Klasszikus és lineáris algebra feladatok
(1997/98-as tanév, I. félév)

A feladatsorokat DVI-formátumban készítettem el, nem a Microsoft Word jól ismert DOC-dokumentum formájában. Ezért ezek az anyagok az Irinyi Kabinet két X-terminálos termében olvashatók csak el, pontosabban minden X Window/UNIX rendszeren, ahol az xdvi program telepítve van (MS Windows-os környezetben a TeX programcsomag szükséges). Az utolsó feladatsor postscript formátumú, amely szintén speciális programmal olvasható csak el, ha nem az X-terminálokról próbálkozol.

1. óra: három kedvcsináló, gondolkodtatóbb példa (ezeket el lehet olvasni DVI-olvasó nélkül is):

1. Keressünk olyan függvényt, melynek értelmezési tartománya a (0,1) (nyitott), értékkészlete a [0,1] (zárt) intervallum!
2. Számoljuk ki, hány megoldása van az a+b+c+d+...+z=1997 egyenletnek, ha tudjuk, hogy minden ismeretlen egész szám, és egyik sem negatív.
3. A 15-ös a játék (lásd az ábrát)
   egy híján 4x4 számozott lapocskából áll,
   a 16. lapocska helye üres. Az a cél, hogy
   a számokat - az üres helyre való
   tologatásokkal - összekeverve rendezetlen
   állapotból rendezettbe jussunk el
   (akárcsak pl. a Rubik-kockánál).
   Egy sajnálatos véletlen folytán a lapocskák
   kiestek az õket tartó tokból, aki pedig ismét
   "összeszerelte" a játékot, véletlenszerûen
   (tehát nem az ábrán látható sorrendben)
   tette vissza a lapocskákat a tokba.
   Kérdés: mennyi esélyünk van arra, hogy
   a játék újra szétszedése nélkül az ábrán
   látható helyzetbe toljuk vissza
   a lapocskákat?
   (Természetesen feltételezzük, hogy ha
   a feladat megoldható, akkor képesek is
   vagyunk "kirakni" az ábrán látható
   helyzetet.)
4. Keressünk összegképletet az első n köbszám összegére, majd bizonyítsuk be sejtésünket teljes indukcióval!

Az 1-2. órai (teljes indukciós) feladatsor (DVI-formátumban)

A 2-3. óra feladatai a Diszkrét matematika c. könyv 152-153. oldalán találhatók meg (1-14. példa).

A 3-4-5. órai feladatokat ugyanezen könyv 153-154. oldaláról fénymásoltam. A 15-17. sorszámú példákkal is érdemes megpróbálkozni. Elemi kombinatorikai példákat szintén a Diszkrét matematika könyvben lehet (bőséggel) találni a 119-122. oldalakon. (Ezen feladatok közül néhány, illetve hasonló példák megoldásai pl. a Vilenkin: Kombinatorika, a Solt György: Valószínűségszámítás és a Hajnal Péter: Válogatott elemi kombinatorikai feladatok c. könyvekben találhatók.)

A 6-7. órán a Diszkrét matematika könyv 68-70. oldalán lévő első 13 feladatot néztük meg, illetőleg ezek egy része házi feladat.

A 8. órán a 72-73. oldal feladatait dolgoztuk fel. Kiadtam egy 12 példából álló "bijekciós" feladatsort is.

A 9. és 10. órán a 99-101. oldalról néztünk feladatokat (szintén a DM könyvbõl): az 1-7. példát.

A második ZH utáni órákon algebrai struktúrákkal és determinánsokkal foglalkoztunk. Az utóbbi témához feladatokat Freud Róbert: Lineáris algebra és Szendrei János: Algebra és számelmélet könyvébõl javaslok nézni.