Hol tart a KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET előadás?

Február 6. Kedd

Megfeleltetés, reláció, leképezés. Injektív, szürjektív, bijektív leképezések. Leképezések szorzata (az inverze átismétlendő Bev.mat.-ból!) . Reflexív, szimmetrikus, antiszimmetrikus, tranzitív, dichotom relációk definíciója. Ekvivalenciareláció, osztályozás, részbenrendezés, rendezés definíciója. Ekvivalenciák és osztályozások kapcsolata elkezdve.

Február 8. Csütörtök

Ekvivalenciák és osztályozások kapcsolata. Részbenrendezett halmaz fedési relációja. Véges részbenrendezett halmazt fedési relációja meghatározza.

Hasse diagram. Minimális, maximális, legkisebb, legnagyobb elem definíciója. Legkisebb elem legfeljebb egy van; és ha van, akkor ő minimális és rajta kívül másik minimális elem nincs. Véges részbenrendezett halmazban létezik minimális és maximális elem. Osztó és többszörös definíciója az egész számok halmazában, tulajdonságok (11 db). Legnagyobb közös osztó definíciója. Maradékos osztás tétele. Euklideszi algoritmus.

Február 13. Kedd

A legnagyobb közös osztó előállítása a két szám lineáris kombinációjaként. Relatív prímek. Euklidesz lemmája és ezen lemmán alapuló néhány tétel. Felbonthatatlan és prímtulajdonságú pozitív egészek. A számelmélet alaptétele. Diofantoszi egyenlet. A kongruencia definíciója, a kongruencia ekvivalenciareláció, mod m maradékosztályok elkezdve.

Február 15. Csütörtök

Kongruencia alaptulajdonságai. Legkisebb közös többszörös definíciója, további tulajdonságok. Lineáris kongruencia, lineáris kongruenciarendszer, kínai maradéktétel. Teljes maradékrendszer definíciója, redukált maradékrendszer definíciója.

Február 20. Kedd

A teljes és a redukált maradékrendszer tulajdonságai. Az Euler-féle \phi függvény definíciója, tulajdonságai, kiszámítási képlete. Euler-Fermat tétel, kis Fermat tétel, Wilson tétele. Wilson tételének megfordítása bizonyítás nélkül. A rend definíciója, tulajdonságai. A primitív gyök definíciója.

Február 22. Csütörtök

Primitív gyök létezése mod p, bizonyítással. Index definíciója, fontosabb tulajdonságai. Négyzetes maradék, négyzetes nemmaradék. Legendre szimbólum definíciója, alaptulajdonságai.

Euler kritérium.

Február 27. Kedd

A Legendre szimbólum további tulajdonságai. Gauss lemma, következményei. Négyzetes reciprocitás tétele. Számelméleti függvények elkezdve (még csak a \tau és \sigma definíciója).

Március 1. Csütörtök

Kiszámítási képlet a pozitív osztók számára és a pozitív osztók összegére. Gyengén multiplikatív és multiplikatív számelméleti függvény definíciója. A \phi, \tau, \sigma gyengén multiplikatív. Összegezési függvény definíciója. Gyengén multiplikatív függvény összegezési függvénye is gyengén multiplikatív. Möbius függvény. A tanult függvények összegezési függvényei. Möbius függvény gyengén multiplikatív. Számelméleti függvények konvolúciójának definíciója. A konvolúció kommutatív, asszociatív művelet. Két gyengén multiplikatív számelméleti függvény konvolúciója is gyengén multiplikatív.

Március 6. Kedd

Möbius féle megfordítási képlet. Páros tökéletes számok. Végtelen sok prímszám van. Végtelen sok 4k-1 alakú prímszám van. Végtelen sok 4k+1 alakú prímszám van.

Március 8. Csütörtök

Dirichlet tétele bizonyítás nélkül. A szomszédos prímszámok között akármekkora hézagok előfordulhatnak. Ikerprímek. A prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens. Becslés a prímszámok számára. Prímszámtétel. Csebisev tétel. Megoldatlan problémák, Goldbach sejtés. Pythagoraszi számhármasok elkezdve.

Március 13. Kedd

Pythagoraszi egyenlet priumitív megoldásai. Fermat sejtés-tétel n=4-re (végtelen leszállással). A 4k+1 alakú prímszámok előállítása két négyzetszám összegeként (elkezdve), Thue lemmája.

