Hajnal Péter, A parkettázási problémáról
A parkettázási probléma inputja egy hármas:
A parkettázás: a ter (gondoljunk a geometriai környzetre és a síkra) lefedése a parkettakészlet elemeinek megengedett elmozgatásaival úgy, hogy a parketták belsejei diszjunktak legyenek. Egy adott parkettakészlet esetén eldönthetõ-e a parkettázás lehetõsége? Egy fontos alapfogalom a parkettázás teljes periodikussága (ez az esetektõl függõ fogalom, igazából definíciója kitalálható; lényege, hogy egy korlátos rész parkettázása ismetlõdik globálisan, azaz R^d esetén egy tórusz parkettázása van az egész térre kiterjesztve). Vannak olyan parkettakészletek, amelyekkel a sík kiparkettázható, de csak nem teljesen periodikus módon. Sõt mi több (ez valóban több) a parkettázás lehetõsége a parkettakészlet ismeretében nem eldönthetõ.
A definíció szabadsági foka miatt persze a szokásos (értsd fenti) kérdések mellett nem standard problémak is felvethetõk (például a parkettázandó objektum lehet egy végesen generált csoport, a parketták a csoport bizonyos véges részhalmazai ...)
Parkettázásokkal sok neves matematikus, fizikus(!) és mûvész foglalkozott például Penrose, Conway, Wang, Esher.
Mi Lagarias és Wang egy sejtését tárgyaljuk részletesebben. Szegedy Mário igen friss (1998 FOCS) eredményeit ismertetjük ebben a témában.
A parkettázásnál a tér Z^d lesz. A parkettakészlet egyetlen(!) véges részhalmaza Z^d-nek. A parkettáknak csak az eltolása a megengedett mozgatás. Eldönthetõ-e, hogy adott parkettára a parkettázás lehetséges-e? A sejtés: igen. Sõt mi több (ez valóban több) ha van parkettázás akkor van teljesen periodikus parkettázás is. Szegedy Márió belátta az erõsebb sejtést, ha a parketta mérete (elemszáma) prímszám vagy 4. Az állítások általánosíthatók végesen generált Abel-csoportokra.
Sok szép algebra, elemi számelmélet, kombinatorika.
Minden érdeklõdõt szeretettel várunk.
Péter