Definíció: Egy H halmazt jónak nevezünk, ha
Megjegyzés: A (H,e(H)) jólrendezettségét úgy kell érteni, hogy e(H) egy szigorú rendezes't ír le. Speciálisan H tetszõleges a elemére a nincs e(H) relációban a-val. Ebbõl az is adódik, hogy H nem eleme H-nak, hiszen másküloi;ben ellentmondásba kerülnénk az elõzõ állítással.
Példa: {0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}},{0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}}}} egy jo halmaz, ahol 0 az üreshalmazt jelöli.
Példa: A természetes számok halmaz egy jó halmaz. Hiszen tranzitív (minden eleme egy természetes szám, amely elemei szintén természetes számok, azaz a kiinduló halmaz elemei) és a természetes számok rendezése az eleme viszonnyal egybe esik a szokásos nagyság szerinti rendezéssel, amirõl köztudott, hogy jól rendezése a természetes számoknak.
Példa: Legyen N a természetes számok halmaza. Ekkor NU{N} is jó halmaz.
A következõ két lemma a jó halmazok sz'amunkra legfontosabb tulajdonságait írják le.
Lemma: Legyen J egy jó halmaz és a egy eleme. Ekkor
(i) a tranzitív,
(ii) a részhalmaza J-nek,
(iii) a egy valódi kezdõszelet (J,e(J))-ben,
(iv) a jó.
Bizonyítás:
(i) J tranzitívitása miatt a minden b eleme J-nek is eleme, Ugyancsak J tranzitívitása miatt b minden c eleme is J-nek eleme. Mivel (J,e(J)) rendezés, speciálisan az e(J) reláció tranzitív, ezért az a, b, c három J-beli elem közt c e(J) b és b e(J) a miatt a e(J) a is igaz, azaz a bizonyítandó adódik.
(ii) J tranzitivitása miatt a minden eleme egyben J-nek is elem, azaz a tartalmazás teljesül.
(iii) Amit a kezdõszeletséghez be kell látni: ``Ha b az a-nak eleme és c az e(J) relációban kisebb, mint b (azaz c eleme b-nek), akkor c is eleme a-nak''. Ez a tranzitivitása, amit már láttunk. A valódiság adódik abból, hogy a J-nek eleme, de a nem eleme a-nak (lásd a jóságát a következõ pontból).
(iv) a jóságához a tranzitivitást és (a,e(a)) jólrendezettségét kell ellenõrizni. A tranzitivitást tudjuk. A jólrendezettség abból adódik, hogy a a (J,e(J)) jólrendezett halmaz alaphalmazának egy részhalmaza és e(a) az e(J) reláció a-ra történõ megszorítása.
Lemma: Legyen J egy jó halmaz és H egy részhalmaza J-nek. Ekkor a következõk ekvivalensek.
(i) H jó,
(ii) H tranzitív,
(iii) H kezdõszelet (J,e(J))-ben,
(iv) H=J vagy H a J egy eleme.
Bizonyítás:
(i)=>(ii) nyilvánvaló.
(ii)=>(iii) H kezdõszelet volta azt jelenti, hogy ``ha h a H egy eleme, x kisebb az e(J) rendezésben h-nál (azaz x eleme h-nak), akkor x eleme h-nak is''. Ez éppen a tranzitivitás.
(iii)=>(iv) H kezdõszelet egy jólrendezett halmazaban, azaz vagy az alaphalmazzal egyenlõ (H=J) vagy egy elem által generált kezdõszelet. Csak a második leheteõséggel kell foglalkoznunk. Ekkor létezik olyan j eleme J, hogy H elemei pontosan azok az elemei J-nek, amelyek kisebbek az e(J) relációban j-nél, azaz j elemei. azaz a H halmaz pontosan a j és J halamzok metszete. Mivel j a J jó halmaz eleme, ezért egyben részhalmaza is, azaz j és J közös része j. Tehát H=j, azaz H a J halmaz eleme.
(iv)=>(i) Ha H=J, akkor a jóság nyilvánvaló, hiszen J jó. Ha H a J egy eleme, akkor az elózõ lemmából tudjuk az állítást.
Definíció: A jó halmazokra megszorítva az eleme viszonyt a < jellel jelöljük. Tehát A és B jó halmazok esetén A < B azt jelöli, hogy A eleme B-nek.
Megjegyzés: Látni fogjuk, hogy a jó halmazok nem alkotnak halmazt. Így < nem egy reláció. Ennek ellenére ``úgy viselkedeik, mint'' egy jólrendezési reláció.
