A projektív ekvivalencia matematikai fogalmáról

Nagy Gábor

Szeged, Feb 1, 2015

``=12
Bevezetés. Életünknek szinte minden percében használjuk azt a képességünket, hogy különböző dolgozat azonosnak, azonosnak tűnő dolgokat pedig különbözőnek tekintünk. Ebben a rövid dolgozatban az előbbi jelenség matematikai tárgyalását szeretnénk bemutatni. Bevezető példaként az egybevágóság fogalmát említjük meg: általános iskolai nyelvezetet használva azt mondjuk, hogy két alakzat egybevágó, ha mozgással fedésbe hozhatók. Például két egységoldalú kocka egybevágó ebben az értelemben, és ez a megállapítás összhangban is van a mindennapi élet gyakorlatával, ahol két azonos méretű és anyagú tárgyat azonosnak, vagy időnként egyenlőnek nevezünk, jóllehet két különböző tárgyról van szó. Fontos megjegyeznünk, hogy ebben a példában matematikai szempontból lényeges kérdés a mozgás fogalmának definíciója, amire a későbbiekben még visszatérünk.
Amennyire csak lehetséges, a cikkben megpróbáljuk kerülni a szikár matematikai szaknyelv használatát, és olyan fogalmakkal dolgozunk, amikkel a középiskolai tanulmányaink alatt is találkozhatunk. A modern matematikai nyelvezetnek csupán egyetlen lényeges elemét említjük meg, nevezetesen a halmazelmélet kiemelt szerepét. A középiskolában megismert naiv halmazelmélet problémáival a 19. században szembesültek a matematikusok, és 1930-as évekre került kidolgozásra a modern axiomatikus halmazelmélet, elsősorban Cantor, Zermelo és Fraenkel munkássága nyomán. Manapság ez az elmélet számít a matematika "precíz megalapozásának", azaz az olyan matematikai konstrukciókat (definíció, állítás, bizonyítás) tekintünk precíznek, amiket fel tudunk építeni halmazelméleti kontextusban is. Ebben az értelemben a halmazelmélet hasonló szerepet tölt be ma, mint amit az axiomatikus eukleidészi geometria betöltött nagyjából a 17. századig.


