MMN252E/G: Parciális differenciálegyenletek (2016. tavasz)

Hétfő 16-18. Kedd: 14-16

Tematika:

A matematikai fizika modellegyenleteire kitűzött kezdeti érték-problémák egzisztencia, unicitás és stabilitás-vizsgálatai (húrrezgés, hővezetés, Laplace egyenlet és transzformáltjaik) korlátos ill. nemkorlátos idő-változó esetén. Cauchy problémák analitikus megoldásai, "kezdeti érték"-feltételek nem karakterisztikus állású felületeken. Félvégtelen ill. véges húrok rezgései (reflexiós módszer, Fourier módszer, a Duhamel elv). Membránok rezgései. Többdimenziós alakzatok rezgései, hullámterjedés páros és páratlan térdimenziókban; a leereszkedés módszere; a megoldások simasági vizsgálata. Hővezetési és diffúziós problémák. Maximum-minimum elv általános lineáris és nemlineáris parabolikus egyenletekre. Forrásfüggvény és szerepe a hővezetés egyenletére kitűzött Cauchy probléma megoldásának előállításában; a Poisson integrál, hőpotenciálok. A megoldások simaságának vizsgálata. Stacionárius hőeloszlás, a Laplace egyenlet és alapmegoldása. Harmonikus, szuper- és szubharmonikus függvények. A Green-függvény. A belső Dirichlet probléma megoldása tetszőleges dimenziós gömbben (a Poisson formula). Harnack tételei, a Harnack egyenlőtlenség, a Liouville tétel; harmonikus függvények sorozatai. A külső és belső Dirichlet és Neumann problémák unicitás-vizsgálata. Általánosított megoldások, energia módszerek. Feladatok megoldása a Fourier módszerrel, Laplace és Fourier transzformálttal.

Irodalom:

Walther Strauss, Partial Differential Equations, Second Edition, John Wiley & Sons, New York, 2008.
L.C. Evans Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Amer. Math. Soc. 1998.

Gyakorlat:

Gyakorlatra járni kötelező. Legfeljebb 3, igazolt hiányzás lehet.

A gyakorlat teljesítésének feltétele:

Legalább 50 pont teljesítése (a maximális 100-ból) a félév során.
A 100 pont 2 dolgozat megírásával és a házi feladatok beadásával szerezhető meg.
Dolgozat: 40 pont, házi feladatok 60 pont.

Letölthető vázlat:

Térfogat, felszín, Green formulák: T-F-G

Házi feladatok:

1-2-3. a Strauss-könyvből megadott feladatok.
4. 4. Hf
5. 5. Hf
6. 6. Hf
6. 7. Hf

Eredmények:

MBN521G-1