Tétel: Legyenek A, B, C jó halmazok
(i) A nem kisebb mint A,
(ii) A < B és B < C esetén A < C,
(iii) vagy A < B vagy A=B vagy B < A,
(iv) Legyen T jó halmazok egy tulajdonsága úgy hogy legalább egy J jó halmaz rendelkezzen ezzel (jelölésben: T(J) igaz). Ekkor van egy olyan M jó halmaz, amely
Bizonyítás:
(i) Tudjuk, hogy jó halmazok nem elemei saját maguknak.
(ii) C tranzitivitása alapján nyilvánvaló az állítás.
(iii) Legyen K az A és B jó halmazok közös része. Elõször is könnyen belátható, hogy tranzitív halmazok közös része is tranzitív, azaz K egy az A jo halmaz (de lehetne B is) tranzitív részhalmaza, így egyben vagy K=A vagy K az A egy eleme (hasonlóan K=B vagy K a B egy eleme). K=A esetben A (egy tranzitív) részhalmaza B-nek (egy jó halmaznak), azaz A=B vagy A a B-nek eleme, ami a bizonyítandó. Hasonlóan kezelhetõ a K=B eset. Az egyetlen ``elvarratlan szál'' K az A-nak és B-nek is eleme eset, amikor is K a K-nak eleme. Mivel K jó (K egy jó halmaz tranzitív része), ezért ez nem lehetséges.
Az (iii) rész nyelvtani megfogalmazása egy kizáró vagyot tartalmazó formula. A fentiekben ennek ``kizáró '' részével nem foglalkoztunk. Ezt az axiómatikus tárgyalás nem is kivánja, hiszen az axiómáknak ez nem szükséges része: a kizáró tulajdonság az elõzõ két tulajdonságból le vezethetõ.
(iv) Legyen N egy olyan jó halmaz amely rendelkezik a T tulajdonsággal. Legyen H az a halmaz, amely N T tulajdonságú elemeit tartalmazza. Két esetet különböztetünk meg.
Elsõ eset: H üres. Ekkor N megfelelõ jó halmaz M-nek. Ugyanis legyen X egy tetszõleges T tulajdonságú, N-tõL különbözõ jó halmaz. Tudjuk az (iii) részbõl, hogy vagy X < N vagy N < X. X < N esetén X eleme lett volna H-nak, így ellentmondásra jutnánk eseteünket definiáló feltevésünkkel. Így az N < X lehetõség marad, ami éppen az ellenõrizendõ.
Második eset: H nem üres. Ekkor H az (N,e(N)) jólrendezett halmaz alaphalmazának egy nem üres részhalmza, azaz van minimális eleme az e(N) relációra. legyen ez N(0). (N(0) < N.) Belátjuk, hogy N(0) megfelelõ halmaz. N(0) jó halmaz, hiszen egy jó halmaz eleme. N(0) eleme H-nak, így T tulajdonságú. Legyen X egy tetszõleges T tulajdonságú, N(0)-tól különbözõ jó halmaz. Tudjuk az (iii) részbõl, hogy vagy X < N, vagy X=N, vagy N < X. X < N esetén X eleme lett volna H-nak, így N(0) definiációja alapján N(0) < X. A maradék két esetben N(0) < N miatt az (ii) rész felhasználásával vagyunk készen.
Következmény: Nincs olyan halmaz, amely elemei pontosan a jó halmazok.
Bizonyítás: Tegyük fel, hogy J egy olyan halmaz, amley elemei pontosan a jó halmazok. Ekkor J nyilvánvalóan tranzitív, hiszen: elemeinek elemei egy jó halmaz valamely eleme, azaz maga is jó, azaz J-nek eleme. J elemei jók, így az elõzõ tétel (iv) pontja alapján (J,e(J)) jólrendezettsége könnyen adódik. Azaz J maga is jó, íhu J definíciójaalapján J eleme önmagának, ami ellentmond annak, hogy egy jó halmaz nem eleme önmagának.
Megjegyzés: A fenti bizonyítás lényegi részét érdemes egy külön lemmában kimondani.
Lemma: Egy halmaz akkor és csak akkor jó, ha tranzitív és elemei jók.
Bizonyítás: Az állítás egyik irány a jó halmazokról összegyûjtött ismereteink alapján nyilvánvaló. A másik irány bioznyításának alpötlete a fenti tétel bizonyításából kiolvasható.
Megjegyzés: A fenti tétel talán Burali-Forti nevéhez fûzõdik, aki a jó halmazok megszületes'e elõtt Cantor rendszám fogalmára támaszkodva ismertetett egy antinómiát, amley feloldása a fenti tétel.