A múlt heti előadás folytatása, ami annak meghallgatása nélkül is érthető lesz.
A problémák: Adott n nem egy egyenesre eső pont a projektív síkon. Mi a 2-pontos egyenesek számának minimuma? Mi a 3-pontos egyenesek számának maximuma? Dualizálva: Adott nem egy ponton átmenő n egyenes. Mi azon metszespontok minimális száma, amelyeket pont 2 egyenesünk metsz ki? Mi azon metszéspontok maximális száma, amelyeket pont 3 egyenesünk metsz ki? Kiosztom papíron Börözyky és Füredi-Palásti példáját (eredeti és dualizált formában is.) Látszani fog, hogy a (dualizált) egyeneshalmazok "közel" lesznek egy kombinatorikus szabályos háromszögrácshoz. Ez szükségszerű ha kevés 2-pontos egyenesünk van.
Papposz, Pascal tételről beszélek és egy algebrai geometriai általánosításáról: Chasles tételéről. Ez megmagyarázza, hogy a szabályos háromszögrácshoz közeli egyeneshalmaz duális ponthalmaza közel ráesik egy harmadfokú görbére. Mondjuk kevés harmadfokú görbével lefedhető. Pontosabb egy kubikus görbe kevés pont kivételével lefedi. Egy kubikus görbe persze lehet három egyenes uniója, vagy egy kúpszelet és egy egyenes uniója is.
Ezekután már látszani fog az alagút vége: struktúrális tételek olyan ponthalmazokra, amely kevés 2-pontos egyenest tartalmaznak. Az út hosszadalmas, de néhány lépés egyszerű, kombinatorikus, konvex módszerekkel is megtehető. Ezeket el is mondom.
A struktúrális tételekből a kiinduló kérdésekkel kapcsolatos sejtések (aszimptotikusan) adódnak. Ez már inkább technikai apróság. Ha lesz rá idő, akkor ezekről is mondok valamit.
Minden érdeklődőt szeretettel várunk,
Péter