A tetraéder súlypontja Induljunk ki a Descartes-féle 3 dimenziós derékszögű koordináta-rendszerből! Vegyünk egy szabályos tetraédert, melynek csúcsai legyenek $A, B, C$ és $D$, a koordináta-rendszer origóját jeöljük $O$-val, s az $O$-ból a csúcsokba mutató vektorokat jelöljük rendre $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}$ vektorokkal. Tudjuk, hogy a tetraéder lapjait alkotó háromszögek $S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ súlypontjaiba mutató vektorok rendre $$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS_{A}} & = & \frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mat... ...htarrow{OS_{D}} & = & \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}.\end{eqnarray*}$$ A tetraéder súlypontját az $AS_{A}, BS_{B}, CS_{C}, DS_{D}$ szakaszok metszéspontjaként definiáljuk, meggondolható, hogy ezeknek a szakaszoknak valóban van metszéspontjuk, mégpedig egyetlen egy. Jelöljük ezt a pontot $S$-sel. Mivel $S$ illeszkedik az $AS_{A}$ szakaszra, előállítható $\mathbf{a}+x\cdot\overrightarrow{AS_{A}}$ alakban, ahol $x$ $0$ és $1$ közötti valós szám. Hasonlóan, $S\in CS_{C}$ miatt előállítható $\mathbf{c}+y\cdot\overrightarrow{CS_{C}}$ alakban is ($y\in[0,1]$). De $\overrightarrow{AS_{A}}=\overrightarrow{OS_{A}}-\mathbf{a}$ és $\overrightarrow{CS_{C}}=\overrightarrow{OS_{C}}-\mathbf{c}$, vagyis a fentiek alapján az $$\overrightarrow{OS}=\mathbf{a}+x\cdot\overrightarrow{AS_{A}}... ...ft(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}-\mathbf{a}\right)$$ és az $$\overrightarrow{OS}=\mathbf{c}+y\cdot\overrightarrow{CS_{C}}... ...ft(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{d}}{3}-\mathbf{c}\right)$$ egyenletekhez jutunk. A jobb oldalakat egyenlővé téve az $$\mathbf{a}+x\cdot\left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d... ...ft(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{d}}{3}-\mathbf{c}\right)$$ egyenlőség adódik, amelyben minden egyes vektort egy oldalra rendezve az $$\mathbf{a}\left(1-x-\frac{y}{3}\right)+\mathbf{b}\left(\frac... ...ight)+\mathbf{d}\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{3}\right)=\mathbf{0}$$ összefüggést kapjuk. Ez $$\mathbf{a}\left(1-x-\frac{y}{3}\right)+\frac{\mathbf{b}+\mat... ...{y}{3}\right)+\mathbf{c}\left(\frac{x}{3}-1+y\right)=\mathbf{0}$$ alakba is írható. Az $O$ pont, továbbá az $\mathbf{a}$, ${\displaystyle \frac{\mathbf{b+d}}{2}}$ és $\mathbf{c}$ vektorok általános helyzetben nem esnek egy síkba, mivel a középső vektor éppen a $BD$ oldal felezőpontja (nagyon speciális esetben előfordulhat, hogy egy síkba esnek). Emiatt általában ezen három vektor lineáris kombinációja (vagy másképpen: súlyozott összege) csak úgy lehet a nullvektor, ha a súlyok mindegyike 0. Ebből pedig az adódik, hogy -- mivel ${\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{3}=0}$ -- $x=y$, továbbá -- például ${\displaystyle 1-x-\frac{y}{3}=1-x-\frac{x}{3}=0}$ miatt $x=y={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Ebből világosan látszik, hogy az $S$ pont éppen negyedeli a tetraéder súlyvonalait. A fentiek alapján most már az is látszik, hogy $$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS} & = & \mathbf{a}+x\cdot\left(\frac{\mathbf... ...\\ & = & \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{4},\end{eqnarray*}$$ azaz a tetraéder súlypontjába mutató vektor éppen a csúcsokba mutató vektorok átlaga. (Vegyük észre, hogy sehol sem használtuk ki a tetraéder szabályos voltát, tehát eredményünk általánosnak is tekinthető, tetszőleges tetraéderre. A képlet pedig abban az esetben is ,,működik'', ha az $O$, illetve az $\mathbf{a}$, ${\displaystyle \frac{\mathbf{b+d}}{2}}$ és $\mathbf{c}$ vektorok egy síkba esnének.) Ha a kapott eredményt összevetjük a két pont (szakasz) illetve három pont (háromszög) súlypontjára kapott képletekkel, könnyen általánosíthatunk: Tetszőleges homogén poliéder súlypontját meghatározhatjuk úgy, hogy a csúcsokba mutató vektoroknak a számtani közepét vesszük.