MTN243E
KOMBINATORIKA vizsgakérdések
2023 Tavasz
-
Definiálja a bijekció, injekció, szürjekció fogalmát.
Mit értünk egy bijekció inverzén?
Mit értünk bijektív alapelv alatt?
Adjon meg egy bijekciót egy n elemű halmaz részhalmazai
és az n hosszú 0-1 vektorok között.
Mindkét irányban írja le a párbaállítást.
Mikor mondjuk, hogy egy halmaz véges?
Indokolja meg miért jogos a kérdés: Hány részhalmaza van egy n
elemű halmaznak?
-
Mit értünk összegzési elv alatt?
Mit értünk szorzási alapelv alatt?
Definiálja a szükséges fogalmakat is.
Adjon két középiskolai feladatot, amely összegzési alapelvvel
oldhatunk meg.
Adjon két középiskolai feladatot, amely szorzási alapelvvel
oldhatunk meg.
Adjon egy olyan feladatot is, amely mindkét alapelvet használja.
Egy n elemű halmaz részhalmazainak számát írja le
rekurzióval. Indokolja válaszát.
-
Mit jelölünk [xd]P-vel?
Definiálja szavakkal, hogyan számolhatjuk ki egy
több tényezős polinomszorzatban xd együtthatóját.
Írja fel képlettel is.
Mondja ki a binomiális tételt.
Bizonyítsa be a binomiális tételt.
Definiálja a tételben szereplő fogalmakat.
-
Definiálja (nk) számokat mint egy
összeszámolási probléma eredményét.
Milyen paraméterek mellett lesz ez a szám 0 és
milyen esetben nem 0 értékű?
Mi (n0) és (nn)
értéke?
Írja le az (nk) számokat
rekurzív módon. Indokolja válaszát.
Mit értünk Pascal-háromszög alatt? Írja fel az első néhány
sorát.
-
Definiálja mit értünk egy véges halmaz sorbaállításán.
Definiálja a faktoriális függvényt (milyen számokra értelmeztük,
hogyan számolható ki). Hány sorbaállítása van egy n
elemű halmaznak?
Hogy válatozik a sorbaállítások száma, ha az alaphalmazhoz
egy új elemet adunk? Indokolja válaszait.
-
Definiálja mit értünk átrendezésen. Mi a köze egy véges
halmaz átrendezéseinek a sorbaállításaihoz? Definiálja
egy átrendezés ciklusát. Hogyan tekinthetünk
minden átrendezésre? Indokolja válaszát.
Hogy változik az átrendezések száma, ha az alaphalmazhoz
egy új elemet adunk? Hány bijekció létezik
két n elemű halmaz között? Indokolja válaszait.
-
Definiálja mit értünk multihalmazon. Definiálja az elem,
elemszám, rész-multihalmaz fogalmát. Adjon motiváló
példákat a multihalmaz fogalmára.
Adott multihalmaz rész-multihalmazainak száma
(tétel, bizonyítás).
Adott halmaz feletti k elemű multihalmazok száma
(tétel, bizonyítás).
-
Definiálja mit értünk multihalmazon. Definiálja az elem,
elemszám, rész-multihalmaz fogalmát. Adjon motiváló
példákat a multihalmaz fogalmára.
Mit értünk egy multihalmaz sorbaállítása alatt.
Adott multihalmaz sorbaállításainak száma
(tétel, bizonyítás).
-
Definiálja mit értünk multihalmazon. Definiálja az elem,
elemszám fogalmát. Adjon motiváló
példákat a multihalmaz fogalmára.
Adott multihalmaz sorbaállításainak száma (csak tétel
kimondása).
Binomiális tétel (x+y)n kifejtésére:
indoklás. Trinomiális tétel és bizonyítása.
-
Definiálja mi a rekurzió. Adjon
példákat: részhalmazok, sorbaállítások száma,
Pascal-háromszög. Igazolja, hogy egy rekurzió egyértelműen
definiál egy sorozatot.
-
Definiálja a Fibonacci-számokat összeszámlálási feladatként
és rekurzióként. Igazolja a két definíció ekvivalenciáját.
F0 tulajdonság és mértani sorozatok.
Formula Fibonacci-számokra.
-
Definiálja mit értünk lineáris rekurzióval
definiált sorozaton. Hogyan lehet egy lineáris
rekurzióval definiált sorozat általános elemére
formulát adni. A leírásunkat egy példával
illusztráljuk.
-
Mondjon egy középiskolás feladatot, ahol könnyebb
a "rossz" elemeket összeszámolni mint a "jókat".
Oldja is meg.
Írja fel a szita formulát két és három részhalmazra.
Indokolja is meg.
Írja fel az általános szita formulát.
Értelmezze a formula mindkét oldalát mint az elemek
hozzájárulásainak összege.
Igazolja a szita formulát.
-
Mondjon egy középiskolás feladatot, ahol könnyebb
a "rossz" elemeket összeszámolni mint a "jókat".
Oldja is meg.
Írja fel a szita formulát két és három részhalmazra.
Indokolja is meg.
Írja fel az általános szita formulát.
Írjon le egy alkalmazását a szitaformulának.