika 2+0 Egyenlőségek, egyenlőtlenségek, oszthatóságok bizonyítása bijektív módszerrel. Nevezetes számsorozatok és kombinatorikus, számelméleti tulajdonságaik. Polinomok, formális hatványsorok. Gráfelméleti alapfogalmak. Színezések, párosítások, független ponthalmazok. Gráfelméleti módszerek az elemi matematikában. Halmazrendszerek elméletének alapfogalmai. , ajánlott: A.M.Jaglom, I.M.Jaglom, Challenging mathematical problems with elementary solutions, Combinatorial analysis and probability, Dover Publ. Inc., New York, 1987 Engel, Problem-solving strategies, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1998
3422 Elemi bonyolultságelmélet 2+0 Összehasonlításon alapuló döntési fák. Rendezési, keresési eljárások. Mérleg problémák. Döntési fák. Gráftulajdonságok eldöntése döntési fákkal. Zárkózott tulajdonságok. Elemi módszerek a zárkózottság bizonyítására. Invariáns módszer. Alapműveletek algebrai bonyolultsága. Mátrixműveletek bonyolultsága. Szerkesztések bonyolultságelméleti vizsgálata. , ajánlott: Gács Péter, Lovász László, Algoritmusok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.
251-252 Valószínűségelmélet I-II 2+0, 2+0 Bernoulli nagy-szám törvénye és a de Moivre-Laplace tétel. A valószínűségelmélet Kolmogorov-féle megalapozása. Véletlen vektorváltozók és eloszlásaik, az eloszlásfüggvény. Sztochasztikus folyamatok: Kolmogorov exisztenciatétele. Függetlenség és szorzatterek. Diszkrét, folytonos és szinguláris eloszlások; Lebesgue dekompozíció. Konvolúciók. Várható érték, momentumok, szórás, kovariancia és korreláció. Nevezetes speciális eloszlások. A konvergencia módjai. A nagy számok törvényei, 0-1 törvények, a három-sor tétel. Gyenge vagy eloszlásbeli konvergencia. Helly kiválasztási tétele, feszesség. Karakterisztikus függvények. Centrális határeloszlástételek. Többváltozós normális eloszlások és vektoriális centrális határeloszlástételek. Lokális centrális határeloszlástételek és aszimptotikus sorfejtések. Feltételes valószínűség és várható érték, feltételes eloszlások. Véletlen bolyongások. Martingálok, Markov láncok és stacionárius sorozatok. Brown mozgás és Gauss folyamatok: létezés és folytonosság. A Wiener folyamat differenciálhatatlansága. Iterált-logaritmus tételek, fluktuáció. Felújítási folyamatok, a Poisson folyamat. Kombinatorikus módszerek véletlen bolyongásokra, az arkusz-szinusz törvény. Billingsley: Probability and Measure, New York, 1986 S. Csörgő: Fifty-three Lectures on Probability, Ann Arbor, 1991 [egyetemi jegyzet] Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba I, Budapest, 1982 Feller: Introduction to Probability Theory and its Application II, New York, 1971 Kallenberg: Foundations of Modern Probability, New York, 1997 Petrov: Független valószínűségi változók összegei [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1972 Rényi: Valószínűségszámítás, Budapest, 1968 Spitzer: Principles of Random Walks, New York, 1964
253-254 Matematikai statisztika I-II 2+0, 2+0 Empirikus eloszlások, a Glivenko-Cantelli tétel. Exponenciális családok. Fisher információ. Pontbecslések elmélete: elégségesség, a Fisher-Neyman faktorizációs tétel, torzítatlanság, konzisztencia, megengedhetőség, minimaxitás. A Rao-Blackwell tétel. Teljesség. A Cramér-Rao egyenlőtlenség, hatásosság. Becslési módszerek: a momentum módszer, a minimális távolságok módszere, a maximum-likelihood módszer. A maximum-likelihood becslések aszimptotikus tulajdonságai: konzisztencia, aszimptotikus normalitás és