Russel-antinómia: Vegyük azon H halmazok összességét, amelyek nem eleme önmaguknak. Így a ``nem tartalmazkodó halmazok halmazához'' jutunk. Ez a halmaz tartalmazkodó-e? Ha igen, akkor definíciója folytán nem tartalmazkodó halmaz lenne. Ha nem tartalmazkodó halmaz, akkor definíció szerint önmaga eleme lenne.

A probléma, hogy a fenti gondolatokban egy bizonyos tulajdonság alapján kijelölt halmazok összességét halmaznak vettük. Halmazok valamely ``összessége '' nem feltétlenül halmaz. Az a szemlélet, hogy halmazok tetszõleges összessége halmaz ugyanannyira rossz, mint az az ókori szemlélet, hogy végtelen sok pozitív szám összege nem lehet véges. Az analízisben jártas emberek a fenti nézetet megmosolyogják, de az analízis fogalmainak tisztázása nélkül Zénon, ókori filózófus egy komoly filozófiai problémával találta magát szemben, amelyet nem tudott kielégítõen megválaszolni.

A fenti probléma ``megoldása '' is hasonló lesz. A halmazelmélet szigorú tárgyalását végezzük el, ami alatt kialakul a helyes nézõpont és látni fogjuk, hogy bizonyos összességek nem alkotnak halmazt, bizonyosak halmazt alkotnak. A helyes nézõponttal rendelkezõ a fenti antinómiákon is mosolyogni  tud kivéve, ha felismeri ezek igen fontos jelentõségét és szerepét matematikai gondolkodásunk kialakításában.

A halmazelméletet, mint a matematika önálló ágát Georg Cantor (1845-1918) kezdte vizsgálni.

A halmazelmélet Cantor által kidolgozott módszerei rögtön igen fontos szerepet kaptak a modern, algebra, analízis, topológia kialakulásában. Több matematikus munkája lényeges módon használta a Cantor-i módszereket. Néhány nevet kiemelünk a hosszú sorból: David Hilbert (1862-1943), Henry Léon Lebesgue (1875-1941), Felix Hausdorff (1869-1942), Nikolai Luzin (1883-1950).

Többen felismerték, hogy a halmazelmélet naív használata könnyen ellentmondásokhoz vezet. Többen úgy nevezett antinómiákat találtak a naív tárgyalásban Cesare Burali-Forti (1861-1931), 1897-ben publikálta a Burali-Forti-antinómiát. Georg Cantor (1849-1913), 1899-ben a Cantor-antinómiát írta le. Bertrand Russell (1872-1970), 1903-ban közölte a Russel-antinómiát. Kõnig Gyula (1849-1913), 1904-ben több nagyon fontos központi eredménnyel együtt az 1904-es IMU konferencián ismertetett egy bizonyítást a Cantor jólrendezesi sejtésének cáfolatára. Ernst Zermelo (1871-1952) egy napon belül hibát talált a bizonyításban (Kõnig Gyula Felix Bernstein egy rossz (hiányzó feltételekkel leírt) tételére hivatkozott).

Közben több próbálkozás történt a halmazelmélet megalapozására. Gottlob Frege (1871-1952), Ernst Zermelo (1871-1952), Adolf Fraenkel (1891-1965), Neumann János (1903-1957), KurtGödel(1906-1978), Paul Cohen. (A fenti listával nem törekedtem teljességre.)

A ``történet'' részletesebb tárgyalásáról az interneten több is olvasható.