Tétel: Legyenek k,l és t számosságok. Ekkor
(i) k<=k,
(ii) k<=l,l<=t esetén k<=t,
(iii) (Bernstein-ekvivalenciatétel) k<=l és l<=k esetén k=l,
(iv) vagy k<l vagy k>l vagy k=l.

Tétel: (i) Monotonitás igaz. (ii) Szigorú monotonitás nem igaz.

Tétel (Kõnig-tétel): Legyenel {k(a): a az A halmaz elemein fut} és {l(a): a az A halmaz elemein fut} számosságok úgy, hogy k(a) < l(a). Ekkor +{k(a): a az A halmaz elemein fut} < X{l(a): a az A halmaz elemein fut}.

Következmény: |P(H)|>|H|.

Cantor-antinómia: Legyen H az összes halmazt tartalmazó halmaz. Ekkor P(H) a H halmaz része, azaz P(H) nem nagyobb számosságú mint H, ami ellentmond az elõzõ tételnek.