hatásosság. Bayes-becslések: megengedhetőség, minimax tulajdonság, torzítatlanság. Konfidencia intervallumok: egzakt és aszimptotikus módszerek. Kontingencia táblák elemzése: a log-lineáris modell. Torzítás-redukció, rövid bevezetés a "jackknife" és "bootstrap" eljárásokba. A hipotézisvizsgálat alapfogalmai: próbák, szignifikancia, erő, a Neyman-Person lemma, egyenletesen legerősebb torzítatlan tesztek, monoton likelihood hányadosok, lokálisan legjobb, invariáns és hasonló tesztek. c2-próbák, a normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák, tiszta és becsléses illeszkedésvizsgálat. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek becslése. Regresszió és lineáris regresszió. Lineáris statisztikai módszerek: regresszióanalízis, legkisebb négyzetek módszere, szórásanalízis. Bickel, Doksum: Mathematical Statistics, Oakland, 1977 Borovkov: Mathematical Statistics, Amsterdam, 1998 Cramér: Mathematical Methods of Statistics, Princeton, 1946 Efron: Bootstrap methods: Another look at the jackknife, Ann. Statist. 7 (1979), 1-26 Kullback: Information Theory and Statistics, New York, 1959 Lehmann: Theory of Point Estimation, New York, 1983 Lehmann: Testing Statistical Hypotheses, New York, 1986
255 Bevezetés az ergodelméletbe 2+0 Átlagos és pontonkénti ergodikus tételek. A diszkrét spektrumú leképezések elmélete. Példák: az egységkör forgatása, Bernoulli-eltolás, a pék automorfizmus, Arnold macskája. A lánctörtekkel kapcsolatos ergodelméleti problémak. Halmos: Lectures on Ergodic Theory, Tokyo, 1956 Kornfeld, Szinaj, Fomin: Ergodelmélet [oroszul, van angol fordítás], Moszkva, 1980 Khinchin: Kettenbrüche, Leipzig, 1956
256 Bevezetés a Kolmogorov-Arnold-Moser elméletbe 2+0 A klasszikus mechanika soktestproblémája, Hamilton rendszerek perturbációja, a kis nevezők problémája. A twist-lemma bizonyitása és alkalmazása a korlátozott 3-test problémára. Moser: Lectures on Hamiltonian Systems, New York, 1968 Siegel, Moser: Lectures on Celestial Mechanics, New York, 1965
3500 Klasszikus határeloszlástételek 2+0 A korlátlanul osztható eloszlások kanonikus előállítása. A korlátlanul osztható eloszlásokhoz való konvergencia feltételei. Konvergencia a Poisson eloszláshoz. Egyforma eloszlású összeadandók: stabilis eloszlások vonzástartományai, korlátlanul osztható eloszlások parciális vonzástartományai. Nagy eltérések valószínűségei. Gnyegyenko, Kolmogorov: Független valószínűségi változók összegeinek konvergenciája, Budapest, 1951 S. Csörgő, Haeusler, Mason: A probabilistic approach to the asymptotic distribution of sums of independent, identically distributed random variables, Advances in Appl. Math. 9 (1988), 259-333. Petrov: Független valószínűségi változók összegei [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1972
3501 Valószínűségi mértékek konvergenciája 2+0 Valószínűségi mértékek metrikus terek Borel halmazain, metrikus terek véletlen elemei. Gyenge konvergencia: alaptétel. A leképezési tétel. Szekvenciális relatív kompaktság és feszesség: Prohorov tétele. Gyenge konvergencia a C[0,1] térben: Donsker tétele részletösszeg folyamatokra. A D[0,1] tér Szkorohod topológiája. Gyenge konvergencia a C[0,1] térben: Donsker tétele empirikus folyamatokra. Billingsley: Convergence of Probability Measures, New York, 1968 Gihman, Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elmélete I [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1977
