~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Nem a Fürstenberget választottam, hogy minél kevesebben unják. Hanem:
Véletlen uniform feszítõfák, véletlen séták, perkoláció
A fenti három témából legalább kettõröl bõvebb szó fog esni, talán mindrõl. Mindenesetre a kombinatorika, geometria es valószínûségszámítás közös gyermekeirõl van szó, amik össze is függnek, tehát sziámiikrek... Kedvcsinálóul:
Vegyük a d-dimenziós négyzetrács origó középontú, n oldalú darabját. Ennek a gráfnak van sok-sok feszítõfája, ezek közül sorsoljunk ki uniform módon egyet. Most n tart végtelenbe, van egy határeloszlás, azaz az egész végtelen rácsnak egy véletlen uniform feszítõerdeje. Ezt az erdõt a fenti határértek képzésnel sokkal egyszerûbben, véletlen séták segítségével is megkaphatjuk. Egy tétel: d kisebbegyenlõ 4-re ez a határerdõ összefüggõ, azaz fa, d nagyobb mint 4-re végtelen sok komponensbõl áll. Viszont ha a rács minden elet még pluszban egy tetszõleges pozitív epszilon valószínûséggel beválasztjuk, akkor összefüggõ gráfot kapunk az erdõbõl. (Mindez persze 1 valószínûséggel igaz.)
Az elõadás fõ forrása: Pemantle, Peres, Benjamini 1998.
Gábor
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Minden érdeklõdõt szeretettel várunk!
Péter