A SZÁMTANI ÉS MÉRTANI KÖZÉPRE VONATKOZÓ EGYENLŐTLENSÉG

 

RIESZ FRIGYES-FÉLE BIZONYÍTÁSA

 

A Riesz Frigyestől származó bizonyítás igen rövid, de tanulságos.

 

Az állítás tehát az, hogy  ha  ahol  i = 1, 2, 3, …, n , akkor

.

 

Ha az a_i-k mind egyenlők, az állítás nyilvánvaló.

Tegyük föl, hogy a_i-k nem mind egyenlők. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy

 

max a_i = a₂ , min a_i = a₁ .

 

Ekkor a₁ < A_n < a₂ , ezért

 

és

 

mert

 

 .

 

A számtani közép változatlan maradt, a mértani közép pedig növekedett.

 

Ha az A_n, a₁ + a₂ – A_n, a₃, …, a_n számok nem mind egyenlők, akkor folytathatjuk az eljárást. Legfeljebb n lépés után minden előforduló szám egyenlő, az A_n mindig változatlan, a mértani közép pedig mindig növekedett, végül egyenlőség lesz. Ez azt jelenti, hogy eredetileg A_n > G_n .