3502 Gauss-approximációk a sztochasztikában 2+0 A Wiener folyamat és a Brown híd néhány nevezetes funkcionáljának eloszlása. Eloszlásbeli konvergencia Szkorohod-konstrukciója. Független, azonos eloszlású véletlen változók összegeinek Szkorohod-beágyazása a Wiener folyamatba. A Wiener folyamat Lévy-féle folytonossági modulusa. Strassen és Brillinger approximációi a részletösszeg és az empirikus folyamatokra. A Komlós-Major-Tusnády approximációk. M. Csörgő, Révész: Strong Approximations in Probability and Statistics, Budapest, 1981 Szkorohod: Tanulmányok a véletlen folyamatok elméletében [oroszul, angol fordítás], Kiev, 1961
3503 Empirikus és kvantilis folyamatok 2+0 Empirikus eloszlásfüggvények, a Glivenko-Cantelli tétel. Kolmogorov-Szmirnov, Cramér-von Mises, Anderson-Darling statisztikák. Pontos és aszimptotikus eloszlások. A Brillinger- féle és a Komlós-Major-Tusnády approximációk. Az egyenletes kvantilis folyamat approximációi. Az egyenletes és az általános kvantilis folyamat távolsága, öröklött approximációk. A Bahadur-Kiefer tétel. Alkalmazások. M. Csörgő, S. Csörgő, Horváth: An Asymptotic Theory for Empirical Reliability and Concentration Processes, Berlin, 1986 M. Csörgő, Révész: Strong Approximations in Probability and Statistics, Budapest, 1981 Shorack, Wellner: Empirical Processes with Applications in Statistics, New York, 1986
3504 Súlyozott approximációk a sztochasztikában 2+0 Empirikus és kvantilis folyamatok súlyozott approximációi Brown hidakkal (Csörgő-Csörgő-Horváth-Mason) és néhány matematikai statisztikai és valószínűségelméleti alkalmazásuk (Rényi-féle konfidenciasávok, a normális konvergencia-kritérium). M. Csörgő, S. Csörgő, Horváth, Mason: Weighted empirical and quantile processes, Ann. Probability 14 (1986), 31-85 M. Csörgő, Horváth: Weighted Approximations in Probability and Statistics, Chichester, 1993
3505 Rendezett minták és aszimptotikus eloszlások 2+0 Az empirikus és kvantilis folyamatok súlyozott approximációinak alkalmazása rendezett mintaelemek összegeinek határeloszlására: megnyírt és extrémális összegek; a klasszikus határeloszláselmélet mint speciális eset. S. Csörgő, Haeusler, Mason: A probabilistic approach to the asymptotic distribution of sums of independent, identically distributed random variables, Advances in Appl. Math. 9 (1988), 259-333 S. Csörgő: A probabilistic approach to domains of partial attraction, Advances in Appl. Math. 11 (1990), 282-327 S. Csörgő, Haeusler, Mason: The asymptotic distribution of trimmed sums, Ann. Probability 16 (1988), 672-699 S. Csörgő, Haeusler, Mason: The asymptotic distribution of extreme sums, Ann. Probability 19 (1991), 783-811
3506 Extrémális eloszlások 2+0 Független, egyforma eloszlású véletlen változók maximuma: Gnyegyenko tétele a lehetséges határeloszlásokról. Az extrémális határeloszlások vonzástartományai. Kiterjesztés függő esetekre; korrelált Gauss sorozatok. de Haan: Regular Variation and Sample Extremes, Amsterdam, 1975 Galambos: The Asymptotic Distribution of Extreme Order Statistics, Malabar, 1987
3507 Extrémális eloszlások statisztikája 2+0 Extrémális eloszlások paramétereinek becslése vonzástartományokból. Farokbecslések, modell-ellenőrzés. Alkalmazások a hidrológia, valamint a biztosítási és pénzügyi matematika területéről. Embrechts, Klüppelberg, Mikosch: Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Berlin, 1997 S. Csörgő, Viharos: Estimating the tail index, In: Asymptotic Methods in Probability and Statistics, pp. 833-881, Amsterdam, 1998
