A halmazelmélet nyelvezete elsõ pillantásra nagyon ``szegény''. Matematikai tanulmányaink viszont azt mutatják, hogy ez a szegénység csak látszólagos. Minden, amit az egyetemen tanultunk a halmazelmélet nyelvén megfogalmazható. Legtöbb egyetemi kurzus ennek formalizálásával kezdõdik. Igazából a klasszikus matematikát definiálhatnánk úgy, hogy a halmazelmélet nyelvén megfogalmazható elméletek.

A fenti bevezetésben foglaltakat az alábbiakban megalapozzunk. A matematikában megszokott fogalmakat (számok, relációk, függvények ...) halmazokkal azonosítjuk.

Természetes számok: A 0 számnak az üres halmaz felel meg. Az 1 számnak a csak a 0-t tartalamazó halmaz felel meg. Tehát az 1 egy egyelemû halmaz, amely egyetlen eleme az üres halmaz. A 2 számnak a csak a 0-t és 1-et tartalmazó halmaz felel meg. A további számoknak megfelelõ halmazok a fentiek leírásból könnyen kiolvashatók. A fenti halmazok létezése persze indoklásra szorul. Ez az indoklás, azonban könnyen megtehetõ az axiómák alapján.

Természetes számok halmaza: A fenti számokat tartalmazó halmaz. Ennek létezésének igazolása már egy kicsit technikásabb, nem bizonyítjuk.

Rendezett párok: Az (x,y) rendezett pár egy olyan matematikai x-bõl (esetünkben egy halmazból) és y-ból (esetünkben egy másik, nem feltétlen különbözõ halmazból) képzett objektum, amelynek van egy elsõ eleme, x és egy második eleme, y és két rendezett pár akkor és csak akkor egyenlõ, ha elsõ elemeik azonosak és második elemiek azonosak. {{x},{x,y}} megfelelõ halmaz az (x,y) rendezett párra.

Két halmaz Descart-szorzata: Legyen X és Y két halmaz. Descart-szorzatuk az (x,y) rendezett párok halmaza, ahol x az X egy eleme és y az Y egy eleme. P(X U Y) bizonyos elemeit kell összegyûjtenünk. Az a tulajdonság, amely a rendezett párokat kijelöli könnyen formalizálható. Így a megfelelõ halmaz létezik.

Rendezett hármasok: (x,y,z) definiálható (x,(y,z)) rendezett párként, amely második eleme egy rendezett pár.

Rendezett n-esek: Lásd elõzõ gondolat.

Reláció X és Y halmazok között: X x Y egy részhalmaza.

X és Y halmazok közötti relációk halmaza: P(X x Y).

X-bõl Y-ba képezõ függvény: Speciális reláció, amelyre minden x a X-beli elem esetén pontosan egy Y-beli y elem van, hogy (x,y) a reláció eleme legyen.

X-bõl Y-ba képezõ függvények halmaza: X^Y.

Rendezett párok (újból): Egy matematikai fogalom sokféleképpen írható le. Most a rendezett párok formaizálására adunk egy új lehetõséget. Az (x,y) rendezett pár lehet egy 2={0,1}-en értelmezett {x,y}-ba képzõ függvény, amely 0-t x-be, 1-et y-ba viszi.

Természetesen a két (valóban különbözõ, amit láthatunk a (0,1) rendezett pár kétféle felírásával) definíció nems zabad, hogy megzavarjon senki. Aki tisztán látja a fogalmakat, az könnyen ``közlekedhet'' a kétféle megközelítés között. Ha adott egyrendezett pár az egyik ``kódolás''' szerint azt átírhatjuk a másikba és fordítva. Igazából a helyes megközelítés, hogy alternatív definícióknak fogadjuk el mindkettõt. Konkrét matematikai kérdésekben az egyik elõnyösebb lehet a másiknál és az, hogy melyik az elõnyösebb az nagyban függ a konkrét problémától.

X-en definiált csoport: (X,o) rendezett pár, ahol o egy X x X-en értelmezett X-be képzõ függvény, amelytõl az algebrában megtanultakat megkívánjuk.

Természetesen itt is sok alternatív definíció lehetséges. (Például az egységelemet kiemelhetjük a definíció részének, hasonlóan az invertálás mûvelete is kiemelhetõ.) Ezeket algebra tanulmányaink során tiosztázzuk is.

