Definíció: Egy rendezett halmaz egy remdezett pár (H,<), amely elsõ komponensét alaphalmaznak nevezzük, második komponense pedig egy rendezési reláció az alaphalmazon.

Megjegyzés: Rendezési reláció ismeretét feltételezzük. Megemlítjük, hogy rendezési reláció megfogalmazható egy szigorú reláció (szigorúan kisebb), illetve egy nem szigorú reláció (kisebb egyenlõ) ``nyelvén'' is. Mi a szigorú rendezési relációt vesszük mint rendezési reláció. Azaz a megkövetelt tulajdonságok:

• Semelyik elem sincs önmagával relációban.
• Tranzitívitás.
• Bármely két elem összehasonlítható.

Definíció: Két rendezett halmaz (A,<) és (Á,<') izomorf, ha létezik f: A -> Á monoton bijekció. A leképezés monotonsága azt jelenti, hogy a < b esetén f(a) <' f(b).

Megjegyzés: A monotonság magában foglalja az injektivitást is. Hiszen rendezett halmazok esetén, ha a és b különbözõ, akkor a < b vagy b< a teljesül és így a monotonságból speciálisan következik a képek különbözõsége is. Azaz monoton szürjektív leképézés léte is ekvivalens az izomorfiával.

Megjegyzés: Az izomorfia nem reláció. Ez abból következik, hogy a rendezett halmazok nam alkotnak halmazt. Azaz a reláció volthoz szükséges alaphalmaz ``hiányzik''. Ennek ellenére az ekvivalenciareláció tulajdonságait az izomorfia viszony magán hordozza.

Lemma:

• (A,<) izomorf ömagával.
• Ha (A,<) és (Á,<') izomorf, akkor (Á,<') és (A,<) is izomorf.
• Ha (A,<) és (Á,<') izomorf, továbbá (Á,<') és (Á',<'') is izomorf, akkor (A,<) és (Á',<'') is izomorfak.

Bizonyítás: Nagyon egyszerû.

Tétel: Van olyan rendezett halmazokon értelmezett (úgynevezett típus, vagy rendtípus operáció, amleyet típ-pal jelölünk) operáció, amley kompatibilis az izomorfia viszonnyal. Azaz (A,<) és Á,<') akkor és csak akkor izomorf, ha típ(A,<)=típ(Á,<').

Megjegyzés: A fenti tétel ``nehéz''. Igazolására csak a félév második felében kerül sor. Azonban a továbbiakban megnézzük a fenti operáció létezésének néhány következményét, illetve a rendtípusoperáció alkalmazásaként elõálló halmazok (röviden rendtípusok) tulajdonságait.