3508 A sztochasztikus folyamatok elemei 2+0 Sztochasztikus folyamatok diszkrét időben vagy megszámlálható állapottérben: válogatott fejezetek a Markov láncok, a születési-halálozási, felújítási és elágazó folyamatok, valamint a diszkrét idejű martingálok elméletéből. Gihman, Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elmélete I [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1965 Gihman, Szkorohod: A sztochasztikus folyamatok elmélete I [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1971 Takács: Stochastoic Processes, London, 1966 Harris: Theory of Branching Processes, New York, 1989 Móri: Diszkrét paraméterű martingálok, Budapest, 1999
3509 Markov láncok 2+0 A Markov tulajdonság ekvivalens alakjai. Többlépéses átmenetvalószínűségek, homogén láncok. Az állapotok osztályozása. Határeloszlások átmenetvalószínűségekre. Tételek határeloszlások és stacionárius eloszlás létezésére. Alkalmazások. Gihman, Szkorohod: A sztochasztikus folyamatok elmélete I [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1971 Kemeny, Snell: Finite Markov Chains, New York, 1960 Kemeny, Snell, Knapp: Denumerable Markov Chains, Pronceton, 1966
3510 Elágazó folyamatok 2+0 Bevezetés az elágazó folyamatok elméletébe: a Bienaymé-Galton-Watson folyamat. Többtípusú elágazó folyamatok. Kortól függő elágazó folyamatok folytonos időben. Bevándorlás és diffúzió. Harris: Theory of Branching Processes, New York, 1989 Szevastyanov: Elágazó folyamatok [oroszul], Moszkva, 1971
3511 Martingálok 2+0 Diszkrét paraméterű martingálok és szemimartingálok. Az opciós mintavétel tétele és a felmetszések száma. A martingál konvergenciatétel. Fordított és reguláris martingálok. Négyzetesen integrálható martingálok és a martingál centrális határeloszlástétel. Optimális stratégiák. A folytonos idejű martingálok elemei. S. Csörgő: Fifty-three Lectures on Probability, Ann Arbor, 1991 [egyetemi jegyzet] Móri: Diszkrét paraméterű martingálok, Budapest, 1999
3512 Sztochasztikus folyamatok és mezők 2+0 Bevezetés a sztochasztikus folyamatok és mezők általános elméletébe. Válogatott fejezetek a független növekményű, másodrendű, Gauss és Markov folyamatok elméletéből, valamint a sztochasztikus mezők spektrálelméletéből. Gihman, Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elmélete I [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1965 Gihman, Szkorohod: A sztochasztikus folyamatok elmélete I, II, III [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1971, 1973, 1975
3513 Sztochasztikus analízis 2+0 Folytonos idejű martingálok, filtrációk, megállási idők. Brown mozgás. Sztochasztikus integrálok, az It^ o formula. Sztochasztikus differenciálegyenletek és a kapcsolatos martingálproblémák. Gyenge és erős megoldások. Gihman, Szkorohod: A sztochasztikus folyamatok elmélete III [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1975 Karatzas, Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, New York, 1991
3514 Markov és diffúziós folyamatok 2+0 A Markov operátorok félcsoportja, Hille-Yosida tétel. Kolmogorov egyenletei. A Feynman-Kac formula. A sztochasztikus integrál. A sztochasztikus differenciálegyenletek általános elmélete. Kapcsolódás a tőzsde matematikájához. Feller: Introduction to Probability Theory and its Application II, New York, 1971 Kac: Probability and Related Topics in Physical Sciences, New York, 1957 Kallenberg: Foundations of Modern Probability, New York, 1997 Karatzas, Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, New York, 1991 McKean: Stochastic Integrals, New York, 1969
