Komplex-komplex függvények iterációja
A cím semmi bonyolultat nem takar. Vegyünk egy olyan f függvényt, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is a komplex számok halmaza. Képezzük le a teljes komplex síkot f szerint, azaz minden egyes p pontra számítsuk ki f(p)-t! Ha most az f leképezést ismét, majd újra és újra végrehajtjuk (iteráljuk), akkor a komplex számsík minden egyes p pontja az f(f(f(...f(p)...))) pontba kerül. A továbbiakban azzal foglalkozunk, hogy (esetleg végtelen) sok iteráció hogyan változtatja meg a sík pontjai közötti viszonyokat.
A következõkben vizsgált iteráció tulajdonképpen a fentinél általánosabb, mivel itt a p ponthoz az f(f(f(...f(p,p)...,p),p),p) iterált képpont tartozik. Speciálisan f(q,p)=p+q2, ami a Mandelbrot-halmaz generáló függvénye: egy p komplex szám pontosan akkor van a Mandelbrot-halmazban, ha a p-hez tartozó iterált képpontok sorozata (1,2,3,... iterációra) nem divergens.
Az iteráció viselkedését természetesen több módon kutathatjuk. Egy kézenfekvõ módszer a következõ: a komplex számsík pontjaihoz színeket rendelünk, lehetõleg olyan módon, hogy az jól kifejezze a 0. iteráció (identikus leképezés) "homogén" jellegét, null-tulajdonságát. Az iteráció során a mozgó komplex számokat a színes mozgó pontokkal jellemezzük.
A példában ezt a null-színezést úgy adjuk meg, hogy az origóban lévõ pont fehér, a többi pont pedig szürke: annál sötétebb egy p ponthoz tartozó szín, minél távolabb van p az origótól (a 0 komplex számtól). Technikai okok miatt a komplex sík nullszínezése természetesen csak véges lehet, itt ez egészen pontosan az alábbi:
(A kép 320x200 képpontos, melyen az egységet 80 képpontnak vesszük fel.)
A fentiek alapján már meghatározott elsõ, második stb. színezéseket az alábbi ábrák mutatják (az elsõ 10 iterációig). (Igazából ezeken az ábrákon az iterációk inverzeinek megfelelõ színezések láthatók: ez is nagyon sokat elárul a fenti iteráció természetérõl.)
A fenti függvény helyett persze ezernyi más érdekes tulajdonságút megadhatunk. Az f(p)=a/p+b definícióval leírt iterációnak (a és b paraméter) az egyik különlegessége az, hogy csak egyetlen lépést érdemes vizsgálni: ez a leképezés éppen a síkgeometriai inverzió, ezért az iterációra - hasonlóság erejéig - invariáns.