Az ekvivalenciareláció. Vizsgáljuk meg most tehát, hogy a matematikus milyen elvárásokat fogalmaz meg a "valamilyen szempontból azonosnak tekintés" műveletét illetően. Mindenek előtt egy megállapodással előre rögzítenünk kell ezt a bizonyos "valamilyen szempontot" oly módon, hogy bármely két matematikai objektumról egyértelműen megállapítható legyen, hogy ebből a szempontól azonosnak tekinthetők-e (jóldefiniáltság). A továbbiakban, ha a rögzített szempontunkból az A és B objektumokat azonosnak tekintjük, akkor azt AB jelsorozattal jelöljük. A reláció megkövetelt tulajdonságat:
  1. (Reflexivitás.) Minden objektumot azonosnak kell tekintenünk saját magával, azaz minden A-ra fennáll AA.
  2. (Szimmetria.) Ha az A objektumot azonosnak tekintjük B-vel, akkor B-t is azonosnak kell tekintsük A-val, azaz AB implikálja BA-t.
  3. (Tranzitivitás.) Ha az A objektumot azonosnak tekintjük a B objektummal, a B-t pedig a C-vel, akkor A-t is azonosnak kell tekintenünk C-vel, azaz AB és BC implikálják AC-t.
Amennyiben a reláció jóldefiniált, valamint kielégíti a fenti három tulajdonságot, úgy azt ekvivalenciarelációnak nevezzük.
Vizsgáljuk meg ezen tulajdonságokat a már említett geometriai egybevágóság példáján. A definíció ugyebár úgy szólt, hogy két alakzatot egybevágónak mondunk, ha mozgással fedésbe hozhatók. A jóldefiniáltsághoz tehát meg kell mondanunk, hogy mit értünk mozgás alatt: a tér ponthalmazának egy olyan önmagára vett leképezését, amely megőrzi a pontok távolságát, azaz a P és Q pontok távolsága megegyezik a P', Q' képeik távolságával. Ezen definícióból az is kitűnik, hogy a tér és a térbeli objektumok számunkra pontoknak a halmazai, és a priori nem tudunk foglalkozni olyan tulajdonságokkal, mint objektumok anyaga vagy színe. A másik fontos észrevétel, hogy a mozgás fogalmából hiányzik mindenféle időbeliség. Megjegyezzük, hogy ez az ekvivalencia feltétel valóban jól definiált, hiszen két adott alakzat között vagy van vagy nincs megfelelő távolságtartó leképezés – az egy más kérdés, hogy alkalmasint nehéz lehet eldönteni, hogy most valójában van-e vagy nincs. Most vizsgáljuk meg az ekvivalenciareláció három alaptulajdonságát.
Reflexivitás:
Az "el nem mozdulás" is mozgás a mi értelmünkben, ekkor minden pont képe saját maga: P=P'. Ez a "mozgás" A-t A-ba viszi, tehát AA.
Szimmetria:
Tegyük fel, hogy AB, azaz létezik egy A-t B-be vivő mozgás. Ekkor ennek a mozgásnak a "megfordítottja" (inverze) egy B-t A-ba vivő mozgás lesz, tehát BA.
Tranzitivitás:
Tegyük fel, hogy AB és BC, azaz létezik egy A-t B-be vivő M1 , és egy B-t C-be vivő M2 mozgás. Ekkor ezt a két mozgást egymás után elvégezve egy olyan M3 mozgást kapunk, amely A-t C-be viszi, azaz AC.
Azt látjuk tehát, hogy az egybevágósági fogalmunk matematikai értelemben egy ekvivalenciareláció, ami a mozgás fogalmának három alapvető tulajdonságán múlik:
    [(I)]
  1. Az identikus leképezés mozgás,
  2. mozgás inverze mozgás, és
  3. két mozgás "egymásutánija" mozgás.


A racionális számok. Álljon itt egy másik egyszerű példa ekvivalenciarelációra, a tulajdonságok leellenőrzését az olvasóra bízzuk. Tekintsük az a b alakú kifejezéseket, ahol a, b egész számok és b nem nulla. Azt mondjuk, hogy az a b és c d kifejezéseket egyenlőnek tekintjük, ha ad=bc teljesül. Szembeötlő, hogy már általános iskolában találkoztunk ezzel a konstrukcióval: racionális számoknak neveztük a két egész szám hányadosaként előálló számokat. Akkoriban viszonylag gyorsan elfogadtuk, hogy a 2 6 és 3 9 alakú kifejezéseket egyenlőnek kell tekintenünk. Kissé precízebben: a rögzített q racionális számot végtelen sok különböző a b alakú kifejezéssel reprezentálhatjuk, azaz maga a q szám azonosítható az őt reprezentáló kifejezések halmazával. Más szóval, ha a szám maga több, mint egy reprezentációja, akkor a szám pontos ismeretéhez ismerettel kell bírnunk minden lehetséges reprezentációjáról.
A racionális számok fontossága nem csak a matematikában, de a mindennapi életben is nyilvánvaló. Tehát egyrészről igen lényeges a fogalom precíz felépítése. Másrészről az a követelmény, hogy egy racionális számra, mint végtelen sok reprezentációjának halmazára gondoljuk, első hallásra rémületesnek tűnik. Szerencsére a helyzet nem ennyire vészes, matematikailag teljesen korrekt az, amit már általános iskolában megtanultunk: egy egyszerű reprezentáció, és egy eljárás arra vonatkozólag, amivel könnyen és gyorsan eldönthetjük, hogy két reprezentáns ugyanazt a racionális számot állítja-e elő, azaz hogy a két reprezentánst egyenlőnek kell-e tekintenünk. A racionális számok esetén ez az eljárás a törtek egyszerűsítését és bővítését jelentette, azaz azt mondtuk, hogy a b = c d , ha törtek egyszerűsítésének és bővítésének egy sorozatával a b -től el tudtunk jutni c d -hez.