3515 Matematikai fizika: konzervatív rendszerek 2+0 A d-dimenziós tórusz algebrai automorfizmusai. Szóró és félig szóró biliárdok. A szimbolikus dinamika módszere, Markov felbontás, a termodinamikai formalizmus. A Bowen-Ruelle-Sinai-mérték. Intervallum-leképezések. Sarkovszkij-tétel, abszolút folytonos invariáns mérték létezése. Kornfeld, Szinaj, Fomin: Ergodelmélet [oroszul, van angol fordítás], Moszkva, 1980 Bowen: Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc., 154 (1971), 337-397. Collet, Eckmann: Iterated Maps on the Interval, Boston, 1980
3516 A statisztikus fizika matematikai módszerei 2+0 A Dobrusin-Lanford-Ruelle mérték, a fázisátmenet létezésének bizonyítása a kontúr módszerrel, a Dobrusin-féle unicitás kritérium, korrelációs egyenlőtlenségek (FKG, Griffiths), a Kirkwood-Salzburg egyenletrendszer, analitikus módszerek (Lee-Yang tétel), az Ising- modell Onsager-féle egzakt megoldása. Preston: Gibbs States on Countable Sets, Cambridge, 1974 Ruelle: Statistical Mechanics: Rigorous Results, Amsterdam, 1969 Sinai: Theory of Phase Transitions: Rigorous Results, Budapest, 1982
3517 Ergodelmélet 2+0 A Lebesgue-spektrumú leképezések elmélete. A mértékelmélet Rohlin-féle felépítése: mérhető partíciók elmélete. A dinamikai rendszerek Kolmogorov-Rohlin-Sinai elmélete: az entrópia. Rokhlin: Selected topics from the metric theory of dynamical systems, Amer. Math. Soc. Transl. 49 (1966), 171-209. Kornfeld, Szinaj, Fomin: Ergodelmélet [oroszul, van angol fordítás], Moszkva, 1980
3518 Többváltozós statisztikai analízis 2+0 Fontosabb statisztikák eloszlása többdimenziós normális eloszlás esetén. Becslés és tesztelés a többdimenziós normális modellben, a modellre vonatkozó tesztek. Lineáris modellek, szórás- és kovariancia-analízis. Parciális és többszörös regresszió, kanonikus korreláció; függetlenségi tesztek. Diszkrimináns- és klaszter-analízis, faktor- és főkomponens-analízis. Johnson, Wichern: Applied Multivariate Statistical Analysis, Upper Saddle River, 1992
3519 Lineáris statisztikai modellek 2+0 A Gauss-Markov tétel. Lineáris regresszió, szórás- és kovariancia-analízis, logit, probit és log-lináris modellek. Általánosított lináris modellek és komponenseik, reziduálisok. Folytonos és bináris minták. Likelihood és kvázi-likelihood függvények és becslési egyenletek; optimalitás. Neter, Kutner, Nachtsheim, Wasserman: Applied Linear Regression Models, Chicago, 1990 McCullagh, Nelder: Generalized Linear Models, London, 1996
3520 Idősorok statisztikai analízise 2+0 Dekompozíció: trend, regresszió és ciklikus komponensek. Stacionárius sorozatok és spektrális reprezentációjuk. Spektrális sűrűségek és autoregresszív mozgó-átlag folyamatok: predikció és becslés. Integrált autoregresszív mozgó-átlag folyamatok. Spektrális statisztika: periodogrammok és aszimptotikus viselkedésük. Brockwell, Davis: Time Series: Theory and Methods, New York, 1996
3521 Sztochasztikus folyamatok statisztikája 2+0 Gauss folyamatok spektrálelmélete. Az előrejelzés és szűrés problémája. A Kolmogorov-Wiener és a Kalman szűrő. A Gauss-Markov folyamat ekvivalens definíciói és paramétereinek becslése. A sztochasztikus kontroll explicit módon megoldható feladatai: riasztás problémája, a "kétkarú bandita". DeGroot: Optimal Statistical Decisions, New York (1970). Liptser, Shiryaev: A sztochasztikus folyamatok statisztikája [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1974 Rozanov: Stacionárius sztochasztikus folyamatok [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1963 Shiryaev: Szekvenciális statisztikai analizis [oroszul, angol fordítás], Moszkva, 1976
