Definíció: Legyen k és l számosságok. Vegyünk egy K és L k, illetve l számosságú halmazt. (i) k+l számosság a K DU L halmaz számossága, (ii) kl számosság a K x L halmaz számossága, (iii) k^l számosság a K^L halmaz számossága.

Megjegyzés: A fenti definíció jogossága ellenõrzésre szorul.

Megjegyzés: Több tényezõs összeg és szorzat is könnyen definiálható.

Definíció: Legyenek k(a) számosságok (a az A halmaz eleme). Vegyünk K(a) megfelelõ számosságú halmazokat. (i) +{k(a):a az A halmaz eleme} a DU{K(a): a az A halmaz eleme} halmaz számossága, (ii) X{k(a):a az A halmaz eleme} a X{K(a): a az A halmaz eleme} halmaz számossága.

Megjegyzés: A fenti definíció jogossága természetesen most is ellenõrzésre szorul. Jóval technikaibb kérdés annak tárgyalása, hogy adott számosságokhoz a definíció alkalmazásában az adott nagyságú halmazok egy rendsszerével kell elõállnunk. Ez nem olyan egyszerû, hiszen a kiváalsztási axióma nem áll rendelkezésünkre (adott (nem nulla) számossághoz az olyan számosságú halmazok nem alkotnak halmazt). Ennek ellenére a számosság operáció konkrét megvalósítása megoldja a problémánkat: a k számosság egy k számosságú halmaz lesz. Így a fenti probléma feloldása ``triviális'' lesz.

Megjegyzés: Számosságok esetén is igaz, hogy a ``hatványozás ismételt szorzás'':

Lemma: Legyen L egy halmaz és K(a)=K minden L-beli a elem esetén. Ekkor X{K(a): a az L halmaz eleme}=K^L.

Lemma: |P(K)|=2^|K|.

Példa: alef_0+alef_0=alef_0.

Példa: +{alef_0: N}=alef_0.

Tétel:

• (i) X{+{k(a,b):b az B(a) halmaz eleme}: a az A halmaz eleme}= +{X{k(a,f(a)): k a X{B(a):a az A halmaz eleme} egy eleme}: a az A halmaz eleme}
• (ii) (k^l)^m=k^{lm},
• (iii) k^{m+n}=k^m k^n,
• (iv) k^m l^m=(kl)^m.

Bizonyítás: Következik a halmazmûveletek tulajdonságaiból a szükséges definíciókból felhasználásával.

Feladat: Az összeg és szorzat kommutativitásának megfogalmazása (több tényezõ esetén) és bizonyítása. Azonos alapú, illetve azonos kitevõjû hatav'nyok szorzására vonatkozó szabályok megfogalmazása több tényezõ esetén, és ezek igazolása.