A párhuzamossági reláció. A következő példánk ismét a geometria világából érkezik. Az iskolában valami olyasmit tanultunk, hogy két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nincs közös pontjuk. A mi céljainknak jobban megfelel, ha ezt kibővítjük azzal, hogy minden egyenest párhuzamosnak tekintünk saját magával, azaz: két síkbeli egyenest párhuzamosnak mondunk, ha egybeesnek vagy ha nincs közös pontjuk.
Nem nehéz megmutatni, hogy a párhuzamossági reláció ekvivalenciareláció. Valóban, a kiegészítésünk garantálja a reflexivitást, a szimmetria pedig nyilvánvaló. A tranzitivitás bizonyításához kicsit többet kell dolgoznunk. Tegyük fel, hogy ab és bc, de az a és c egyenesek nem párhuzamosak. Ez utóbbi azt jelenti, hogy az a és c különbözőek és metszik egymást a P pontban. Ekkor azt látjuk, hogy a P ponton keresztül két különböző párhuzamost tudunk húzni a b egyenessel, ami ellentmond a híres párhuzamossági axiómának, ld. . ábrát. Ez bizonyítja a tranzitivitást, tehát az eukleidészi geometriában a párhuzamosság ekvivalenciareláció.
Figure      Figure
Figure 1: A párhuzamossági axióma: Adott e egyeneshez és P ponthoz pontosan egy olyan f egyenes létezik, mely átmegy P-n és párhuzamos e-vel. A második rajzon látjuk, hogy ab, bc, a\notc nem lehetséges.
Itt kell még szóljunk a párhuzamossági osztályokról: a rögzített e egyenessel párhuzamos egyenesek halmaza alkotja e párhuzamossági osztályát. Minden egyenes pontosan egy párhuzamossági osztályba tartozik. Fordítva, a párhuzamossági osztályokat bármely elemükkel reprezentálhatjuk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számokat reprezentáltuk a törtkifejezéseinkkel.


A középpontos vetítés. Elsőként a korai reneszánsz olasz mesterei tűzték ki maguk elé célul a az őket körülvevő tér valósághű ábrázolását. A perspektivikus ábrázolás feltalálásának leglényegesebb eleme a látás és a középpontos vetítés (centrális projekció) kapcsolatának felfedezése volt. Emellett az olasz festők lényegében megértették, hogy hogy viselkednek az alapvető geometriai objektumok (egyenes szakaszok, körívek) a középpontos vetítés során.
Figure
Figure 2: A középpontos vetítés a tér pontjait képezi le egy rögzített Σ képsíkra egy rögzített vetítési középpontból. (Albrecht Dürer: A lantrajzoló. Fametszet.)
Ismét hangsúlyozzuk, hogy a térbeli geometriai objektumokat egyszerűen pontok halmazaiként tekintjük. Rögzítsünk egy térbeli Σ síkot és egy rajta kívül eső S pontot. Ekkor a Σ síkra vett, S középpontú középpontos vetítés egy olyan leképezés, mely a térbeli P ponthoz a Σ síknak azon P' pontját rendeli hozzá, amit az SP egyenes metsz ki Σ-ból. (Ld. . ábrát.) Ezzel a gyakorlatban is roppant hasznos leképezéssel kapcsolatosan a legnagyobb nehézségeket pontosan a párhuzamosság jelensége okozza. Az első ilyen nehézség a leképezés jóldefiniáltsága, hiszen bizonyos P pontok esetén az SP egyenes párhuzamos lesz a Σ síkkal, és ekkor a P' képpont nem értelmezett. A második nehézség az az észrevétel, miszerint párhuzamos egyenesek képe nem feltétlenül lesz párhuzamos. Szerencsére ezen utóbbi probléma pontos megértése kijelöli a megoldáshoz vezető utat is. Azt tapasztaljuk ugyanis, hogy egy párhuzamossági osztályba eső egyenesek középpontos vetületei vagy maguk is egy párhuzamossági osztályt alkotnak, vagy pedig egy közös pontra illeszkednek, ld. . ábrát. Ez motiválja azt a gondolatot, hogy az egy párhuzamossági osztályba tartozó egyeneseket egy "végtelen távoli" pontra illeszkedő egyenesseregnek tekintsük.
Figure
Figure 3: A középpontos vetítés párhuzamos egyenesek egy e,f,g, seregét a Q ponton átmenő e',f',g', egyenesseregbe viszi. Vegyük észre, hogy a a Q-t azon S-en átmenő egyenes metszi ki a képsíkból, amely párhuzamos e,f,g-vel.
Azt találjuk, hogy a végtelen távoli pontok és egyenesek bevezetése egyrészről teljesen megoldja a középpontos vetítés (és így a perspektivikus ábrázolás) kapcsán felmerülő felmerülő geometriai problémákat, másrészről viszont a végtelen fogalmának előkerülése kapcsán generál némi filozófiai problémát. Mivel ez kívül esik a matematikus kompetenciáján, ezért csak annyit hangúlyozunk, hogy matematikai értelemben a "végtelen távoli pont" csupán egy átnevezése a párhuzamossági osztály fogalmának, míg az "ez az egyenes illeszkedik arra a végtelen távoli pontra" egy új tartalom nélküli átfogalmazása az "ez az egyenes benne van abban a párhuzamossági osztályban" mondatnak.