3522 Nemparametrikus statisztika 2+0 Sűrűség- és regressziófüggvények hisztogram és magfüggvény típusú becslései. Konzisztencia, torzítás, aszimptotikus eloszlás és hatásosság. A sávszélesség választásának problémája. Rangstatisztikák és aszimptotikus eloszlásuk. Tiszta és összetett illeszkedésvizsgálatok, függetlenségi próbák. Devroye: A Course in Density Estimation, Boston, 1987 Hájek, Sidák: Theory of Rank Tests, Prague, 1967 Rosenblatt: Curve estimates, Ann. Math. Statist. 42 (1971), 1815-1842 Shorack, Wellner: Empirical Processes with Applications in Statistics, New York, 1986
3523 Statisztikai eljárások véletlen cenzúra mellett 2+0 A véletlen cenzúra modelljei. A modellek tesztelése. A kumulatív hazárd-függvény becslése és az eloszlásfüggvény Kaplan-Meier becslése; a Breslow-Crowley tétel. Konfidenciaintervallumok és sávok. Sűrűségbecslések. Cox-regresszió. S. Csörgő: Unversal Gaussian approximations under random censorship, Ann. Statist. 24 (1996), 2744-2778 Gill: Censoring and Stochastic Integrals, Amsterdam, 1980 Shorack, Wellner: Empirical Processes with Applications in Statistics, New York, 1986
3524 Részmintás és szimulációs statisztikai eljárások 2+0 Válogatott fejezetek a bootstrap módszer alkalmazásaiból: konfidenciaintervallumok paraméterekre és konfidenciasávok megbízhatósági függvényekre. Permutációs tesztek a nemparametrikus statisztikában. Bickel, Freedman: Some asymptotic theory for the bootstrap, Ann. Statist. 9 (1981), 1196- 1217 S. Csörgő, Mason: Bootstrapping empirical functions, Ann. Statist. 17 (1989), 1447-1471 Efron: Bootstrap methods: Another look at the jackknife, Ann. Statist. 7 (1979), 1-26 Hájek, Sidák: Theory of Rank Tests, Prague, 1967
3525 Aszimptotikus módszerek a matematikai statisztikában 2+0 Válogatott fejezetek a parametrikus és nemparametrikus matematikai statisztika aszimptotikus eljárásaiból. Rendstatisztikák lineáris kombinációinak aszimptotikus normalitása, eltolás-skála eloszláscsaládok aszimptotikusan optimális tesztjei. Serfling: Approximation Theorems of Mathematical Statistics, New York, 1980
3526 Alkalmazott valószínűségszámítás 2+0 Válogatottt fejezetek az alkalmazott valószínűségszámításból: a tömegkiszolgálás és sorbanállás valószínűségi modelljei, a megbízhatóságelmélet eloszlásosztályai. Aszimptotikus eljárások hosszú időre. Gnyegyenko, Kovalenko: Bevezetés a tömegkiszolgálás elméletébe [oroszul], Moszkva, 1966 Takács: Introduction to the Theory of Queues, New York, 1962
3527-3528 A véletlen története I-II 2+0, 2+0 A véletlen prehistóriája nyelvészeti és régészeti leletekben és középkori szövegekben. Luca Paccioli, Cardano és Galilei. A Pascal-Fermat levelezés 1654-ben. Huygenstől de Montmortig. Jacob Bernoulli: Ars conjectandi, 1713; Leibniz és Bernoulli álma. Graunt és a mortalitási táblázatok. Nicolaus és Daniel Bernoulli: morális matematika? A harang alakú görbe: de Moivre. Hajózni muszáj: Eulertől a Gauss-Laplace szintézisig. A XIX. század csendes valószínűségi forradalma. Az angol statisztikai iskola. Az orosz valószínűségi iskola Csebisevtől Kolmogorovig. David: Games, Gods and Gambling, London, 1962 Hald: A History of Probability and Statistics before 1750, New York, 1990 Hald: A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930, New York, 1998 Stigler: The History of Statistics before 1990, Cambridge, Massachusetts, 1986