Lemma: Legyenek (A(i),<(i)) rendezett halmazok egy rendszere (i az I indexhalmaz egy eleme), amelyekre az A(i) halmazok diszjunktak. Legyenek (Á(i),<'(i)) rendezett halmazok egy rendszere (i az I indexhalmaz egy eleme), amelyekre az Á(i) halmazok diszjunktak. (I,<) is rendezett halmaz. Tegyük fel, hogy (A(i),<(i)) és (Á(i),<'(i)) izomorfak. Ekkor az (A(i), <(i)) halmazok (I,<) szerinti összege is izomorf az (Á(i), <'(i)) halmazok (I,<) szerinti összegével.

Definíció: Legyene a(i) rendtípusok egy rendszere (i az I indexhalmaz eleme). (I,<) egy rendezett halmaz. Az a(i) rendtípusok (I,<) szerinti összegét definiáljuk úgy, hogy vegyünk minden a(i)-hez egy olyan rendezett (A(i),<(i)) halmazt,amley típusa a(i), továbbá az A(i) halmazok diszjunktak. A rendtípusok összege az (A(i),<(i)) rendezett halmazok összegének típusa.

Megjegyzés: A fenti definícióval két probléma van. Az egyik (talán komolyabb) jogossága. Ez éppen az elõzõ lemmából következik. A másik a diszjunkt alaphalmazokkal bíró reprezentánsok választása az a(i) rendtípusokhoz. A reprezentánsok választása a rendtípus operáció konkrét ismeretében könnyen elérhetõ (ezt a késõbbi bizonyítás után kell meggondolni). A diszjunktság elérhetõ az A(i) halmazról az A(i)x{i} halmazra történõ áttéréssel, majd az <(i) reláció ``átmásolásával''.

Lemma: Legyenek (A,<) és (B,<~) rendezett halmazok. Legyenek (Á,<') és (B,<~') rendezett halmazok. Tegyük fel, hogy (A,<) és (Á,<') izomorfak, illetve (B,<~) és (B',<~') is izomorfak. Ekkor az (A, <) és (B,<~) rendezett halmazok antilexikografikus szorzata is izomorf az (Á, <') és (B',<~') rendezett halmazok antilexikografikus szorzatával.

Definíció: a és b rendtípusok antilexikografikus szorzatát úgy definiáljuk, hogy vesszük a két rendtípus egy-egy reprezentáns rendezett halmazát és ezek antilexikografikus szorzatának típusa lesz a szorzat.

Megjegyzés: Természetesen a rendezett halmazokra vonatkozó mûveleti szabályok. illetve a szabályok sérülése öröklõdik a rendtípusokon végezett mûveletekre.