Tétel: Minden (H,<) jólrendezett halmazhoz pontosan egy olyan J jó halmaz van, hogy (H,<) és (J,e(J)) izomorf legyen.

Bizonyítás:

Unicitás: Tegyük fel, hogy (H,<)-hez J és J' is megfelelõ jó halmazok (J és J' különbözõ). Speciálisan (J,e(J)) és (J',e(J')) izomorf jólrendezett halmazok. Ekkor vagy J < J' vagy J' < J. A két jó halmaz szerepének szimmetriája miatt feltehetõ, hogy J < J'. Azaz J a (J', e(J')) egy valódi kezdõszelete. Azaz van olyan j' eleme J'-nek, hogy J pontosan a j'-nél e(J') relációban kisebb elmeket tartalmazza. Legyen f a J'-bõl J-be képezõ monoton bijekció (ez (J,e(J)) és (J',e(J')) izomorfiája miatt létezik). f(j') a J egy eleme, így f(j') < j'. Legyen j(0) J' azon legkisebb eleme, amelyre teljesül, hogy f(j(0)) < j(0). Ekkor f monotonitása miatt f(f(j(0))) < f(j(0)). Ez viszont ellent mond j(0) választásának, amikor is f(j(0))-t is számba vettük, amely viszont kisebb j(0)-nál. Ez az unicitást igazolja.

Egzisztencia: Legyen R a H azon h elemeinek halmaza, amelyekre teljesül, hogy az általuk generált kezdõszelet az eredeti < reláció megszorításával olyan jólrendezett halmazt ad, amely izomorf (J,e(J))-vel valamely J jó halmazra. A fenti J jó halmaz - az unicitás rész alapján - egyértelmûen meghatározott és J(h)-val jelöljük. Legyen J={J(h): H az R egy eleme}

R a (H,<) egy kezdõszelete. Hiszen, ha r a R egy eleme, akkor alkalmas f(r) monoton bijekció (H( < r ), <) és (J(r),e(J(r))) között (ahol H( < r ) a H r-nél kisebb elemeit tartalmazza, és az elsõ rendezett halmaz < relációja valójában az eredeti < megszorítása H( < r )-re). t < r esetén f(r) megszorítása H( < t )-re J(r) egy valódi (hiszen f(t) nem eleme) kezdõszeletével ad monoton bijekciót. Egy jó halmaz kezdõszelete viszont jó. Így kapjuk, hogy R egy r elemére t < r esetén t is eleme lesz R-nek. Sõt J(t) a J(r) halmaz valódi kezdõszelete lesz, azaz J(t) < J(r).

A fentiek valamilyen értelmeben vett megfordítása is igaz: J tranzitív. Azaz, ha J(r) a J egy eleme és I a J(r) egy eleme (azaz valódi kezdõszelete), akkor alkalmas t (< r)-re I=J(t), azaz I a J-nek eleme. Ebbõl következik, hogy J jó halmaz.

Tehát a R-beli r elemhez J(r) rendelése monoton bijekció R és J között. Ha R=H, akkor készen vagyunk. Ha R valódi kezdõszelete H-nak, akkor R=H( < s ) valamely H-beli s-re. A fentiek alapján, továbbá R definíciójából s az R halmaz egy eleme. Ez ellentmondás, hiszen s nem eleme H( < s )-nek.

Következmény: Rendszámoperáció létezik: (H,<) jólrendezett halmaz rendtípusa legyen a fenti tétel által egyértelmûen leírt jó halmaz. Ez eleget tesz a rendszám operációtól elvártaknak. A rendszámok a jó halmazok.