Lineáris algebra informatikusoknak
(Tételjegyzék, 2005. október 20.)
- Mátrixok összege, szorzata, skalárszorosa és transzponáltja. Mátrix műveletek és tulajdonságaik.
- Determináns definíciója. Determináns egyenlő transzponáltjával.
- Determinánsok tulajdonságai.
- Determináns kifejtése, a ferde kifejtés tétele.
- A determinánsok szorzástétele, mátrixok inverze.
- Lineáris egyenletrendszerek, Gauss-elimináció, Cramer-szabály.
- Vektortér, a vektortér axiómák következményei. Altér, alterek metszete és összege. Lineáris kombináció, részhalmaz által generált altér, generátorrendszer.
- Lineárisan független és függő vektorrendszerek. Kicserélési tétel és következménye.
- Bázis, minimális generátorrendszer, maximális lineárisan független vektorrendszer. Véges dimenziós vektorterek, vektortér dimenziója, vektorok koordinátái adott bázisban.
- Vektorrendszer rangja és kapcsolata a generált altér dimenziójával. Vektorrendszerek elemi átalakításai, ekvivalens vektorrendszerek. Alterekre vonatkozó dimenziótétel.
- Lineáris leképezések és transzformációk, vektorterek izomorfizmusa. Lineáris leképezések magja és képtere. Lineáris leképezések dimenziótétele.
- Mátrix sor-, oszlop- és determinánsrangja. Rangszámtétel. Kronecker-Capelli-tétel, homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza altér, fundamentális megoldásrendszer.
- Lineáris leképezések összege és skalárszorosa, a lineáris leképezések vektortere. Az összeadás és a skalárral való szorzás leképezésszorzással kapcsolatos tulajdonságai.
- Lineáris leképezés mátrixa. Lineáris leképezések összegének, szorzatának és skalár-szorosának mátrixa.. Lineáris leképezés rangja egyenlő mátrixának rangjával.
- Bázisátmenet mátrix, lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban.
- Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja.
- Bilineáris alak, szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak.
- Kvadratikus alakok kanonikus alakja és alaptétele.
- Valós kvadratikus alakok, tehetetlenségi tétel. Valós kvadratikus alakok osztályozása. Pozitív definit kvadratikus alakok.
- Euklideszi terek, BCS-egyenlőtlenség. Ortogonális vektorrendszerek, Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció.
- Szimmetrikus lineáris transzformációk. Kvadratikus alakok főtengelytétele.