MMN252E/G: Parciális differenciálegyenletek (2014. tavasz)

Hétfő 16-18, kedd 14-16

Tematika:

A matematikai fizika modellegyenleteire kitűzött kezdeti érték-problémák egzisztencia, unicitás és stabilitás-vizsgálatai (húrrezgés, hővezetés, Laplace egyenlet és transzformáltjaik) korlátos ill. nemkorlátos idő-változó esetén. Cauchy problémák analitikus megoldásai, "kezdeti érték"-feltételek nem karakterisztikus állású felületeken. Félvégtelen ill. véges húrok rezgései (reflexiós módszer, Fourier módszer, a Duhamel elv). Membránok rezgései. Többdimenziós alakzatok rezgései, hullámterjedés páros és páratlan térdimenziókban; a leereszkedés módszere; a megoldások simasági vizsgálata. Hővezetési és diffúziós problémák. Maximum-minimum elv általános lineáris és nemlineáris parabolikus egyenletekre. Forrásfüggvény és szerepe a hővezetés egyenletére kitűzött Cauchy probléma megoldásának előállításában; a Poisson integrál, hőpotenciálok. A megoldások simaságának vizsgálata. Stacionárius hőeloszlás, a Laplace egyenlet és alapmegoldása. Harmonikus, szuper- és szubharmonikus függvények. A Green-függvény. A belső Dirichlet probléma megoldása tetszőleges dimenziós gömbben (a Poisson formula). Harnack tételei, a Harnack egyenlőtlenség, a Liouville tétel; harmonikus függvények sorozatai. A külső és belső Dirichlet és Neumann problémák unicitás-vizsgálata. Általánosított megoldások, energia módszerek. Feladatok megoldása a Fourier módszerrel, Laplace és Fourier transzformálttal.

Irodalom:

L.C. Evans Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Amer. Math. Soc. 1998.
G.B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations, Princeton Univ. Press, 1995.

Gyakorlat:

Gyakorlatra járni kötelező. Legfeljebb 3, igazolt hiányzás lehet.

A gyakorlat teljesítésének feltétele:

Legalább 25 pont teljesítése (a maximális 50-ből) a félév során.
Az 50 pont 2 dolgozat megírásával és a házi feladatok beadásával szerezhető meg.
Dolgozatok: 15-15 pont, házi feladatok 20 pont.

Házi feladatok:

2. Hf
3. Hf
4. Hf
5. Hf