Március 20. Kedd

A 4k+1 alakú prímszámok két egész szám négyzetének összegeként előállíthatók. Természetes szám két négyzetszám összegeként előállíthatóságának szükséges és elegendő feltétele. Természetes számok előállítása négy négyzetszám összegeként.Waring-problémakör. Gyengén additív és additív számelméleti függvények. A számelmélet alkalmazásai napjainkban: kódolás, titkosírások, RSA módszer, pszeudovéletlen sorozatok. Kombinatorika: ismétlés nélküli és ismétléses variáció, ismétlés nélküli és ismétléses permutáció, ismétlés nélküli és ismétléses kombináció, rendezett osztályozás, binomiális tétel, polinomiális tétel, szita-formula. CSÜTÖRTÖKTŐL KLASSZIKUS ALGEBRA !!!

Március 22. Csütörtök

Kétváltozós művelet, grupoid, félcsoport, egységelem, monoid, inverz, csoport, gyűrű, integritástartomány, test. Komplex szám kanonikus alakja, valós rész, képzetes rész, konjugált, abszolút érték, alapműveletek, komplex számsík, argumentum, trigonometrikus alak, szorzás és osztás trigonometrikus alakban adott komplex számok esetén.

Március 27. Kedd

Moivre képlete, n-edik gyökvonás trigonometrikus alakban adott komplex számból. Egységgyök, primitív egységgyök. Egységgyökök összege. Polinomok, gyűrű feletti polinomok gyűrűje. Polinomfüggvény. Integritástartomány, oszthatóság integritástartományban, a zérusosztómentesség két következménye. Egység, asszociált. Az asszociáltság ekvivalenciareláció, az egymással asszociáltak egymás egység-szeresei.

Március 29. Csütörtök

Legnagyobb közös osztó definíciója integritástartományban, , asszociáltságtól eltekintve egyértelműen meghatározott. Ln. k.o. tulajdonságai (13 db). Legkisebb közös többszörös. Euklideszi gyűrű definíciója, euklideszi gyűrűben működik az euklideszi algoritmus, két elem lineáris kombinációjaként ln.k.o. előállítható. Gauss egészek gyűrűje euklideszi. Elem által generált főideál definíciója. Főideálgyűrű definíciója. Minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű. Diofantoszi egyenlet főideálgyűrűben.

Április 10. Kedd

Lineáris kongruencia főideálgyűrűben, megoldhatóságának szükséges és elegendő feltétele. Irreducibilis illetve prím elem definíciója integritástartományban. Minden prím irreducibilis, de megfordítva nem igaz. Főideálgyűrűben minden irreducibilis elem prím. Gauss gyűrű definíciója. Minden főideálgyűrű Gauss gyűrű. (Segédtétel: ha az R integritástartomány főideáljainak minden szigorúan növő lánca véges, akkor R minden eleme előáll irreducibilisek szorzataként).

Április 12. Csütörtök

Főideálgyűrű faktorgyűrűje. Test feletti polinomgyűrű, euklideszi osztás test feletti polinomgyűrűben. Bézout tétele. Másod és harmadfokú irreducibilis polinomok. Többszörös gyök definíciója. Két polinom közös gyökei. Irreducibilis polinomok C felett: klasszikus algebra alaptétele, következményei elkezdve, gyöktényezős alak.

Aprilis 17. Kedd

Irreducibilis polinomok R felett. Irreducibilis polinomok Q felett. Scönemann és Eisenstein tétele , Rolle tétele. Viéte képletei.

Április 19. Csütörtök

Horner módszer, iterált Horner módszer. Test feletti polinomgyűrűben n-ed fokú polinomnak legfeljebb n gyöke van (multiplicitással). Végtelen test felett a polinomfüggvény egyértelműen meghatározza a polinomot. Lagrange interpoláció. Derivált polinom definíciója.

Április 24. Kedd

Többszörös gyökök. Harmadfokú egyenlet, a Cardano képlet.

Április 26.

Valós együtthatós harmadfokú egyenlet. Többszörös gyök létezésének vizsgálata tetszőleges komplex együtthatós harmadfokú egyenlet esetén. A negyedfokú egyenlet.

Május 3. Csütörtök

Lexikokrafikus rendezés. Többhatározatlanú polinom definíciója. Lexikografikusan első tagok szorzata.. Szimmetrikus polinomok, elemi szimmetrikus polinomok, szimmetrikus polinomok alaptétele bizonyítással, az egyértelműség még csak a következő előadáson lesz.

Május 8. Kedd.

Szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. Több határozatlanrendszerre szimmetrikus polinomok. Véges testek elkezdve.

Május 10. Csütörtök

Véges testek, integritástartomány hányadosteste.

Május 15. Kedd

Integritástartomány hányadosteste, Elemi törtek.