Definíció: Két halmaz megfeleltethetõ egymásnak, párosítható, ha van köztük bijekció.

A definícióban leírt ``viszony'' az ``azonos nagyságú halmaz'' formalizálása.

Ez egy ``viszony'', amelyrõl az ekvivalenciarelációk definiáló tulajdonságai könnyen ellenõrizhetõk.

Halmazokon értelmezett ekvivalenciareláció esetén definiálhatóak ekvivalenciaosztályok, amelyekkel sokszor hasznos dolgoznunk. Minden elemhez az ekvivalenciaosztályát rendelve egy olyan függvényt kapunk, amely két értéken akkor és csak akkor veszi fel ugyanazt az értéket, ha a két elem relációban áll egymással. Azaz a függvény kompatibilis a relációval. Ekvivalenciaviszonyok esetén a ``klasszikus elmélet'' nem alkalmazható. Ennek ellenére igaz a megfelelõ tétel.

Tétel: Az összes halmaz osztályán van egy olyan operáció, amely kompatibilis a párbaállítható viszonnyal. Egy ilyen operációt számosság operációnak nevezünk. Egy halmaz esetén az operáció értéke a halmaz számossága.

Megjegyzés: A fenti tételt a késõbbiekben bebizonyítjuk. Igazából ennek igazolása a féléves kurzus csúcseredménye. A bizonyítás technikai lesz, a szükségfes eszközök egy jó részét Neumann János dolgozta ki.