A középpontos vetítés alaptulajdonságai. Emlékeztetünk rá, hogy a középpontos vetítést egy olyan leképezésként definiáltuk, melynek értelmezési tartománya a tér ponthalmaza, értékkészlete pedig a rögzített Σ sík ponthalmaza. Ennek a leképezésnek a legfontosabb tulajdonsága, hogy egyenestartó, azaz ha a P,Q,R, pontok egy egyenesre esnek, akkor a P',Q',R', képeik is a Σ sík egy egyenesére fognak esni. Ezen túlmenően leginkább olyan tulajdonságokat tudunk felsorolni, amikkel a középpontos vetítés nem rendelkezik: nem őrzi meg a pontok távolság, a szakaszok arányát, a szögeket, és, mint már mondottuk, a párhuzamosságot sem. Matematikai szempontból fontos, de itt minden magyarázat nélkül említjük csak meg, hogy megőrzi négy darab egy egyenesre eső pont kettősviszonyát.
A további tárgyaláshoz két pontban változtatnunk kell a középpontos vetítés fogalmán. Először is, a továbbiakban értelmezési tartományként egy rögzített Π síkot veszünk. Legyenek tehát adva a Π,Σ síkok és a rájuk nem illeszkedő S pont és jelölje Π S Σ az S középpontból történő vetítést a Π-ről a Σ-ra. Π-t a vetítés tárgysíkjának, Σ-t pedig a képsíkjának nevezzük. A másik újdonság, hogy megengedjük, hogy a vetítés S középpontja végtelen távoli pont legyen. Ugyebár ez azt jelenti, hogy S-nek egy párhuzamossági osztály felel meg. Ekkor bármely Π-beli P ponton át egyetlen e egyenes megy, amely beletartozik az S-nek megfelelő párhuzamossági osztályba. A P vetülete az a Σ-beli P' pont lesz, amit az e metsz ki Σ-ból. Láthatjuk tehát, hogy végtelen távoli középpont esetén a vetítésünk nem más, mint egy párhuzamos vetítés.
Függetlenül attól, hogy a vetítés S középpontja közönséges vagy végtelen távoli pont, azt látjuk, hogy ha a Π S Σ vetítés a Π sík P pontját a Σ sík P' pontjába viszi, akkor a Σ S Π vetítés a P' a P-be fogja vinni. Ezt röviden úgy fejezzük ki, hogy a Π S Σ és a Σ S Π vetítések egymás inverzei.
Végezetül egy triviálisnak tűnő észrevétel. Ha a tárgysík és képsík megegyezik, Π=Σ, akkor a középpontos vetítés az identikus leképezés, azaz minden P pont képe saját maga. Emlékeztetünk arra, hogy a mozgások vizsgálatában is volt jelentősége annak, hogy az identikus leképezést mozgásnak tekintettük, illetve, hogy a definíciónk szerint minden mozgás inverze is mozgás volt.


