Tétel: ZF felett a következõk ekvivalensek:

(i) Kiválasztási axióma.

(ii) (Zeremlo jólrendezési tétele) Minden halmaz jólrendezhetõ.

(iii) (Teichmüller-Tukey-lemma) Legyen H egy halmaz és T a H halmaz véges részhalmazainak egy tulajdonsága. terjesszük ki T-t H összes részhalmazának egy T' tulajdonságára úgy, hogy H egy A részhalmaza akkor és csak akkor teljesítse T'-t, ha A minden véges részhalmaza teljesíti T-t. Ekkor H-nak van (tartalmazásra nézve) maximális T'-tulajdonságú részhalmaza.

(iv) (Kuratowski-lemma) Tetszõleges (P,<) részbenrendezett halmaz láncai között van (tartalmazásra nézve) maximális lánc.

(v) (Zorn-lemma) Egy (P,<) részbenrendezett halmaz Zorn-tulajdonságú, ha P minden L láncához tartozik egy m felsõ korlát, eleme P-nek, azaz egy olyan elem, amely minden L-beli elemnél nagyobb egyenlõ. Egy Zorn-tulajdonságú részbenrendezett halmaznak van maximális eleme, azaz olyan elem, amelynél nincs nagyobb.

Bizonyítás: (i)=>(ii) Korábban láttuk.

(ii)=>(iii) Legyen h:a -> H egy bijekció az a rendszám és a H halmaz között. Transzfinit rekurzióval definiálunk egy x: a-> {0,1} függvényt, ami azonosítható lesz H egy X={h(a): x(a)=1} részhalmazával. X maximális T' tulajdonságú halmaz lesz. Ha x definiált az a-nál kisebb rendszámokon, akkor legyen x(a) az x függvény megszorítása a-ra. Ekkor legyen X(a)={h(b): x(b)=1 és b < a}. O(x(a))=1 akkor és csak akkor, ha X(a)U{h(a)} T' tulajdonságú. Az így definiált x függvény, illetve X halmaz megfelelõ: T' tulajdonsága nyilvánvaló. Maximalitása könnyen ellenõrizhetõ, hisz ha egyhalmaz részhalmaza nem T' tulajdonságú, akkor maga a halmaz sem az.

(iii)=>(iv) A részbenrendezett halmaz P alaphalmazának véges részhalmazainak T tulajdonsága akkor és csak akkor legyen hamis, ha a két elem nem összehasonlítható. Ekkor a T' tulajdonság a ``láncnak lenni '' tulajdonság. Így a Teichmüller-Tukey-lemma speciális eseteként kapjuk a Kuratowski-lemmát.

(iv)=>(v) Kuratowski-lemma alapján (P,<)-nek van maximális lánca: L. Feltételünk szerint ennek van felsõ korlátja: M. Ekkor M a teljes r'eszben rendezetthalmaznak egy maximális eleme. Valóban tegyük fel, hogy a > M teljesül, valamely P-beli elemre. Ekkor LU{a} is lánc, ami ellentmond L választásának.

(v)=>(i) Vegyük a H(i) (i az I indexhalmaz eleme) nemüres halmazok rendszerét. Az I halmaz J részhalmazán értelmezett f függvényt parciális kiválasztási függvénynek nevezzük, ha f(j) a H(j) egy eleme minden J-beli j-re. A parciális kiválasztási függvényeket a ``kiterjesztés'' reláció részbenrendezi. Így van egy maximális eleme: g. Belátjuk, hogy g értelmezési tartománya I, azaz g egy kiválasztási függvény. Tegyük fel, hogy i nem eleme a J(g) értelmezési tartományának. Ekkor legyen x a H(i) halmaz egy tetszõleges eleme. Legyen g' az a függvény, amley értelmezes'i tartománya J(g)U{i} és a leképezés J(g) egy a eleméhez g(a)-t, i-hez x-et rendeli. g' > g nyilvánvaló, ami ellentmond g választásának.

Megjegyzés: A fenti állítások közül soknak van ``relativizált'' változata. Ezek bizonyítása a fentiek alapján történhet ``plussz ötlet nélkül'':

(i) Minden parciális kiválasztási függvény kiterjeszthetõ egy kiválasztas'ai függvénnyé.

(ii) (Zeremlo jólrendezési tétele) Legyen H egy halmaz, amelynek H(0) részhalmzát jólrendeztük. Ekkor H is jólrendezhetõ úgy, hogy a jólrendezés H(0)-ra történõ megszorítása a kiinduló rendezés legyen.

(iii) (Teichmüller-Tukey-lemma) Legyen H egy halmaz és T a H halmaz véges részhalmazainak egy tulajdonsága. terjesszük ki T-t H összes részhalmazának egy T' tulajdonságára úgy, hogy H egy A részhalmaza akkor és csak akkor teljesítse T'-t, ha A minden véges részhalmaza teljesíti T-t. Legyen L a H-nak égy T' tulajdonságú részhalmaza. Ekkor H-nak van (tartalmazásra nézve) maximális T'-tulajdonságú, L-et tartalamzó részhalmaza.

(iv) (Kuratowski-lemma) Tetszõleges (P,<) részbenrendezett halmaz láncai között van egy elõre adott L(0) láncot tartalamzó, (tartalmazásra nézve) maximális lánc.

(v) (Zorn-lemma) Egy (P,<) részbenrendezett halmaz Zorn-tulajdonságú, ha P minden L láncához tartozik egy m felsõ korlát, eleme P-nek, azaz egy olyan elem, amely minden L-beli elemnél nagyobb egyenlõ. Egy Zorn-tulajdonságú részbenrendezett halmaznak tetszõleges x eleméhez van x-nél nagyobb, maximális eleme, azaz olyan elem, amelynél nincs nagyobb.