MATEMATIKA KÖRNYEZETTUDÓSOKNAK 2.
zárthelyi dolgozat, megoldókulcs
2004. március 8. (45 perc)

Számítsuk ki annak a háromszögnek a területét, amely csúcsainak koordinátái:

$\begin{displaymath} A(4;2),\, B(-1;5),\, C(-3;1).\end{displaymath}$

A skaláris szorzat felhasználásával számítsuk ki a háromszög legnagyobb szögét! (10)
Megoldás. A háromszög területét legegyszerűbben így számíthatjuk ki (3):

$\begin{eqnarray*} t & = & \frac{\left\vert\begin{array}{rrr} 4 & -1 & -3\\ 2 & ... ...cdot5+(-1)\cdot1+(-3)\cdot2-4\cdot1-(-1)\cdot2-(-3)\cdot5}{2}=13.\end{eqnarray*}$

A háromszög leghosszabb oldalát úgy állapítjuk meg, hogy a Pitagorasz-tétellel meghatározzuk az egyes oldalak hosszúságát (sőt, elegendő csupán azok négyzetét kiszámítani). Azaz $AB^{2}=5^{2}+3^{2}=34$ , $BC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$ , $CA^{2}=7^{2}+1^{2}=50$ (1), ebből a leghosszabb oldal (1), és mivel nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van (középiskolából tudjuk), a legnagyobb szög a $\beta$ (1). Most egyrészt $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\left\vert BA\right\vert\cdot\left\... ...rt\cdot\cos\beta=\sqrt{34}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos\beta=\sqrt{680}\cdot\cos\beta$ (1), másrészt $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(5;-3)\cdot(-2;-4)=5\cdot(-2)+(-3)\cdot(-4)=-10+12=2$ (1). Ebből $\cos\beta=2/\sqrt{680}=1/\sqrt{170}$ , amiből $\beta\approx85,60^{\mathrm{o}}$ (2).
Adott az $\mathbf{a}(-1,2,3),\,\mathbf{b}(2,1,1)$ és a $\mathbf{c}(3,4,5)$ vektor. Igaz-e, hogy ez a vektorhármas lineárisan független rendszert alkot? (8)
Megoldás. Az $\alpha(-1,2,3)+\beta(2,1,1)+\gamma(3,4,5)=(0,0,0)$ egyenletrendszert kell megoldanunk (1), ami ekvivalens a

$\begin{eqnarray*} -\alpha+2\beta+3\gamma & = & 0,\\ 2\alpha+\beta+4\gamma & = & 0,\\ 3\alpha+\beta+5\gamma & = & 0\end{eqnarray*}$

egyenletrendszerrel (1). A megoldás: $\alpha=-\gamma$ , $\beta=2\gamma$ , ahol $\gamma$ tetszőleges valós szám (4). Emiatt a vektorhármas nem lineárisan független (1), hiszen pl. (1) az $\alpha=-1$ , $\beta=2$ , $\gamma=1$ súlyok választásával a három vektor lineáris kombinációja a nullvektort adja.
Adjuk meg az
1. $f(x)=7x-x^{2}+3e^{5x-8}$ ,
2. $g(x)=\mathrm{tg}(2x+1)+{\displaystyle \frac{2}{x}}$
függvények egy határozatlan integrálját (primitív függvényét). (10)
Megoldás.

$\begin{displaymath} {\displaystyle \int}f(x)dx={\displaystyle \frac{7x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3e^{5x-8}}{5}}+C\,\mathbf{(2+1+2)},\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} {\displaystyle \int}g(x)dx={\displaystyle \frac{-\ln\left\ve... ...\right\vert}{2}+2\ln\left\vert x\right\vert+C}\,\mathbf{(3+2)}.\end{displaymath}$
Rajzoljuk fel a $\mathrm{sin}\, x$ és $\mathrm{cos}\, x$ függvények grafikonját. Az és az $x=2\pi$ pontok között két olyan pillanat is lesz, amikor a két grafikon metszi egymást. Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amelyet a két grafikon fog közre a ezen két metszéspont között. (8)
Megoldás. A két kérdéses pont az $x=a=\pi/4$ és az $x=b=5\pi/4$ pillanat lesz (2). A feladatunk tehát a következő határozott integrál kiszámítása:

$\begin{eqnarray*} \int_{\pi/4}^{5\pi/4}\sin x-\cos x\, dx & = & \left[-\cos x-\s... ...{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\\ & = & 2\sqrt{2}.\,\mathbf{(5)}\end{eqnarray*}$

Ez adja meg a kérdéses mennyiséget (1).
Végezzük el a komplex osztást. (7)
Megoldás.

$\begin{eqnarray*} \frac{3+2i}{1-3i} & = & \frac{(3+2i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\fra... ...10}=\frac{-3+11i}{10}=-\frac{3}{10}+\frac{11}{10}i\,\mathbf{(3)}.\end{eqnarray*}$
Adjuk meg a komplex szám négyzetgyökeit. (7)
Megoldás. Mivel $-2i=2\left(\cos270^{\mathrm{o}}+i\cdot\sin270^{\mathrm{o}}\right)$ (3), ezért ennek négyzetgyökei a $\sqrt{2}\cdot\left(\cos135^{\mathrm{o}}+i\cdot\sin135^{\mathrm{o}}\right)=-1+i$ (2) és $\sqrt{2}\cdot\left(\cos315^{\mathrm{o}}+i\cdot\sin315^{\mathrm{o}}\right)=1-i$ (2) komplex számok.