Definíció:

P^kül(n)={µ: az n szám partíciója, amelyben a részek különbözõek}. p^kül(n)=|{µ: az n szám partíciója, amelyben a részek különbözõek}|.

P^ptlan(n)= {µ: az n szám partíciója, amelyben a részek páratlanok}. p^ptlan(n)= |{µ: az n szám partíciója, amelyben a részek páratlanok}|.

Megjegyzés: A különbözõ tagokból álló partíciók vizsgálatát Philip Naudé egy Eulerhoz írt levele indította el. Errõl írt egy (nagol nyelvû) cikket Ed Sandifer.

Tétel: ( Leonhard Euler) p^ptlan(n)=p^kül(n).

I. bizonyítás:

p^ptlan(0)+p^ptlan(1)x+p^ptlan(2)x²+p^ptlan(3)x³+ p^ptlan(4)x⁴+p^ptlan(5)x⁵+p^ptlan(6)x⁶+...= (1+x +x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷+...) (1+x³+x⁶+x⁹+x¹²+x¹⁵+x¹⁸+x²¹+...) (1+x⁵+x¹⁰+x¹⁵+x²⁰+x²⁵+x³⁰+x³⁵+...) (1+x⁷+x¹⁴+x²¹+x²⁸+x³⁵+x⁴²+x⁴⁹+...)...

p^kül(0)+p^kül(1)x+p^kül(2)x²+p^kül(3)x³+ p^kül(4)x⁴+p^kül(5)x⁵+p^kül(6)x⁶+...= (1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)(1+x⁵)(1+x⁶)(1+x⁷)... =(1-x²)/(1-x)• (1-x⁴)/(1-x²)• (1-x⁶)/(1-x³)• (1-x⁸)/(1-x⁴)• (1-x¹⁰)/(1-x⁵)• (1-x¹²)/(1-x⁶)... =1/(1-x)• 1/(1-x³)• 1/(1-x⁵)• 1/(1-x⁷)... =p^ptlan(0)+p^ptlan(1)x+p^ptlan(2)x²+p^ptlan(3)x³+ p^ptlan(4)x⁴+p^ptlan(5)x⁵+p^ptlan(6)x⁶+...

II. bizonyítás:

P^ptlan(n) és P^kül(n) között írunk le egy bijekciót.

f : P^ptlan(n) -> P^kül(n) függvényt írunk le. Legyen µ egy P^ptlan(n)-beli partíció. Ha µ a darab 1-es részt tartalmaz, akkor írjuk fel a-t kettes számrendszerben: a=2^a₁+2^a₂+2^a₃+... µ-ben helyettesítsük az a darab 1-es összegét 2^a₁1+2^a₂1+2^a₃1+...-gyel. Ha µ b darab 3-as részt tartalmaz, akkor írjuk fel b-t kettes számrendszerben: a=2^b₁+2^b₂+2^b₃+... µ-ben helyettesítsük a b darab 3-as összegét 2^b₁3+2^b₂3+2^b₃3+...-mal. Tegyünk így minden további páratlan számra. Ezzel ugyanazon n szám egy különbözõ tagú partíciójához jutunk. P^kül(n) ezen eleme lesz f(µ).

f bijekció. Ezt f-nek g : P^kül(n) -> P^ptlan(n) inverzének leírásával bizonyítjuk.

Legyen k egy tetszõleges pozitív egész. Ekkor k egyértelmúen írható fel 2^et alakban, ahol e egy természetes szám, t egy pozitív páratlan szám. t-t a k szám páratlan részének nevezzük. Legyen µ P^kül(n) egy tetszõleges eleme. µ minden részét írjuk fel a fenti megjegyzés szerint egy 2 hatvány és egy páratlan szám szorzataként: 2^et. Majd ezt a tagot helyettesítsük 2^e darab t szám összegével. Így az n száma egy paratlan tagú partíciójához jutunk.

f-rõl és g-rõl könnyen ellenõrizhetõ, hogy egymás inverzei.

Definíció:

P^kül_ps(n)= {µ: az n szám partíciója, amelyben a részek különbözõek és számuk páros}. p^kül_ps(n)=|{µ: az n szám partíciója, amelyben a részek különbözõek és számuk páros}|.

P^kül_ptlan(n)= {µ: az n szám partíciója, amelyben a részek különbözõek és számuk páratlan}. p^kül_ptlan(n)= |{µ: az n szám partíciója, amelyben a részek különbözõek és számuk páratlan}|.

Tétel: ( Leonhard Euler) p^kül_ps(n)-p^kül_ptlan(n)= (-1)^k, ha n=penta(k), 0 különben.

Jelölés: penta(k) a k paraméterû ötszögszám. penta(k)=½(k²-3k).

0=penta(0) < penta(1)< penta(-1)< penta(2)< penta(-2)< penta(3)< penta(-3)<...

Észrevétel: (p^kül_ps(0)-p^kül_ptlan(0))+ (p^kül_ps(1)-p^kül_ptlan(1))x+ (p^kül_ps(2)-p^kül_ptlan(2))x²+ (p^kül_ps(3)-p^kül_ptlan(3))x³+ (p^kül_ps(4)-p^kül_ptlan(4))x⁴+...= (1-x)(1-x²)(1-x³)(1-x⁴)(1-x⁵)...

Így Euler tételével ekvivalens (igazából ez Euler eredeti alakja) a következõ állítás:

Tétel: (1-x)(1-x²)(1-x³)(1-x⁴)(1-x⁵)...= 1-x-x²+x^penta(2)+x^penta(-2)- x^penta(3)-x^penta(-3)+...+(-1)^k(x^penta(k)+x^penta(-k))+...= 1-x-x²+x⁵+x⁷-x¹²-x¹⁵-...

Következmény: p(n)=p(n-penta(1))+p(n-penta(-1))- p(n-penta(2))-p(n-penta(-2))+ p(n-penta(3))+p(n-penta(-3))- p(n-penta(4))-p(n-penta(-4))+...

Következmény:

n:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
p(n):	1	1	2	3	5	7	11	15	22	30	42	56	77	101	135	176	231	297	385	490
n:	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	32	32	33	34	35	36	37	38	39
p(n):	627	792	1002	1255	1575	1958	2436	3010	3718	4565	5604	6842	8349	10143	12310	14883	17977	21637	26015	31185
n:	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
p(n):	37338	44583	53174	63261	75175	89134	105558	124754	147273	173525	204226	281589	329931	386155	451276	526823	614154	715220	831820

Megjegyzés: A Maple programcsomog használói a

Megjegyzés: Euler munkássága rendkívüli jelentõségû a partíciók elméletében is. Az érdeklõdõk számára hasznos tudni, hogy Euler publikációinak nagy része (erdetiben - jórészt latinul - és fordításban is) elérhetõ az interneten. Ha ezen a lapon valaki a `Search archive by:' alatt a `Subject'-be lép, ahol kiválasztja a `Number Theory' témát, akkor az 541-es szám alatt megtalálhatja Euler `Evolutio producti infiniti (1-x)(1-xx)(1-x3)(1-x4)(1-x5) etc. in seriem simplicem' címû munkájának eredeti latin szövegét és angol fordítását. Ez Euler nevezetes tétele a ötszög/pentagonális számokról.

Euler munkája nagyban eltér az elõadás tárgyalásától. Ez az eltelt idõnek köszönhetõ. Euler formális hatványsorokkal dolgozott. A kombinatorikus nyelvezet Legendre-nak köszönhetõ. Az elõadáson ismertett bizonyítás Franklin-nek, aki Sylvester tanítványa volt.