Egy axiómatikus felépítés egy nyelv kidolgozását jelenti, illetve a nyelvben kifejezett azon állítások összegyûjtését, amleyet a téme kutatatói elfogadnak igaznak. Az axiómatikus módszer további állítások igazolását jelenti. Az axiómákból kiindulva, rögzített következtetési szabályokkal további állításokat vezetünk le. Jó esetben ezek igazságtartalma távolról sem nyilvánvaló. A bizonyításuk igen sok tudást tartalmazhat.

Az axiómatikus érvelés nagyon nehézkes. Igazából az élõ matematika csupán elhiszi, hogy a közolt (nem formalizált) bizonyítások az axiómatika szigorú szabályai között is megfogalmazhatók. A mi tárgyalásunk sem lesz axiómatikus, csupán egy olyan tárgyalás ahol ``az axiómáktól vett távolság'' jóval kisebb mint egy naív leírásnál. Például bizonyos tulajdonsággal rendelkezõ halmazok esetén létezésük mindig kérdéses, az axiómákból való levezethetõséget végig gondoljuk. Ennek a kis távolságnak az lesz az elõnye, hogy a naív tárgyalásnál jelentkezõ ellentmondások nem jelentkeznek.

Most nézzük meg elõször a halmazelmélet nyelvének leírását. Két relációjelet használunk: az ``egyenlõnek lenni '' és ``eleme '' relációjeleket. Mindkettõ kétváltozó jel, azaz két objektumra vonatkozik. Betûket használunk objektumaink leírására, amleyek mind halmazok lesznek. Azt is mondhatjuk, hogy a halmazelmélet tárgyalása közben minden amirõl beszélünk halmaz lesz. A fenti segédeszközök, logikai jelek, kvantorok, zárójelek, veszzõk segítségével értelmes formulák építhetõk fel. Ezek a halmazelmélet nyelvének formulái.

A fenti nyelv nehézkességén segít, ha néhány új relációt, fogalmat vezetünk be: x halmaz részhalmaza y-nak, ha x minden eleme egyben y-nak is eleme.

Ez az új reláció felfogható, mint a nyelvünknek egy bõvítése. De megtehetõ, hogy csak ``szlengként'' értelmezzük: a részhalmaz reláció használatát nem veszük pontosnak, a pontosságot elvárók mindig helyettesítsék a kifejezés megfelelõ részét a szükséges hosszú formulával. A nyelv bõvítése matematikailag teljesen pontossá tehetõ, de technikai nehézségei (és a szükséges logikai ismeretek hiánya) miatt nem végezzük el. A második lehetõség viszont a teljesen formális és a mindennapi matematika közötti hézagot szélesíti.

Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük.

Az üres halmaz axiómája: Létezik olyan halmaz, amelynek nincs eleme.

Meghatározottsági axióma: Tetszõleges x,y halmaz akkor és csak akkor egyenlõ, ha bármely halmaz vagy mindkettõnek, vagy egyiknek sem eleme.

Páraxióma: Tetszõleges x,y halmazhoz van olyan halmaz, amleynek x és y eleme, de más eleme nincs.

Hatványhalmaz axiómája: Minden x halmazhoz vanb olyan halmaz, amely elemei pontosan x részhalmazai.

Egyesítési axióma: Minden x és y halmazhoz van olyan z halmaz, amely elemei pontosan azok az elemek, amleyek x-nak vagy y-nak elemei.

A végtelen halmaz axiómája: Van olyan halmaz, amely nem véges.

Helyettesítési axiómák: Minden formulához tartozik egy helyettesítési axióma. Az f formulához tartozó axióma: f szabad változóit u és v két különbözõ változó kivételével tetszõlegesen kiértékeljük, ha u minden helyettesítésére pontosan egy v elégíti ki f-et, akkor minden x halmazra pontosan egy olyan y halmaz van, amely elemei pontosan azok ahalmazok, amelyeket v-be helyettesítve f-et kielégítjük valamley x-beli elem u-ba helyettesítése mellett.

Regularitási vagy fundáltsági axióma: Minden x halmaznak van olyan eleme, amely diszjunkt x-tõl.

A fenti axiómarendszert Zermelo és Fraenkel munkássága miatt Zermelo-Fraenkel-axiómarendszernek (röviden ZF-nek) nevezzük.

Az interneten is elérhetõ további leírása a ZF axiómarendszernek.

Ez nem a teljes, ma elfogadott halmazelméleti axiómarendszer. A teljességhez hiányzik kiválasztási axióma, amit röviden C-vel jelölnek.

Kiválasztási axióma: Minden x-hez, ha x elemei nem üresek, akkor van olyan x-en értelmezett függvény, amely x minden eleméhez, annak egy elemét rendeli.

Az így kapott teljes axiómarendszert ZFC-nek nevezzük. A kiválasztási axióma a halmazelmélet történetének elején mindenki által nyilvánvalónak tartott állítása, axiómája volt. Késõbb a kiválasztási axiómának szemlélettõl eltérõ következményeit is igazolták. Ekkor a ``közvélemény számára gyanússá vált''. Többek között kimutatták, hogy ZF-n belül C nem bizonyítható és nem is cáfolható. C vizsgálatával kiderül hatása a mai matematikára is. Ma világos, hogy C feltételezése nélkül sokkal szegényebb lenne a matematika.

ZFC fenti leírásában az axiómák a mindennapi nyelven lettek leírva. Természetesen mindegyik axióma formalizálható. Ez legtöbb esetben nyilvánvaló. Technikai nehézségekkel csak a végtelen halmaz axiómájánál és a kiválasztási axiómánál kell szembe néznünk.

A végtelen halmaz axiómájának formalizálása történhet úgy, hogy a leírandó v végtelen halmaz miden x elemére feltesszük, hogy pontosan x elemeit és x-et magát tartalmazó halmaz is v-ben van. Ezenkívül az üres halmaz is v egy eleme.

A kiválasztási axióma formalizálása jóval nehezebb. Ehhez szükségünk lesz további ismeretekre.