Bemutatkozás
Oktatás
Aktuális félév
Korábbi félévek
Oktatási segédanyagok
Szakdolgozat és diplomamunka témák
Tantárgy követelmények
Research -- Kutatás
Kerékjártó Béla Geometria Szeminárium
Dinamikus feladatsorok

Korábbi félévek


Konstruktív- és komputergeometria előadás

Időpont: Szerda 14-16. Helyszín: Haar-terem.

Fogalmak

A közönséges sík és tér végtelen távoli pontjai, egyenesei. A projektív tér. Vetítések a közönséges és a projektív térben. Kollineációk, projektív transzformációk. Centrális-axiális kollineációk. Középpontos és merőleges nyújtás. Affin transzformációk.

A persektív ábrázolás. Möbiusz-rács. Az axonometrikus ábrázolás. A Monge-féle ábrázolás. Pont és egyenes képe, nyompont, nyomegyenes. Rotációk. Eckhart-féle eljárás.

Bernstein-polinomok. Polinomiális görbék, görbe foka. Bézier-görbe, kontrollpontok, De Casteljau-algoritmus, De Casteljau-pontok. Konvex burok, affin invariancia. Görbe felosztása, rangemelés.

Összetett Bézier-görbék. Vizulális folytonosság, k-szorosan sima görbék. Bézier-négyszögfelületek, paramétervonalak. Szplájnfelületek.

Irodalom

A kurzus anyaga és felépítése szorosan követi a

Kurusa Árpád-Szemők Árpád: A számítógépes ábrázológeometria alapjai. Polygon, Szeged, 1999.

tankönyvet. A könnyebb megértést segíti elő a könyvhöz általam írt, és a honlapomról letöltehető Kiegészítések A számítógépes ábrázológeometria alapjai c. jegyzethez segédanyag.

Bizonyítandó tételek
  1. Tengelyes kollineációk létezése: Adott t,P,P',C a projektív síkon. Ekkor pontosan egy tengelyes kollineáció létezik, melynek tengelye t, centruma C és a P-t a P'-be viszi.
  2. A vetítések (perspektivitások) jellemzése: Adott egy projektív leképezés két projektív térbeli sík között. Ez akkor és csak akkor vetítés, ha a síkok metszésvonalának minden pontja fixpont.
  3. A perspektivitások alaptétele: Adott a tárgysíkon egy konvex négyszög, melynek legalább egy szemközti oldalpárja nem párhuzamos. Ekkor a szempont megfelelő választásával elérhető, hogy a négyszög képe a képsíkon egységnégyzet legyen.
  4. Az axonometria alaptétele: Adott a képsíkon négy általános helyzetű pont. Ekkor létezik a térben olyan kocka, melynek egy csúcsa és a vele szomszédos másik három axonometrikus képe a négy adott pont.
  5. Möbiusz-rács szerkesztése négy pontból: A Möbiusz-rács egyetlen cellájának négy csúcsából megszerkeszthető.
  6. Kontrollpontokkal adott Bézier-görbe egyenlete és alaptulajdonságok: Egyenlet, konvex burokban maradás, affin invariancia.
  7. Kontrollhálóval adott Bézier-négyszögfelület egyenlete és alaptulajdonságok: De Casteljau-algorimus, egyenelet, konvex burokban maradás, affin invariancia, paraméter vonalak kontrollpontjai.
  8. Összetett köbös Bézier-görbék: Adott a beosztás, a csomópontok, valamint a csomópontokban az érintővektorok. Ekkor ezen csomópontokkal, beosztással és érintővektorokkal pontosan egy folytosan differenciálható összetett köbös Bézier-görbe van.
Minta vizsga feledatsor (a május 21-i feledatok)

1. Definiálja a projektív és az affin leképezés fogalmát. Mutassa meg, hogy a projektív leképezések egyenestartóak. (4+3+3 = 10 pont)

2. Definiálja az összetett Bézier-görbe és a sima illesztés fogalmát. (5+5 = 10 pont)

3. Írja le a DeCasteljau-algoritmust és vezesse le a kontrollpontjaival adott Bézier-görbe képletét. (5+5 = 10 pont)

4. Mondja ki és bizonyítsa be a vetítéseket jellemző tételt. (3+7 = 10 pont)