Tétel:
Bizonyítás: Ha min{k,l} > 1, akkor max{k,l}<=k+l<=max{k,l}+max{k,l}=2max{k,l}<=kl<=max{k,l}^2. Tehát elegendõ k^2 <= k-t igazolni végtelen számosságokra. Ezt transzfinit indukcióval tesszük. Tegyük fel, hogy k-nál kisebb l végtelen számosságokra már tudjuk, hogy l^2=l.
Megadjuk k^2 egy olyan < jólrendezését, amelyben minden valódi kezdõszelet kisebb mint k. Ebbõl típ(k^2,<)<=k, azaz k^2 számosság kisebb egyenlõ mint a k számosság. A valódi kezdõszeletek k-nál kisebb voltához elég belátni, hogy k-nál kisebb számosságú.
k^2={(a,b):a,b < k} Legyen c egy k-nál kisebb rendszám. Ekkor c^2={(a,b):a,b < c} számossága |c|^2, azaz az indukciós feltevés alapján k-nál kisebb számosságú. k^2 rendezése azt tudja, hogy minden valódi kezdõszelete egy ``c^2 típusú részében'' lesz benne. A rendezéshez a rendezendõ halmazt diszjunkt részekre bontjuk. Legyen k^2=U{H(a): a < k}, ahol H(a)={(x,y): max{x,y}=a}. A jólrendezéshez vegyük a H(a) halmazok egyenkénti tetszõleges jólrendezését, majd vegyük az ``a indexek szerinti '' összegét. Ez egy megfelelõ jólrendezés lesz.