Topológikus tér: Egy (X,U) rendezett pár, ahol U a P(X) halmaz egy részhalmaza (a nyilt halmazok halmaza), amelytõl a topológiában tanultakat elvárjuk.

Az alternatív definíciók sokasága létezik és ezek vizsgálata a topológiai tanulmányok elsõ fontos feladata.

A fentiek csak egy kis ízelítõ abból, hogy minden amit tanultunk, az egy halmazzal ``kódolható ''.

Mi az ami nem kódolható?

Összes függvény nem alkot halmazt

Összes csoport nem alkot halmazt

Az összes reláció nem alkot halmazt

Ennek ellenére néha szeretnénk valahogy az összes függvényrõl beszélni. Egy lehetõség az osztály fogalmának bevezetése.

Az osztály egy formalizálható tulajdonság. Így az osztály egy formula, amelyben egy x szabad változó szerepel. minden halmaz esetén eldönthetõ, hogy aszabad változóba a konkrét halmazt helyettesítve igaz állítást kapunk-e. Ennek ellenére, a formula által leírt tulajdonsággal rendelkezõ halmazok nem szükségszerûen alkotnak halmazt. Például, ha a formula üres (semmitmondó, minden halmazra teljesülõ), akkor az összes halmaz kielégíti.

Megjegyzés: Az egyik axióma, éppen azt mondja ki, hogy egy osztály és egy halmaz metszete egy halmaz.

Csoportok osztályt alkotnak: Felírható egy olyan formula (a halmazelmélet nyelvén), amelyben x az egyetlen szabad változó: Csop(x) és egy h halmazra Csop(h) akkor és csak akkor igaz, ha h egy csoportot kódol (egy rögzített kódolásban).

Rendezett párok osztályt alkotnak: Felírható egy olyan formula (a halmazelmélet nyelvén), amelyben x az egyetlen szabad szabad változó: Pár(x) és egy h halmazra Pár(h) akkor és csak akkor igaz, ha h egy rendezett párt kódol (egy rögzített kódolásban).

A relációk egy osztályt alkotnak: Felírható egy olyan formula (a halmazelmélet nyelvén), amelyben x az egyetlen szabad szabad változó: Rel(x) és egy h halmazra Ral(h) akkor és csak akkor igaz, ha h egy relációt kódol (egy rögzített kódolásban).

A topológikus terek egy osztályt alkotnak: Felírható egy olyan formula (a halmazelmélet nyelvén), amelyben x az egyetlen szabad szabad változó: Top(x) és egy h halmazra Top(h) akkor és csak akkor igaz, ha h egy topológikus teret kódol (egy rögzített kódolásban).

Az osztályokkal dolgozva ki kell kerülnünk a függvények használatát. Egy függvényhez hozzátartozik egy értelmezési tartomány, ami egy halmaz. Így ha minden halmazhoz (vagy csoporthoz, vagy topológikus térhez ...) hozzárendelünk egy halmazt, akkor nem függvénnyel van dolgunk. A hozzárendelést operációnak nevezzük, ha az ``x-hez y-t rendeljük'' viszony formalizálható és a ``minden x-hez létezik egyetlen y, amely a fenti hozzárendelési szabályt kielégíti '' állítás az axiómákból levezethetõ. Egy operáció értelmezési tartománya lehet egy O osztály. Ekkor a ``minden O leírását teljesítõ x-hez létezik egyetlen y, amely a fenti hozzárendelési szabályt kielégíti '' állítást kell az axiómákból levezetni.

Példa: Tetszõleges x halmazhoz hozzárendelhetjük azt az egy elemû halmazt, amely egeytlen eleme x. Ez egy operáció.

Példa: Minden csoporthoz hozzárendeljük az egységelemét. Ez egy operáció.

Példa: Az elsõ elem egy operáció a rendezett párok által alkotott osztályon.

Egy fontos elv: Ha egy operáció esetén egy halmaz elemeihez megnézzük mit rendel, akkor az így kapott képek halmazt alkotnak. Ez az elv igazából az axiómákból levezethetõ (lásd Hajnal András - Hamburger Péter jegyzete), de technikai nehézségei miatt elfogadását kérjük a hallgatóságtól.

Példa: r(x,y)=``létezik x-bõl y-ba képezõ injektív leképézés''.

Egy viszony szimmetrikus, ha ``minden x és minden y esetén r(x,y)->r(y,x)'' bebizonyítható az axiómákból. Hasonlóan definiálhatóak a relációk tulajdonságai viszonyok esetén.