Síkbeli alakzatok vetületi képei. Most megvizsgáljuk azt a kérdést, hogy
(*)
adott A síkbeli alakzatnak milyen alakzatok lehetnek a középpontos vetületi képei?
Mint említettük, egyetlen triviálisnak nevezhető eset van: egyenes vonal középpontos vetülete mindig egyenes vonal. Azonban már a körvonal vetületeinek vizsgálata egy érdekes eredményekre vezet. Azt találjuk ugyanis, hogy a körvonal középpontos vetülete ellipszis, hiperbola vagy pedig parabola lesz, függően attól, hogy az S középpont és a Σ képsík hogyan helyezkednek el körvonalhoz képest. (Az ellipszis, a parabola és a hiperbola geometriai definíciójában nem megyük bele, csak hangsúlyozzuk, hogy a kört magát is egy speciális ellipszisnek tekintjük. A három görbét koordinátarendszerben ábrázolva láthatjuk . ábrán.)
FigureFigureFigure
Figure 4: Az ellipszis, a parabola és a hiperbola megjelenítése a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben. Ezen a három görbosztály együtt alkotja a kúpszeletek osztályát.
Pontosítsuk egy kicsit a (*) kérdést:
(**)
Adottak az A és B síkbeli alakzatok. Előállhat-e B mint az A alakzat középpontos vetületi képe?
Matematikailag ezt a kérdést kétféleképpen tudjuk érteni. Az egyik értelmezés szerint a két alakzat rögzített a térben, ők egyértelműen meghatározzák az őket tartalmazó Π,Σ síkokat, és nekünk úgy kell egy S pontot keresnünk a térben, hogy a Π S Σ vetítés A-t B-be vigye.
A másik értelmezés szerint az, hogy az A,B alakzatok adottak, az az egyenlőnek tekintés erejéig értendő, vagyis olyan Π S Σ vetítést keresünk, amely az A' alakzatot a B' alakzatba viszi, ahol is AA', BB' teljesül. Más szóval, keressük az S pontot, a Π,Σ síkokat a térben, és az A',B' alakzatokat a két síkban úgy, hogy A egybevágó A'-vel, B egybevágó B'-vel és a Π S Σ vetítés A'-t B'-be vigye. (Megjegyezzük, hogy mindkét értelmezés nagyon "matematikus", a valóságban legtöbbször csak kicsiny szabadságunk van az S, a Π és a Σ megválasztásakor.)
Térjünk vissza a fenti példánkhoz: már tudjuk, hogy egy kör középpontos vetületeinek osztálya magába foglalja az ellipszisek, a parabolák és a hiperbolák osztályait, és ez az állítás igaz a kérdésünk mindkét interpretációja mellett. Még azt sem nagyon nehéz megmutatni, hogy ez a teljes válasz, azaz egy kör vetülete nem is lehet más, csak ellipszis, parabola vagy hiperbola. Ezen három osztály egyesítésével kapjuk az ún. kúpszeletek osztályát. A kúpszeletek egy igen lényeges tulajdonsággal bírnak a vetítésre nézve: bármely kúpszelet középpontos vetület ismét kúpszelet lesz. Ezt röviden úgy szoktuk kifejezni, hogy a kúpszeletek osztálya zárt, vagy invariáns a vetítésre nézve.
A geometriában már az 1870-es évektől programként volt megfogalmazva, 1 hogy a geometriai transzformációkat az invariánsaik leírásával kell jellemezni, majd ez a módszer kiterjedt a matematika több ágára is, és a mai napig nagy népszerűségnek örvend.


