Definíció: Egy H halmaz kontinuum számosságú, ha párbaállítható a valós számok halmazával.

A kontinuum számosság jelölése a gót c betû.

Tétel: A kontinuum számosság különbözik a véges és megszámlálhatóan végtelen számosságoktól.

Bizonyítás: Cantor átlós módszere. Tegyük fel, hogy van a természetes számokból a valós számokba menõ ráképezés: f. Azaz a valós számok mindegyike elófordul az f(0), f(1), ... sorozatban.

Definiálunk egy Q valós számot. amely a fenti sorban nem fordul elõ. Egy valós számot végtelen tizedestört alakban felírva képzelünk el. Így definíciónk ``megszámlálhatóan végtelen sok fázison'' keresztül történik. A definiált szám, egész része 0 lesz. A definíció i-edik fázisában adjuk meg Q tizedesveszzzó utáni i-edik jegyét.

Célunk, hogy Q ne legyen egyenlõ sem f(0)-lal, sem f(1)-gyel, sem f(2)-vel ... Azaz célunk is megszámlálhatóan sok ``alcélra bomlik''.

A definic'iónk fázisait párba állíthatjuk az alcélokkal, és az éppen definiált számjegyet úgy választjuk, hogy az alcél teljesítését elérje. Ez könnyen megtehetõ.

``Q tizedesveszzõ utáni i-edik jegye legyen egy tetszõleges jegy, amely f(i-1) tizedesvesszõ utáni i-edik számjegyétõl eltérõ'' egy jónak látszó definíció.

Valóban Q tizedes tört felírása különbözni fog az összes f(i) azon tizedes tört felírásától, amivel dolgozunk. Sajnos a valós számok tizedestörtként való felírása nem egyértelmû, azaz lehetséges két különbözõ tizedestört felírás, amely ugyanazt a valós számot kódolja. (Pl.: 0,5000000... és 0,49999999...) A nem egyértelmúség azonban jól leírható. Ha egy tizedestört felírásnak van más felírása is, akkor az egy idõ után vagy csupa 0-kat vagy csupa 9-eseket tartalmaz.

``Q tizedesveszzõ utáni i-edik jegye legyen egy tetszõleges 0-tól és 9-tõl különbözõ jegy, amely f(i-1) tizedesvesszõ utáni i-edik számjegyétõl eltérõ'' már egy jó definíció.

Következmény: Van nem algebrai valós szám.

Megjegyzés: A fenti bizonyításhoz teljesen hasonlóan kapjuk, hogy tetszõleges (a,b) (a < b) intervallum elemei nem állíthatók párba a természetes számokkal. Így minden nem üres, nyilt intervallum taratlmaz transzcendens számot.

Példa: A (0,1) intervallum számossága kontinuum.

Példa: A (0,1] intervallum számossága kontinuum.

Példa: A [0,1] intervallum számossága kontinuum.

Indoklás: A valós számok párbaállíthatók a 0-1 sorozatokkal. Így a valós számpárok párbaállíthatók a 0-1 sorozatokból alkotott párokkal. Két 0-1 sorozat által alkotott párhoz hozzárendelhetõ egy 0-1 sorozat a két sorozat fésûs egyesítése. Ez a 0-1 sorozatpárokból a 0-1 sorozatokba menõ függvénynek könnyen megadható az inverze, így bijekció. Így a valos' számpárok is könnyen párbaállíthatók a 0-1 sorozatokkal, amelyek halmaza kontinuum számosságú.

Következmény: A komplex számok halmazának számossága kontinuum.

Példa: A d-dimenziós tér pontjainak számossága kontinuum.

Példa: A valós sorozatok halmaza kontinuum számosságú.

Tétel: Ha A párbaállítható Á-vel és B párbaállítható B'-vel, akkor

• amennyiben A és B továbbá Á és B' diszjunkt A U B és Á U B' is párbaállíthatók,
• AxB és ÁxB' is párbaállíthatók,
• A^B és Á^B' is párbaállíthatók.

Az unióra vonatkozó állítások két tag, illetve két tényezõ esetérõl könnyen általánosítható tetszõLeges tag, illetve tetszõleges tényezo esetére.

Tétel: Legyen {A(i):i az I indexhalmaz eleme} és {B(i):i az I indexhalmaz eleme} két halmazok halmaza. Tegyük fel, hogy minden I-beli i-re A(i) és B(i) párbaállítható. Ekkor

• amennyiben az A(i) halmazok páronként diszjunktak és a B(i) halmazok is páronként diszjunktak U{A(i):i az I indexhalmaz eleme} és U{B(i):i az I indexhalmaz eleme} is párbaállíthatók,
• X{A(i):i az I indexhalmaz eleme} és X{B(i):i az I indexhalmaz eleme} is párbaállíthatók,

A hatványozásra más hasonló állítás is található.

Tétel: A^BxA^C párbaállítható A^{B U C}-vel

Megjegyzés: Gondoljuk végig a két 0-1 sorozat fésûs egyesitése által adott leképezést a 0-1 sorozatpárok halmazából az összes 0-1 sorozat halmazába.

Tétel: (A^B)^C párbaállítható A^(BxC)-vel.

Megjegyzés: Gondoljuk végig a 0-1 sorozatok sorozatainak halmaza és az összes 0-1 sorozat halmaza közti bijekciót.