A projektív ekvivalencia. Visszatérve a (**) kérdésre megállapíthatjuk, hogy a kérdés egyik értelmezésére sem tekinthető nagyon könnyűnek. Dolog kezelésére a következő ötlet adódik: Rögzítsük a Σ síkot és tekintsük azon ϕ leképezések halmazát, melyeknek mind az értelmezési tartományuk, mind pedig az értékkészletük Σ, és amelyek előállnak középpontos vetítések egymásutánijaként. Ez azt jelenti, hogy ϕ-t megkapjuk, ha egymás után elvégezzük a megfelelő S0 , S1 , S2 , térbeli pontok és Σ1 , Σ2 , térbeli síkokkal vett
Σ S0 Σ1 , Σ1 S1 Σ2 , Σ2 S2 Σ3 ,, Σn Sn Σ

középpontos vetítéseket. Könnyű meggondolni, hogy ebben a sorrendben ezek e vetítések összefűzhetők, hiszen mindegyik képsíkja egyben az utána következő tárgysíkja.
Ezen ϕ leképezéseket a Σ sík projektív leképezéseinek nevezzük. A projektív leképezések már rendelkeznek a mozgásoknál látott három lényeges tulajdonsággal:
  1. Az identikus leképezés projektív leképezés.
  2. Egy projektív leképezés inverze is projektív leképezés. Csakugyan, ha a ϕ leképezést Σ S1 Σ1 , Σ1 S2 Σ2 , Σ2 S3 Σ3 , a vetítések egymásutánijaként állítjuk elő, akkor a ϕ-1 inverzet előállítandó ugyanezeket a vetítéseket kell "visszafele" alkalmazni, a fordított sorrendben.
  3. Két projektív leképezés egymásutánija is projektív leképezés. Ez a tulajdonság is könnyen látható, hiszen ha a ϕ1 leképezés a Σ S1 Σ1 , Σ1 S2 Σ2 , vetítések egymásutánija, a ϕ2 pedig a Σ S1 Π1 , Π1 S2 Π2 , vetítések egymásutánija, akkor a ϕ1 , ϕ2 egymásutánija előállítható, mint az összes
    Σ S1 Σ1 , Σ1 S2 Σ2 ,,Σ S1 Π1 , Π1 S2 Π2 ,

    vetítés egymásutánija.
Ez a három tulajdonság motiválja, hogy az egybevágósági reláció mintájára bevezessük a projektív ekvivalencia fogalmát: azt mondjuk, hogy két Σ-beli alakzat projektívan ekvivalens, ha projektív leképezéssel (azaz középpontos vetítések egy sorozatával) az egyik a másikba vihető. A projektív ekvivalencia ekvivalenciareláció, ez teljesen hasonlóan látható be, mint azt tettük az egybevágósággal.
A projektív geometria két lényeges tételét tudjuk most megfogalmazni:
  1. Bármely két kúpszelet projektívan ekvivalens.
  2. Bérmely két síkbeli négyszög projektívan ekvivalens, azaz bármely két általános helyzetű pontnégyes középpontos vetítések egy sorozatával egymásba vihető.


Záró megjegyzések. Először is nyomatékosan hangsúlyozzuk, hogy a látszat ellenére a projektív leképezések fogalmának bevezetésével a kérdést csakugyan leegyszerűsítettük, hiszen innentől minden a rögzített Σ síkon történik, és ezen sík ponthalmazának önmagára vett bizonyos leképezéseit vizsgáljuk, amire kiterjedt matematikai eszköztár áll rendelkezésünkre. Meglepően kellemes továbbá ezen leképezésekkel számolni a Σ sík egy rögzített koordinátarendszerében.
A másik megjegyzésünk, hogy a projektív ekvivalencia számos esetben ténylegesen ugyanolyan szerepet tölt be, mint az egybevágóság az eukleidészi geometriában, azaz két projektívan ekvivalens alakzatra egyenlőként kell gondolnunk. Ez kezdetben természetesen szokatlan, hiszen például egy kör és egy hiperbola hagyományos geometriai szempontból nem sok hasonlóságot mutat - hogy a kettőt egyenlőnek lássuk, meg kell találni a megfelelő perspektívát. Ehhez a matematikusnak nincs másra szüksége, mint jól megtanulni számolni a projektív leképezésekkel.

Footnotes:

1 Felix Klein német matematikus 1872-ben, egyetemi székfoglaló előadásában fogalmazta meg az ún. Erlangeni Programot.


File translated from TEX by TTM, version 3.67.
On 1 Feb 2015, 16:47.